Stochastic Processes SS 2010 Prof. Anton Wakolbinger. Klausur am 16. Juli 2010

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1 Stochastic Processes SS 2010 Prof. Anton Wakolbinger Klausur am 16. Juli 2010 Vor- und Nachname: Matrikelnummer: Studiengang: Tutor(in): In der Klausur können 100 Punkte erreicht werden. Die Gesamtpunktezahl ergibt sich als Summe der Klausurpunkte und der Bonuspunkte aus den Übungen. Bestanden hat man mit einer Gesamtpunktezahl von wenigstens 50. Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Klausurpunkte: Bonuspunkte: Gesamtpunkte: 1

2 1. Let X be a pq-random walk on Z with X 0 = 0. We assume that p, the probability to make the next step upwards, equals 2/3. a) For which constant c( 1) is M n := c Xn, n = 0,1..., a martingale? b) Consider T := inf{k > 0 : X k { 5,5}}, the first hitting time of { 5,5}. Use the result from a) to compute P 0 (X T = 5). X sei eine pq-irrfahrt auf Z mit X 0 = 0. Wir nehmen an, dass p, die Wahrscheinlichkeit den nächsten Schritt nach oben zu machen, gleich 2/3 ist. a) Für welche Konstante c( 1) ist M n := c Xn, n = 0,1..., ein Martingal? b) Wir betrachten T := inf{k > 0 : X k { 5,5}}, die erste Treffzeit von { 5,5}. Verwenden Sie das Resultat aus a) um P 0 (X T = 5) zu berechnen. 2

3 2. Consider a Markov chain X on S = N 0 whose transition probabilities are given by P i,i 1 = 2/3, P i,i+1 = 1/3 for i = 1,2,..., and P 0,1 = 1. a) Is this chain irreducible? b) Find all equilibrium distributions of X. (Hint: Try with a reversible equilibrium.) c) Does X have any transient states? Wir betrachten eine Markovkette X auf S = N 0, deren Übergangswahrscheinlichkeiten durch P i,i 1 = 2/3, P i,i+1 = 1/3 für i = 1,2,..., und P 0,1 = 1 gegeben sind. a) Ist diese Kette irreduzibel? b) Finden Sie alle Gleichgewichtsverteilungen von X. (Hinweis: Versuchen Sie es mit einer reversiblen Gleichgewichtsverteilung.) c) Hat X auch transiente Zustände? 3

4 3. Consider a stationary renewal process... < S 1 < S 0 < S 1 <... on Z, with S 1 = max{s i : i Z,S i 0} and S 0 = min{s i : i Z,S i > 0}. Assume that the lifetime distribution is uniform on {1,2,...,10}. Compute the probabilities of the events (i) there is a renewal at time point 3 (ii) {S 0 S 1 = 7} (iii) {S 1 = 3 and S 0 = 4}. Wir betrachten einen stationären Erneuerungsprozess... < S 1 < S 0 < S 1 <... auf Z, mit S 1 = max{s i : i Z,S i 0} und S 0 = min{s i : i Z,S i > 0}. Die Lebensdauerverteilung sei uniform auf {1,2,...,10}. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse (i) es gibt eine Erneuerung zum Zeitpunkt 3 (ii) {S 0 S 1 = 7} (iii) {S 1 = 3 und S 0 = 4}. 4

5 4. Let N be a Poisson(1)-distributed random variable, and put Z := N 2. a) For λ > 0, compute Ee λz. b) Let (X t ) t 0 be a stationary Poisson counting process on R + with intensity 1. Find a (not necessarily optimal) constant c > 0 such that for all a > 0 P(X n 2n > a for some n N 0 ) e ca. Es sei N eine Poisson(1)-verteilte Zufallsvariable, und Z := N 2. a) Berechnen Sie Ee λz für λ > 0. b) Sei (X t ) t 0 ein stationärer Poisson scher Zählprozess auf R + mit Intensität 1. Finden Sie eine (nicht notwendig optimale) Konstante c > 0 so, dass für alle a > 0 P(X n 2n > a für ein n N 0 ) e ca. 5

6 5. Let S be a countable set, and X = (X n ) n=0,1,... be an irreducible recurrent Markov chain on S. As an initial state of X, fix an element a S. a) Letf : S Rbenon-constant, and consider theevent E := {f(x n ) converges as n }. Which statement is correct, and why? (i) P a (E) = 0 (ii) P a (E) = 1 (iii) 0 < P a (E) < 1 Hint: Consider an element b S with f(b) f(a). What is the probability that X visits both states a and b infinitely often? b) For a function h : S R +, prove the following assertion: If h(x n ), n = 0,1,..., is a martingale, then h must be constant. Es sei S eine abzählbare Menge und X = (X n ) n=0,1,... eine irreduzibel rekurrente Markovkette auf S. Wir fixieren ein a S als Startzustand von X. a) Es sei f : S R eine nicht konstante Funktion. Wir betrachten das Ereignis E := {f(x n ) konvergiert für n }. Welche der folgenden Aussagen trifft zu, und warum? (i) P a (E) = 0 (ii) P a (E) = 1 (iii) 0 < P a (E) < 1 Hinweis: Betrachten Sie ein Element b S mit f(b) f(a). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X sowohl den Zustand a als auch den Zustand b unendlich oft besucht? b) Zeigen Sie: Jede Funktion h : S R +, für die h(x n ), n = 0,1,..., ein Martingal ist, ist konstant. 6

7 6. Let Z = δ Ti be a stationary Poisson point process on R + with intensity λ R +, and H 1,H 2,... be i.i.d. real-valued random variables with mean µ and variance σ 2. We consider the compound Poisson process Y t := i:t i t H i, t 0. a) E[Y t ] =? b) E[Y t+h Y t ] =? c) Let F t be the σ-field of events generated by (Y s ) 0 s t. Find the conditional expectation E[Y t+h Y t F t ]. d) Find a sequence (c n ) of real numbers such that M n := Y n c n, n = 0,1,2,..., is a martingale. Sei Z = δ Ti ein stationärer Poisson scher Punktprozess auf R + mit Intensität λ R +, und seien H 1,H 2,... unabhängige, identisch verteilte reellwertige Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Varianz σ 2. Wir betrachten den zusammengesetzten Poissonprozess Y t := i:t i t H i, t 0. a) E[Y t ] =? b) E[Y t+h Y t ] =? c) Es sei F t das von (Y s ) 0 s t erzeugte Ereignisfeld. Finden Sie die bedingte Erwartung E[Y t+h Y t F t ]. d) Geben Sie eine Folge (c n ) reeller Zahlen an, sodass M n := Y n c n, n = 0,1,2,..., ein Martingal ist. 7