Diskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen Algebraische Strukturen

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1 Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen Algebraische Strukturen

2 Verknüpfungen Satz x, y, z N x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x x (y z) = (x y) z 1 x = x x y = y x x, y, z N 0 x + (y + z) = (x + y) + z 0 + x = x x + y = y + x x (y z) = (x y) z 1 x = x x y = y x

3 Verknüpfungen (Forts.) x, y, z Z x + (y + z) = (x + y) + z 0 + x = x x + y = y + x ( x) + x = 0 x, y, z Q x + (y + z) = (x + y) + z 0 + x = x x + y = y + x ( x) + x = 0 x (y z) = (x y) z 1 x = x x y = y x x (y z) = (x y) z 1 x = x x y = y x x 1 x = 1 (falls x 0)

4 Verknüpfungen (Forts.) Definition X Menge Verknüpfung auf X : Abbildung m : X X X Notation: für x, y X : x m y := m(x, y)

5 Verknüpfungen (Forts.) Beispiel auf N: auf N 0 : auf Z: auf Q:

6 Verknüpfungen (Forts.) Beispiel auf {a, b, c}: auf {a, b, c, d, e}: m a b c a a b c b b c a c c a b m a b c d e a b c d e a b d e a c b c e d b a c d c a e b d e a b c d e

7 Verknüpfungen (Forts.) Definition X Menge, m Verknüpfung auf X m assoziativ: für x, y, z X : m kommutativ: für x, y X : x m (y m z) = (x m y) m z x m y = y m x

8 Verknüpfungen (Forts.) Definition X Menge, m Verknüpfung auf X neutrales Element bzgl. m: e X so, dass für x X : e m x = x m e = x Bemerkung X Menge, m Verknüpfung auf X es gibt höchstens ein neutrales Element bzgl. m

9 Verknüpfungen (Forts.) Definition X Menge, m Verknüpfung auf X, e neutr. Element bzgl. m, x X linksinverses Element zu x bzgl. m: y m x = e y X mit rechtsinverses Element zu x bzgl. m: y X mit x m y = e inverses Element zu x bzgl. m: y X mit y m x = x m y = e

10 Verknüpfungen (Forts.) Bemerkung X Menge, m assoz. Verknüpfung auf X, e neutr. Element bzgl. m x, y, y X, y linksinvers zu x bzgl. m, y rechtsinvers zu x bzgl. m y = y

11 Verknüpfungen (Forts.) Korollar X Menge, m assoz. Verknüpfung auf X, e neutr. Element bzgl. m x X es gibt höchstens ein inverses Element zu x bzgl. m

12 Halbgruppen und Monoide Definition Halbgruppe: besteht aus M Menge m assoziative Verknüpfung auf M Missbrauch von Notation: notiere Halbgruppe wieder als M Terminologie und Notationen: Multiplikation (oder Halbgruppenverknüpfung) von M: m Notation: M Halbgruppe M heißt kommutativ: ist kommutativ

13 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Monoid: Halbgruppe M so, dass ein neutrales Element bzgl. existiert Terminologie und Notationen: Eins von M: das neutrale Element bzgl. Notation:

14 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Axiome in Standardnotation Halbgruppe M: für x, y, z M: x(yz) = (xy)z kommutative Halbgruppe M: für x, y, z M: x(yz) = (xy)z für x, y M: xy = yx Monoid M: für x, y, z M: x(yz) = (xy)z es ex. e M so, dass für x M: ex = xe = x kommutatives Monoid M: für x, y, z M: x(yz) = (xy)z es ex. e M so, dass für x M: ex = xe = x für x, y M: xy = yx

15 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Definition abelsche Halbgruppe: komm. Halbgruppe A mit Halbgruppenverknüpfung + = + A Terminologie und Notationen: Addition von A: Verknüpfung + abelsches Monoid: ab. Halbgruppe A so, dass ein neutr. Elt. bzgl. + existiert Terminologie und Notationen: Null von A: das neutrale Element bzgl. + Notation:

16 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Axiome in Standardnotation abelsche Halbgruppe A: für x, y, z A: x + (y + z) = (x + y) + z für x, y A: x + y = y + x abelsches Monoid A: für x, y, z A: x + (y + z) = (x + y) + z es ex. n A so, dass für x A: n + x = x + n = x für x, y A: x + y = y + x

17 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Beispiel N mit üblicher Addition: N mit üblicher Multiplikation: N 0 mit üblicher Addition: N0 mit üblicher Multiplikation:

