Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Udo Mühlenfeld, Hiddenhausen VORANSICHT. Klasse: 8 Dauer: 4 Stunden Inhalt:

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1 Reihe 38 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Die Zahl p Wege zur Ermittlung von Näherungswerten Udo Mühlenfeld, Hiddenhausen Eine Frau erklärt im Mathematikum in Gießen die Zahl p, die an der Wand als Spirale dargestellt ist. Klasse: 8 Dauer: 4 Stunden Inhalt: Umfang U = p d und Flächeninhalt A = p r 2 eines Kreises, wobei die Kreiszahl p = 3, ; Daten aufnehmen, graisch darstellen und auswerten; näherungsweise den Flächeninhalt eines Kreises mithilfe einbeschriebener regelmäßiger Vielecke ermitteln Ihr Plus: ein Experiment zum Vergleich des Flächeninhalts eines Kreises und des ihm umbeschriebenen Quadrates; Simulation dieses Experimentes mithilfe einer Tabellenkalkulation und eines Programms (CASIO ClassPad) Foto: ddp images/dapd/thomas Lohnes Die Kreiszahl p hat unendlich viele Stellen in einer Reihenfolge ohne Muster. Sie übt deshalb eine große Faszination aus. Fast alle Menschen kennen ihre Bedeutung, aber nur wenige Menschen können sie exakt beschreiben bzw. Näherungswerte angeben.

2 Reihe 38 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise Die Jagd nach immer mehr Nachkommastellen der Zahl p hat bereits sehr früh begonnen: Im Jahr 250 v. Chr. bestimmte Archimedes mithilfe eines 96-Ecks zwei Nachkommastellen der Zahl p. Im Februar 1981 lernte ein Kandidat für eine Wette in der ersten Wetten, dass?-sendung 100 Nachkommastellen auswendig. Es gibt Vereine wie z. B. die Freunde der Zahl p, die sich mit allem Wissenswerten rund um die Zahl beschäftigen. Im Jahr 2000 gab es dazu eine weltweite p-konferenz und einige Mathematiker haben den 14. März zum p-day gekürt, basierend auf der amerikanischen Schreibweise 3,14. Die Kreiszahl p übt also offenbar eine derart große Faszination auf viele Menschen aus, dass der Mathematikunterricht die Chance nutzen muss, sich mit ihr und dem Problem ihrer Bestimmung auseinanderzusetzen. Es genügt nicht, den Schülern die Formeln für den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mitzuteilen mit dem Hinweis, dass es auf dem Taschenrechner eine Taste gibt, mit deren Hilfe man einen ungefähren Wert für p erhalten kann. In den folgenden Abschnitten wird deutlich, welche Möglichkeiten die Schüler anhand der Bestimmung der Zahl p haben, an Alltagserfahrungen anzuknüpfen, selbstständig zu arbeiten, zu argumentieren und über Strategien zu kommunizieren, ihre individuellen Lösungswege einzubringen, Ergebnisse zu präsentieren, zu modellieren und Vorwissen gewinnbringend einzusetzen. Außerdem wird eine Tabellenkalkulation und/oder Geometriesoftware eingesetzt. Ablauf M 1 Kreisförmige Gegenstände Durchmesser und Umfang Die Schüler ermitteln einen Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U, der über die Aussage Je größer d, desto größer U hinausgeht. Sinnvoll ist Partnerarbeit, zu deren Beginn sich beide über das Messinstrument verständigen müssen: Maßband, lexibles Lineal oder Faden, der anschließend mit dem Lineal vermessen wird. Die Messwerte der Schüler sollten ungefähr den Zusammenhang U = π d liefern. Notwendiges Vorwissen: Ursprungsgerade, Steigung, Funktionsterm einer linearen Funktion Setzen Sie für die Aufgabe für Experten eine Tabellenkalkulation ein. Sie erleichtert den Schülern die Darstellung und die Auswertung der Ergebnisse. M 2 Experimentieren mit Kreis- und Quadratlächen Mit diesem Material fördern Sie eigenständiges Lernen. Hierfür bietet sich eine arbeitsteilige Gruppenarbeit an. Sie verteilen die Experimente auf die Gruppen. Wichtig ist, dass die Schüler ihre Ergebnisse anschließend mithilfe von Lernplakaten präsentieren. So bringen Sie zum einen die Gruppen auf den gleichen Kenntnisstand und fördern zum anderen prozessbezogene Kompetenzen wie das Argumentieren und Kommunizieren.

