Vereinbarte Schreibweisen in der Mathematik am Kranich-Gymnasium

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1 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Vereinbarte Schreibweisen in der Mathematik am Kranich-Gymnasium Mengen Kurz und knapp Mengen Will man ausdrücken, dass ein Objekt x Element einer Menge M ist, so schreibt man: x M. Für das Gegenteil (x ist nicht Element von M) schreibt man: x M. Leere Menge Unter der leeren Menge (oder auch {}) versteht man die Menge, die kein Element besitzt. Gleichheit von Mengen Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich (A=B), wenn sie dieselben Elemente enthalten. Durchschnitt von Mengen Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören: A B = { x A x B } Vereinigung von Mengen Die Vereinigung zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören: A B = { x x A x B}. Disjunkte Mengen Zwei Mengen A und B heißen disjunkt (oder elementeremd), wenn sie kein gemeinsames Element besitzen: A B = Dierenz von Mengen Die Dierenzmenge zweier Mengen A und B ( A B oder A \ B) ist die Menge der Elemente, die zu A, aber nicht zu B gehören: A \ B = { x A x B } Komplement einer Menge Ist M eine beliebige Menge und A eine Teilmenge von M, so heißt A = M \ A Komplement von A in M. Teilmenge oder Untermenge Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B ( A B), wenn jedes Element von A Element von B ist. Die Teilmengenbeziehung zwischen zwei Mengen heißt auch Inklusion. Wenn A B, dann heißt A echte Teilmenge von B. Seite von

2 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Obermenge Eine Menge B heißt Obermenge einer Menge A, wenn A Teilmenge von B ist. B ist echte Obermenge von A, wenn A eine echte Teilmenge von B ist. Produkt von Mengen Das Produkt A B zweier Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare (a, b) mit a A, b B. Andere Bezeichnungen: kartesisches Produkt oder Mengenprodukt. Anmerkung: Nur bei standardisierten Zahlenmengen müssen Doppelstriche am Anang des Buchstabens benutzt werden: * * *,,,, +,,,...,. Besondere Bedeutungen: * - Menge der natürlichen Zahlen ohne Null. - Menge der nicht positiven ganzen Zahlen * - Menge der negativen ganzen Zahlen Aussagen, Aussageormen Aussagen Aussagen sind Sätze, die entweder wahr (w) oder alsch () sind. Beispiele ür Aussagen: +5 = 4 () = 55 4 (w) Heute ist mein Geburtstag. () Beispiele ür Sätze, die keine Aussagen sind: Heute ist ein schöner Tag. = 5 Aussageormen Aussageormen sind Sätze mit mindestens einem Platzhalter, die nach dem Einsetzen von Elementen einer gegebenen Deinitionsmenge immer in eine Aussage übergehen. Ist eine Aussageorm gegeben, so kann man nach Einsetzungen von Elementen der Deinitionsmenge ür den Platzhalter suchen, die diese Aussageorm in eine wahre Aussage überühren. Das nennt man 'die Aussageorm lösen'. Die Lösungsmenge einer Aussageorm beinhaltet alle Elemente der Deinitionsmenge, die die Aussageorm lösen. Seite von

3 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Äquivalenzumormungen von Aussagen sind Umormungen, die deren Wahrheitswert nicht ändern. Sie werden durch Äquivalenzpeile kenntlich gemacht, z.b.: = 4 5 = 4 7. Äquivalenzumormungen von Aussageormen Äquivalenzumormungen von Aussageormen sind Umormungen, die die Lösungsmenge nicht verändern, z.b.: x + 5 < 9 x < 9 5. Bei Verknüpungen von Aussage und/oder Aussageormen werden die Symbole und/oder verwendet. Symbole aus der Mengenlehre sollen an den Stellen verwendet werden, an denen sie den Sachverhalt deutlicher und/oder einacher machen: Anmerkung: Falls keine Deinitionsmenge angegeben wird, soll immer die größte im Unterricht bis zu diesem Zeitpunkt bekannte Menge bzw. deren größtmögliche Teilmenge verwendet werden. Beispiele ür Äquivalenzumormungen Lineares Gleichungssystem:,,,,,,,, U, I, \ x + y = x + y = y = x x = y = x x = y = x = L = {( )} bzw. L = {(;)} Seite von

4 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Ungleichung: x < 6 + x < 8 : ( ) x > L = { x D x > } bzw. verein acht L = { x x > } Bruchungleichung: x < D = \ {} < ( x ) x > > ( x ) x < < x x > > x x < < x x > > x x < < x x < L = { x D x < x > } Seite 4 von

5 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Quadratische Gleichung: x 7 5 x = x = = ( ) ( ) x ( ) ( ) x = x = x = 6 x = 8 8 X = 5 5 x = L = { ; } 4 4 Richard Gallinat Zaktualisiert: 8.. Relationen und Funktionen Deinitionen: Eine Untermenge R des kartesischen Produktes zweier Mengen A und B heißt Relation: R A xb. Eine Relation R heißt Funktion genau dann, wenn (( a, b) R ( a, c) R) b = c Ist eine Funktion über ihre Deinitionsmenge D durch eine Funktionsgleichung gegeben, so kann wie olgt dargestellt werden: y=(x) = {( x; y) x D y = ( x)} bzw. kurz : x ( x), x D Wird keine Deinitionsmenge angegeben, wird immer die größtmögliche Teilmenge der größten Zahlenmenge, die zur der Zeit im Unterricht bekannt ist, als Deinitionsmenge genommen. Für die Schreibweise der Umkehrunktion von gilt: bzw.. Wir unterscheiden im Sprachgebrauch: Seite 5 von