18 Halbgruppen und Monoide (Forts.) Beispiel nicht-kommutatives Monoid mit genau drei Elementen: 1 c 1 c c 1 c 2 c 1 c 1 c 1 c 1 c 2 c 2 c 2 c 2

19 Abbildungsmonoid Bemerkung X Menge Map(X, X ) wird Monoid mit Monoidverknüpfung (g, f ) g f Notation X Menge, f, g Map(X, X ): gf := g f

20 Stringmonoid Definition X Menge Stringmonoid: Monoid X mit unterliegende Menge: k N 0 X k Monoidverknüpfung: ((x 1,..., x k ), (y 1,..., y l )) (x 1,..., x k, y 1,..., y l ) Terminologien und Notationen: Konkatenation: Monoidverknüpfung von X String in X : Notation: leerer String: Notation: Element von X Einselement von X

21 Stringmonoid (Forts.) Beispiel {a} = {a, b} =

22 Stringmonoid (Forts.) Definition X Menge (formale) Sprache über X : Teilmenge L von X Terminologien und Notationen: Alphabet von L: Menge X Zeichen von L: Wort in L: Beispiel {a n b n n N} = {(ab) n n N 0 } = Element von X Element von L

23 Stringmonoid (Forts.) Anwendungsbeispiel Alphabet der Aussagenlogik: Sprache der Aussagenlogik: Anwendungsbeispiel Befehle und erlaubte Zeichen einer Programmiersprache: Quelltexte:

24 Invertierbare Elemente Definition M Monoid, x M x invertierbar in M: es gibt ein inverses Element zu x bzgl. x invertierbar Inverse zu x in M: das zu x inverse Element y bzgl. Notation: Menge der invertierbaren Elemente in M: A abelsches Monoid, x A M = {x M x invertierbar} x negierbar in A: es gibt ein inverses Element zu x bzgl. + x negierbar Negative zu x in A: das zu x inverse Element y bzgl. + Notation:

25 Invertierbare Elemente (Forts.) Beispiel N 0 = {1} 0 einziges negierbares Element in N 0 X Menge (X ) = {ε} Proposition M Monoid für x, y M : xy M mit (xy) 1 = y 1 x 1 1 M mit 1 1 = 1 für x M : x 1 M mit (x 1 ) 1 = x

26 Invertierbare Elemente (Forts.) Bemerkung M Monoid, a M, b, x M ax = b x = a 1 b xa = b x = ba 1

27 Invertierbare Elemente (Forts.) Korollar M Monoid, a M, x, y M äquivalent: ax = ay xa = ya x = y Korollar M Monoid, a M, x M äquivalent: ax = a xa = a x = 1

28 Gruppen Definition Gruppe: Monoid G so, dass jedes Elt. von G invertierbar ist abelsche Gruppe: abelsches Monoid A so, dass jedes Elt. von A negierbar ist

29 Gruppen (Forts.) Axiome in Standardnotation Gruppe G: für x, y, z G: x(yz) = (xy)z es ex. e G so, dass für x G: ex = xe = x für x G ex. y G: yx = xy = 1 kommutative Gruppe G: für x, y, z G: x(yz) = (xy)z es ex. e G so, dass für x G: ex = xe = x für x G ex. y G: yx = xy = 1 für x, y G: xy = yx

30 Gruppen (Forts.) abelsche Gruppe A: für x, y, z A: x + (y + z) = (x + y) + z es ex. n A so, dass für x A: n + x = x + n = x für x A ex. y A: y + x = x + y = 0 für x, y A: x + y = y + x

31 Gruppen (Forts.) Beispiel Z mit üblicher Addition: Z mit üblicher Multiplikation: Q mit üblicher Addition: Q mit üblicher Multiplikation:

32 Gruppen (Forts.) Beispiel nicht-kommutative Gruppe mit genau sechs Elementen: 1 τ 1 τ 2 τ 3 σ 1 σ τ 1 τ 2 τ 3 σ 1 σ 2 τ 1 τ 1 1 σ 2 σ 1 τ 3 τ 2 τ 2 τ 2 σ 1 1 σ 2 τ 1 τ 3 τ 3 τ 3 σ 2 σ 1 1 τ 2 τ 1 σ 1 σ 1 τ 2 τ 3 τ 1 σ 2 1 σ 2 σ 2 τ 3 τ 1 τ 2 1 σ 1

