Operationen. auch durch. ausgedrückt. ist die Trägermenge der Operation. Mathematik I für Informatiker Algebren p.1/21

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1 Operationen Eine Operation auf einer Menge ist eine Abbildung ist dabei die Menge aller -Tupel mit Einträgen aus. Man nennt auch durch die Stelligkeit der Operation ; dies wird ausgedrückt. Die Menge ist die Trägermenge der Operation. Mathematik I für Informatiker Algebren p.1/21

2 Schreibweisen (1) Für zweistelligen Operationen verwendet man gern Symbole, die an die Zeichen erinnern, die man beim Rechnen benutzt, wie. Man benutzt dann die Infixnotation, bei der das Operationssymbol zwischen die Argumente geschrieben wird, d.h., man schreibt statt. Einstellige Operationen stellt man oft in der Exponentenschreibweise dar, schreibt also statt. Mathematik I für Informatiker Algebren p.2/21

3 Schreibweisen (2) Nullstellige Operationen benötigen kein Argument und liefern ein konstantes Ergebnis. Man kann sie mit den Elementen von identifizieren ( Konstanten ). In der Informatik betrachtet man oft allgemeiner mehrsortige Operationen, bei denen es mehrere Trägermengen gibt. Das wird in etwa so angegeben: wohnt_in Person Stadt boolean Mathematik I für Informatiker Algebren p.3/21

4 Signatur Eine Signatur einsortiger Algebren (auch Rangalphabet genannt), besteht aus einer Menge, deren Elemente wir Operationssymbole nennen, und einer Abbildung, die jedem Operationssymbol eine Stelligkeit zuordnet. Um eine Signatur anzugeben, schreibt man meist nur Menge von Paaren auf. als Die Signatur Gruppen verwenden. kann man z.b. für Mathematik I für Informatiker Algebren p.4/21

5 Algebra Eine (allgemeine) Algebra zur Signatur ist ein Paar, wobei eine Menge und eine Folge von Operationen auf ist mit der Eigenschaft, dass es in zu jedem Operationssymbol aus genau eine Operation der entsprechenden Stelligkeit gibt (und keine weiteren Operationen). Die Folge der Stelligkeiten nennt man den Typ der Algebra. Die Menge ist die Trägermenge der Algebra. Die Operationen in sind die fundamentalen Operationen der Algebra. Mathematik I für Informatiker Algebren p.5/21

6 Strukturenzoo: Binar und Halbgruppe Eine Algebra vom Typ ist ein Binar (auch Gruppoid genannt). Ein assoziatives Gruppoid ist eine Halbgruppe. Ein besonders wichtiges Beispiel einer Halbgruppe erhält man folgendermaßen: Zu einer Menge (dem Alphabet ) bildet man die Menge aller Tupel ( Wörter ). Als zweistellige Operation nimmt man die Verkettung, die Wörter einfach aneinanderhängt. Man erhält so die Worthalbgruppe über dem Alphabet. Mathematik I für Informatiker Algebren p.6/21

7 Strukturenzoo: Monoid Eine Halbgruppe mit neutralem Element, also eine Algebra der Signatur, die für alle Elemente aus der Trägermenge die Gesetze und erfüllt, ist ein Monoid. Es kann in einem Monoid nur ein neutrales Element geben. Lässt man bei der Worthalbgruppe das leere Wort zu (das Nulltupel), dann wird die Worthalbgruppe zu einem Monoid. Ein weiteres wichtiges Beispiel eines Monoids besteht aus allen Abbildungen einer Menge in sich; neutrales Element ist dabei die identische Abbildung, die zweistellige Operation ist die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Mathematik I für Informatiker Algebren p.7/21

8 Strukturenzoo: Halbverband Ein Halbverband ist eine kommutative idempotente Halbgruppe, d.h. eine Halbgruppe mit und für alle. Einfache Beispiele von Halbgruppen erhält man aus Wurzelbäumen. Mathematik I für Informatiker Algebren p.8/21

9 Strukturenzoo: Quasigruppe Eine Quasigruppe ist ein Gruppoid, in dem zu je zwei Elementen stets genau ein Element und genau ein Element existieren mit sowie Mathematik I für Informatiker Algebren p.9/21

10 Strukturenzoo: Gruppe Eine Gruppe ist eine Algebra mit folgenden Eigenschaften: ist ein Monoid, es gilt für alle vom Typ Die Gestalt der Operationssymbole ist dabei nebensächlich, oft werden z.b. auch die Symbole benutzt.. Mathematik I für Informatiker Algebren p.10/21

11 Strukturenzoo: Gruppe (2) Durch die zweistellige Operation sind die anderen fundamentalen Operationen einer Gruppe eindeutig bestimmt. Manche Autoren definieren deshalb eine Gruppe als eine Algebra vom Typ, die folgenden Gesetzen genügt: Die Operation Es gibt ein Element Gleichung Zu jedem Element mit ist assoziativ.., so dass für alle gilt. existiert ein Element die Wir bevorzugen die erste Definition, weil sie logisch etwas einfacher ist: alle Bedingungen sind Gleichungen. Mathematik I für Informatiker Algebren p.11/21