6 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Funktion, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktionswert, Argument, unabhängige Variable, abhängige Variable, Graph G einer Funktion. Anmerkung: Die Achsen des Koordinatensystems werden mit x und y bezeichnet; die Bezeichnung (x) hat dort nichts zu suchen. Der Graph muss bei Eindeutigkeit nicht bezeichnet werden, andernalls werden die Bezeichnungen oder G verwendet, denn die Punktemenge ist Graph (Bild, Schaubild) der Funktion. G = {( x y) x D y = ( x)} Nullstellen einer Funktion sind die Lösungen der Gleichung (Aussageorm) ( x ) =. Beispiel: Die Nullstellen von : x x + 4; D = sind gesucht. Für die Nullstellen muss gelten: ( x ) = x + 4 = Ergebnis: hat als einzige Nullstelle. x = 4 x = Als ein besonderer Funktionstyp aus der Mittelstue soll ein Beispiel einer sogenannten Betragsunktion etwas genauer betrachtet werden. Gegeben sei : x x + x +. Wir betrachten die Funktionsgleichung und lösen den Betrag au: Seite 6 von

7 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 ( x) = x + x + ( x) = ( x) + x + x ( x) = ( x) + x + x < ( x) = x + 5 x ( x) = x x > Somit kann die Funktion in zwei Teilunktionen zerlegt werden: : x x + 5 ; x : x x ; x > Folgen Die Deinition von Folgen wird über den üblichen Funktionsbegri vorgenommen: : x ( x), x D *. Die in altertümlichen Lehrbüchern noch vorhandenen Schreibweisen n a n ür Folgen werden nicht benutzt, denn sie verschleiern den Funktionsaspekt von Folgen. a bzw. ( ) Grenzwertdeinition Seit dem Schuljahr 4/5 nur noch propädeutisch: * Eine Folge : x ( x), x D, besitzt den Grenzwert g genau dann, wenn in einer beliebig kleine Umgebung von g immer ast alle Folgenglieder liegen. Als abkürzende Schreibweise wird lim ( x ) = g verwendet. Beispiel ür den Nachweis eines Grenzwertes Seite 7 von

8 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Annahme: Die Folge : x Nachweis: Aus x besitzt den Grenzwert. ( x) < ε x < ε x ( ) < ε x x < ε < ε > < ε ( ) < ε ( ) < xε + ε ε < xε : ε ε < ε x ergibt sich olgende Interpretation: * ε Für alle ε + gibt es mindestens ein x D (z.b. x = int( ) + ), so dass alle ε Folgenglieder ab ( x innerhalb der ε Umgebung von liegen. Grenzwert bei Funktionen Eine Funktion : x (x),x D, hat an der Stelle x o den Grenzwert g: lim (x) = g x o Andere Schreibweise: lim (x) = g, x U (x ) x bzw. mit x = x + h lim (x + h) = g. h ε Linksseitiger (rechtsseitiger analog) Grenzwert: Seite 8 von

9 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 lim (x) = g bzw. lim (x + h) = g bzw. lim (x + h) = g x o h h Uneigentlicher Grenzwert: lim (x) = x o Die Stelle x heißt in diesem Zusammenhang Polstelle, wenn (x) ein gebrochenrationaler Term ist; die Gleichung x = x beschreibt die zugehörige Polgerade. Gilt lim (x) = ±, so heißt Stelle x in diesem Zusammenhang Polstelle mit x x o Vorzeichenwechsel, wenn (x) ein gebrochenrationaler Term ist; die Gleichung x = x beschreibt hier auch die zugehörige Polgerade. Gilt lim (x) = oder lim (x) =, so heißt die Stelle x Polstelle ohne x o Vorzeichenwechsel. x o Asymptote Deinition: Eine Funktion a : x a( x), x Da, heißt Asymptote einer Funktion : x ( x), x D, genau dann, wenn lim ( x) a( x) = bzw. lim ( x) a( x) =. x Anmerkungen:. Notwendig ist die Existenz eines gemeinsamen Deinitionsbereiches ür große oder kleine x-werte.. Wenn eine Funktion a Asymptote einer Funktion ist, so ist auch Asymptote von a.. Der Graph einer Asymptote ist nicht notwendigerweise eine Gerade. 4. Geraden, die parallel zur y-achse verlauen, können nie Graphen einer Asymptoten sein. Hier wird in vielen Schulbüchern gesündigt. Beispiele:. Die Funktion a : x ist Asymptote von : x. Die Funktion a : x x ist Asymptote von x. x. Die Funktion a : x ist Asymptote von : x e. : x x. Seite 9 von

10 Gt: Vereinbarte mathematische Schreibweisen laut Fachkonerenzbeschlüssen Stand:..6 Der Dierentialquotient Gilt ür eine Funktion : x (x),x D, an der Stelle x, dass es ein ε > gibt, so dass ür alle x U ε ( x der Grenzwert x = x + h (x) (x (x + h) (x lim = lim x x x h h existiert, so heißt dieser Grenzwert Dierentialquotient oder Ableitung der Funktion an der Stelle x. (x) (x Die Schreibweise '(x als Abkürzung ür lim ist nur dann zulässig, wenn x x x dieser Grenzwert existiert. (x + h) (x Existiert lim, so heißt dieser Grenzwert linksseitige Ableitung, analog h h (x + h) (x heißt lim rechtsseitige Ableitung der Funktion an der Stelle x. h + h Gilt zusätzlich sogar x dierenzierbar. (x + h) (x (x + h) (x lim = lim, dann ist an der Stelle h h + h h Seite von