33 Gruppen (Forts.) Definition A abelsche Gruppe Subtraktion von A: Verknüpfung (x, y) x + ( y) auf A Notation:

34 Gruppe der invertierbaren Elemente Definition M Monoid Gruppe der invertierbaren Elemente von M: Gruppe M mit Multiplikation gegeben durch für x, y M Beispiel Z = {1, 1} Q = Q \ {0} x M y = x M y

35 Ringe und Körper Definition Ring: besteht aus R abelsche Gruppe m Verknüpfung auf R so, dass gilt: R wird Monoid mit Multiplikation m für x, y, z R: x m (y + z) = (x m y) + (x m z) (x + y) m z = (x m z) + (y m z) Missbrauch von Notation: notiere Ring wieder als R Terminologie und Notationen: Multiplikation von R: m Notation: = R := m, für x, y R: xy = x y

36 Ringe und Körper (Forts.) R Ring R kommutativ: kommutativ Körper: kommutativer Ring K mit 1 0 jedes Element von K \ {0} ist invertierbar

37 Ringe und Körper (Forts.) Axiome in Standardnotation Ring R: für x, y, z R: x + (y + z) = (x + y) + z es ex. n R so, dass für x R: n + x = x + n = x für x R ex. y R: y + x = x + y = 0 für x, y R: x + y = y + x für x, y, z R: x(yz) = (xy)z es ex. e R so, dass für x R: ex = xe = x für x, y, z R: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

38 Ringe und Körper (Forts.) kommutativer Ring R: für x, y, z R: x + (y + z) = (x + y) + z es ex. n R so, dass für x R: n + x = x + n = x für x R ex. y R: y + x = x + y = 0 für x, y R: x + y = y + x für x, y, z R: x(yz) = (xy)z es ex. e R so, dass für x R: ex = xe = x für x, y R: xy = yx für x, y, z R: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

39 Ringe und Körper (Forts.) Körper K: für x, y, z K: x + (y + z) = (x + y) + z es ex. n K so, dass für x K: n + x = x + n = x für x K ex. y K: y + x = x + y = 0 für x, y K: x + y = y + x für x, y, z K: x(yz) = (xy)z es ex. e K so, dass für x K: ex = xe = x 1 0 für x K \ {0} ex. y K: yx = xy = 1 für x, y K: xy = yx für x, y, z K: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

40 Ringe und Körper (Forts.) Beispiel Z mit üblicher Addition und Multiplikation: Q mit üblicher Addition und Multiplikation:

41 Ringe und Körper (Forts.) Beispiel Körper mit genau zwei Elementen:

42 Ringe und Körper (Forts.) Beispiel nicht-kommutativer Ring mit genau acht Elementen: e 1 e 2 n u s 1 s e 1 e 2 n u s 1 s e 2 e 1 u n s 2 s 1 e 1 e 1 e s 1 s 2 n u e 2 e 2 e s 2 s 1 u n n n u s 1 s e 1 e 2 u u n s 2 s e 2 e 1 s 1 s 1 s 2 n u e 1 e s 2 s 2 s 1 u n e 2 e 1 1 0

43 Ringe und Körper (Forts.) 0 1 e 1 e 2 n u s 1 s e 1 e 2 n u s 1 s 2 e 1 0 e 1 e 1 0 n s 1 s 1 n e 2 0 e 2 0 e 2 0 e 2 0 e 2 n 0 n 0 n 0 n 0 n u 0 u e 1 s 2 n 1 s 1 e 2 s 1 0 s 1 e 1 n n e 1 s 1 0 s 2 0 s 2 0 s 2 0 s 2 0 s 2

44 Ringe und Körper (Forts.) Proposition R Ring für a R: a 0 = 0 a = 0 für a, b R: für a, b R: a( b) = ( a)b = ab ( a)( b) = ab

45 Ringe und Körper (Forts.) Definition Integritätsbereich: kommutativer Ring R mit 1 0 und für a, b R: ab = 0 a = 0 oder b = 0 Beispiel Ring Z ist Integritätsbereich Beispiel kommutativer Ring mit genau vier Elementen und Nullteilern:

46 Ringe und Körper (Forts.) Proposition Körper sind Integritätsbereiche Bemerkung R kommutativer Ring mit 1 0 äquivalent: R ist Integritätsbereich für a, x, y R: ax = ay a = 0 oder x = y

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