12 Beispiele von Gruppen Gruppen tauchen vielfältig in der Arithmetik auf: die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen bilden jeweils mit der Addition eine Gruppe, die von Null verschiedenen rationalen Zahlen, die von Null verschiedenen reellen Zahlen bzw. die von Null verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation als zweistellige Operation bilden ebenfalls eine Gruppe. Mathematik I für Informatiker Algebren p.12/21

13 Beispiele von Gruppen (2) All diese Gruppen sind abelsch, was das gleiche bedeutet wie kommutativ. Diese Eigenschaft haben auch die Gruppen mod der ganzen Zahlen modulo. Nichtabelsche Gruppen spielen ebenfalls eine große Rolle. Die Menge alle bijektiven Abbildungen einer Menge auf sich ist, mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Operation, eine Gruppe. Sie wird die symmetrische Gruppe auf genannt. Hat mehr als zwei Elemente, dann ist die symmetrische Gruppe nicht abelsch. Als Faustregel kann man sich merken, dass Monoide zur Beschreibung von Vorgängen taugen, während Gruppen zur Beschreibung reversibler Vorgänge geeignet sind. Mathematik I für Informatiker Algebren p.13/21

14 Strukturenzoo: Ring Ein Ring eine Algebra mit der Eigenschaft, dass Gruppe ist und die Operation der Operation distributiv ist. vom Typ eine abelsche assoziativ sowie über Hat man zusätzlich noch ein neutrales Element der Multiplikation (als Operationssymbol nimmt man dafür gern das Symbol ), dann spricht man von einem Ring mit Eins. Neben den ganzen Zahlen und den Körpern bekommt man auf folgende Weise eine wichtige Beispielklasse: Mathematik I für Informatiker Algebren p.14/21

15 Polynomringe Ist ein Ring mit Eins und ist welches nicht in liegt, dann bezeichnet aller Ausdrücke der Form ein Symbol, die Menge alle Man nennt diese Ausdrücke Polynome über dem Ring. Solche Polynome kann man auf die gewohnte Weise miteinander addieren und multiplizieren. Dadurch wird zum Polynomring über. Man kann eine Division mit Rest auch für Polynome definieren. Mathematik I für Informatiker Algebren p.15/21

16 Strukturenzoo: Körper Ein Körper ist ein Ring mit Eins, bei dem die Multiplikation eine Gruppenoperation auf ist. Die bekanntesten Beispiele von Körpern sind die rationalen, die reellen und die komplexen Zahlen. Diese Körper sind sogar kommutativ (was bedeuten soll, dass auch die Multiplikation kommutativ ist). Nichtkommutative Körper nennt man echte Schiefkörper. Sie spielen in unserer Vorlesung keine Rolle. Für die Informatik wichtig sind auch die endlichen Körper, die man aus dem Modulo-Rechnen gewinnt. Mathematik I für Informatiker Algebren p.16/21

17 Strukturenzoo: Vektorraum Ein Vektorraum über einem Körper ist eine abelsche Gruppe mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Element von ( Skalar ) eine einstellige Operation ( Skalarmultiplikation ) auf gibt mit folgenden Eigenschaften:,,. Mathematik I für Informatiker Algebren p.17/21

18 Beispiele von Vektorräumen Die Menge einem Körper Addition aller -Tupel mit Komponenten aus bildet mit der komponentenweisen und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum. Die Polynome bilden einen -Vektorraum. Die Abbildungen von nach bilden einen -Vektorraum. Mathematik I für Informatiker Algebren p.18/21

19 Strukturenzoo: Verband Ein Verband ist eine Algebra vonm Typ, bei der und Halbverbände sind, die durch die folgenden Absorptionsgesetze miteinander verbunden sind: für alle Verbände tauchen unablässig in Mathematik und Informatik auf, typischerweise dann, wenn es gilt, die Teile einer Struktur bezüglich ihrer Enthaltenseinsordnung zu beschreiben. Begriffsverbände sind natürlich Beispiele von Verbänden. Jeder vollständige Verband ist zu einem Begriffsverband isomorph. Mathematik I für Informatiker Algebren p.19/21

20 Distributive Verbände Ein Verband heißt distributiv, falls die folgenden Distributivgesetze erfüllt sind: für alle Jedes dieser beiden Gesetze impliziert das andere. Die Menge aller Teilmengen einer beliebigen Menge bildet einen distributiven Verband, wobei die Verbandoperationen die Vereinigung und der Durchschnitt von Mengen ist. Mathematik I für Informatiker Algebren p.20/21

21 Strukturenzoo: Boolesche Algebra Eine Boolesche Algebra a ist vom Typ, wobei Verband ist und für alle gelten:,,,,,, ein distributiver folgende Gleichungen. a Nach George Boole ( ). Also bitte nicht: Bolsche Algebra, Boolsche Algebra, Bollesche Algebra, Boule-Algebra, Boulez sche Algebra,... Mathematik I für Informatiker Algebren p.21/21