3 Reihe 38 S 5 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Einstieg Material Thema Stunde M 1 Experiment Kreisförmige Gegenstände Durchmesser und Umfang Alltagsgegenstände mit kreisförmiger Querschnittsläche suchen; Daten aufnehmen, graisch darstellen und auswerten; eine Tabellenkalkulation einsetzen 1. Material Thema Stunde M 2 M 3 Experimentieren mit einer Kreis- und Quadratläche Zeichnen, Zählen, Abschätzen, Wiegen, Präsentieren Verteilte Papierschnipsel Simulation am Rechner Modellieren; die einzelnen Schritte eines Programms erläutern; eine Tabellenkalkulation und den ClassPad-Manager von CASIO bzw. das Handheld CASIO-ClassPad einsetzen Neues auf Bekanntes zurückführen die theoretische Begründung Material Thema Stunde M 4 Annähernd den Flächeninhalt eines Kreises ermitteln Lernerfolgskontrolle Flächeninhalte von Vielecken; eine Geometriesoftware, z. B. GeoGebra, einsetzen Material Thema Stunde M 5 (LEK) Teste dein Wissen Richtig oder falsch? Zehn Aussagen beurteilen Mediothek Minimalplan Material M 1 ist unbedingt zu bearbeiten, die Aufgabe für Experten können Sie bei Zeitmangel weglassen. Material M 4 ist für das Verständnis der Zahl p erforderlich. Es baut auf dem Vorwissen über Flächeninhalte von Vielecken auf.

4 Reihe 38 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Kreisförmige Gegenstände Durchmesser und Umfang In deiner unmittelbaren Umgebung indest du zahlreiche Gegenstände mit kreisförmiger Querschnittsläche. Hier einige Anregungen. CD Tasse Toilettenpapier Bearbeite die Aufgabe zusammen mit deiner Tischnachbarin/deinem Tischnachbarn. Aufgabe a) Bestimmt für wenigstens 7 verschiedene Gegenstände mit kreisförmiger Querschnittsläche den Durchmesser d und den Umfang U. Legt in eurem Heft eine Tabelle an und tragt die Werte dort ein. Geodreieck, Lineal oder Zollstock helfen bei der Bestimmung der Länge gerader Linien. Für die Messung des Umfangs benutzt ihr einen Bindfaden. Anschließend bestimmt ihr die Länge dieses Fadens mit einem der eben genannten Messgeräte. Ihr könnt aber auch ein biegsames Bandmaß verwenden. b) Stellt die Messwerte in einem Diagramm graisch dar. Fotos: Udo Mühlenfeld Zeichnet auf der x-achse den Durchmesser d und auf der y-achse den Umfang U ein. Ordnet die Messwerte der Größe nach. c) Leitet aus der Lage der Messpunkte einen Zusammenhang zwischen Durchmesser d und Umfang U her. d) Ermittelt anhand eures Diagramms einen Funktionsterm U(d), der den Umfang U in Abhängigkeit vom Durchmesser d beschreibt. Aufgabe für Experten Verwendet eine Tabellenkalkulation (z. B. Excel), um das Diagramm aus Teilaufgabe b) zu erstellen. Überprüft eure Überlegungen aus Teilaufgabe d) rechnerisch und zeichnerisch. Merke Den Umfang eines Kreises erhält man, indem man seinen Durchmesser mit der Kreiszahl p multipliziert. U = p d, wobei die Kreiszahl p = 3, ist.

5 Reihe 38 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 2 Experimentieren mit einer Kreis- und Quadratläche Experiment Hier ermittelst du einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines Kreises und dem Flächeninhalt eines Quadrates, das dem Viertelkreis umbeschrieben ist. Aufgabe a) Bestimme zunächst einen Näherungswert für das Verhältnis des Flächeninhalts des Viertelkreises und des Flächeninhalts des Quadrates, das diesem umbeschrieben ist. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge r (siehe Abbildung rechts). b) Berechne einen Näherungswert für das Verhältnis des Flächeninhalts des ganzen Kreises und des Flächeninhalts des Quadrates aus Teil a). c) Wiederhole das Experiment für verschiedene Radien, z. B. r = 8 cm. d) Stelle deine Vorgehensweise und deine Ergebnisse auf einem Lernplakat dar, um dieses den anderen Gruppen zu präsentieren. So geht s Bildet 5 Gruppen. Ihr bearbeitet die Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen: Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3: Gruppe 4: Gruppe 5: Verwendet ein Zählgitter aus Karopapier. Verwendet ein Zählgitter aus Millimeterpapier. Fertigt auf dem Fußboden eine Zeichnung, die der rechten Abbildung entspricht. Berieselt die gesamte Fläche gleichmäßig mit gleich großen Papierschnipseln, z. B. aus einem Papierlocher. Verwendet handelsübliches Kopierpapier (Masse: 80 g pro m 2 ) und eine möglichst genaue Waage. Analysewaagen aus der Chemie zeigen die Masse in g mit zwei Dezimalen an. Geht vor wie Gruppe 4. Verwendet dazu aber Kartonpappe. 1. Die Gruppen 1 bis 3 zählen, wie viele der Karos bzw. Papierschnipsel im Quadrat auf den Viertelkreis entfallen. Die Gruppen 4 und 5 wiegen das Quadrat und den Viertelkreis. 2. Die Gruppen 1 bis 3 wählen kleine Radien, um den Arbeitsaufwand zu reduzieren, die Gruppen 4 und 5 große Radien, um die Genauigkeit zu erhöhen.

6 Reihe 38 Verlauf Material S 4 LEK Glossar Lösungen M 4 Annähernd den Flächeninhalt eines Kreises ermitteln Zur Erinnerung: Flächeninhalt einiger Vielecke 1 ADreieck = gh g; 2 A = ah ; A Parallelogramm Trapez = mh a Du kannst den Flächeninhalt eines Kreises näherungsweise berechnen, indem du ihn mit einem regelmäßigen Vieleck ausfüllst und dessen Flächeninhalt berechnest. Eine größere Genauigkeit erreichst du mithilfe einer Geometriesoftware. Hier kannst du die Anzahl der Ecken des Vielecks nahezu beliebig erhöhen, sodass sich beim Betrachten das Vieleck kaum vom Kreis unterscheidet. Der Flächeninhalt dieses Vielecks ist dann ein sehr guter Näherungswert für den Flächeninhalt des Kreises. Aufgaben 1. a) Begründe, dass für den Flächeninhalt A des Quadrats gilt: A = 2 r 2, wobei r den Radius des Kreises angibt. M b) Bestimme den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise, indem du die Kreisläche weitgehend mit Dreiecken, Parallelogrammen, Rechtecken und dergleichen mehr füllst. Miss die zugehörigen Größen und berechne die Flächeninhalte mithilfe der bekannten Formeln. 2. a) Zeichne mit einer Geometriesoftware, z. B. GeoGebra, einen Kreis mit einem Radius von 10 cm sowie ein regelmäßiges Fünfeck, dessen Eckpunkte auf dem Kreis liegen. Ermittle mithilfe der Software den Flächeninhalt des Fünfecks als Näherungswert für die Fläche des Kreises. b) Begründe anhand der Skizzen, dass man die Näherung verbessern kann, wenn man die Anzahl der Ecken erhöht. r M M c) Zeichne entsprechend der Teilaufgabe a) ein regelmäßiges 6-Eck, 10-Eck, 20- und 30-Eck, ermittle die Flächeninhalte und interpretiere die Ergebnisse.

7 Reihe 38 Verlauf Material S 5 LEK Glossar Lösungen M 5 Teste dein Wissen! Bei den folgenden zehn Aussagen musst du ankreuzen, ob diese richtig oder falsch sind: Nr. Text richtig falsch 1 Die Zeichnung zeigt, dass der Flächeninhalt eines Kreises zwischen 2 r 2 und 4 r 2 liegt. M 2 Der Umfang U eines Kreises ist proportional zum Durchmesser d. 3 Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 5 cm beträgt etwa 70 cm 2. 4 Wenn man den Durchmesser eines Kreises verdoppelt, verdoppelt sich auch der Flächeninhalt. 5 Wird die Figur gleichmäßig mit Papierschnipseln berieselt, liegen im Durchschnitt mehr als ein Viertel der Papierschnipsel in der weißen Teilläche des Quadrats außerhalb des Viertelkreises. 6 Wenn wir die Abhängigkeit des Umfangs U eines Kreises vom Radius r graisch darstellen, ergibt sich eine Ursprungsgerade. 7 Wenn wir die Abhängigkeit des Flächeninhalts A eines Kreises vom Radius r graisch darstellen, ergibt sich eine Ursprungsgerade. 8 Ein Kreis mit dem Flächeninhalt 706,9 cm 2 hat in etwa einen Durchmesser von 30 cm (π 3,14). 9 Zeichnet man in einen Kreis ein regelmäßiges n-eck, kann man den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise immer genauer ermitteln, wenn man die Anzahl n der Ecken vergrößert. 10 Eine Rolle Toilettenpapier hat einen Radius von 6 cm, das Loch in der Mitte einen Radius von 2 cm. Also ist die vom Papier bedeckte Querschnittsläche 8-mal so groß wie die Fläche des Loches in der Mitte.

8 Reihe 38 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz Zur Abbildung auf dem Titelblatt: Die Zahl p, dargestellt als Spirale Über Besucher strömten 2004 in das Mitmach-Museum. Wir wollen ein Zentrum für die Vermittlung der Mathematik sein, ist das erklärte Ziel von Albrecht Beutelspacher, dem Initiator des Projekts. In Zeiten der PISA-Studie bietet das Mathematikum einen unverkrampften Zugang zur Welt der Zahlen. M 1 Kreisförmige Gegenstände Durchmesser und Umfang a) Hier einige Beispiele für Werte, die die Schüler gemessen haben könnten. Die Werte sind mit einer Messungenauigkeit versehen. b) kreisförmiger Gegenstand Durchmesser d in cm Umfang U in cm CD 12 37,7 2- -Münze 2,5 7,9 1- -Münze 2,3 7,2 Trinkglas 7,6 23,9 Untertasse 14,3 44,9 Tablettenröhrchen 2,8 8,8 Kochtopf 17 53,4 Tubenverschluss 3,9 12,3 Papprolle 4,5 14,1 Keksdose 19,1 60 Umfang und Durchmesser bei Kreisen Umfang U [in cm] Durchmesser d [in cm] c) Die Messpunkte liegen ungefähr auf einer Geraden durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Durchmesser und Umfang sind also zueinander proportional, d. h., beide Größen nehmen im gleichen Verhältnis zu. d) U (d) = p d, wobei die Kreiszahl p = 3, ist.