4.3 Richtungsableitungen

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1 4.3 Richtungsableitungen 4.3. Richtungsableitungen 73 Wenden wir uns jetzt Funktionen zu, die von mehreren Variablen abhängen. Sei also U R n offen und f:u R eine Funktion. Wählen wir einen Punkt p = (p 1,...,p n ) in U aus. Unter der partiellen Ableitung von f bei p nach der ersten Variablen x 1 versteht man folgenden Grenzwert (falls er existiert): f(p 1 +t,p 2,...,p n ) f(p) x1 f(p) := lim. Wir können diesen Grenzwert auffassen als die gewöhnliche Ableitung bei p 1 der Funktion g in einer Variablen, die wir aus f erhalten, indem wir für x 2,...,x n jeweils die Koordinaten von p einsetzen, also g(x) = f(x,p 2,...,p n ). Denn dann ist g g(p 1 +t) g(p 1 ) f(p 1 +t,p 2,...,p n ) f(p) (p 1 ) = lim = lim = x1 f(p). Die partielle Ableitung nach x 1 gibt also die Änderungsrate der Funktion f in bezug auf die Variable x 1 an, und wir können sie berechnen, indem wir einfach die übrigen Variablen als konstant betrachten. Entsprechend gibt es partielle Ableitungen nach sämtlichen Variablen Definition Die partielle Ableitung von f bei p = (p 1,...,p n ) nach der Variablen x j (j = 1,...,n) ist folgender Grenzwert (falls er existiert): f(p 1,...,p j 1,p j +t,p j+1,...,p n ) f(p) xj f(p) := lim. Es gibt dafür auch die folgenden Schreibweisen: xj f(p) = j f(p) = f x k (p). Wenn diese Ableitungen existieren, nennt man f bei p partiell differenzierbar. Um die partielle Ableitung einer Funktion nach einer bestimmten Variablen zu berechnen, kann man alle übrigen Variablen im definierenden Ausdruck als konstant betrachten und dann die bekannten Rechenregeln für Ableitungen von Funktionen einer Variablen anwenden Beispiel Sei f(x,y,z) = x 2 e 5y +sin 2 z für x,y,z R. Dann sind x f(x,y,z) = 2xe 5y y f(x,y,z) = 5x 2 e 5y z f(x,y,z) = 2sin(z)cos(z). Bei Funktionen in zwei Variablen kann man sich die Bedeutung der partiellen Ableitung auch graphisch veranschaulichen. Schauen wir uns dazu ein weiteres Beispiel an.

2 74 Kapitel 4. Differentialrechnung in mehreren Variablen 4.22 Beispiel Die Funktion f(x,y) = x 2 + y 2 (für x,y R) hat die partiellen Ableitungen x f(x,y) = 2x und y f(x,y) = 2y. Im Punkt p = (0,1) beispielsweise ist y f(p) = 2. Dies ist gerade die Ableitung bei y = 1 der Funktion g(y) = y 2, die wir aus f erhalten, wenn wir x = 0 einsetzen. Der Graph der Funktion g entsteht aus dem Graphen von f (einem Paraboloid), indem wir mit der Ebene, definiert durch x = 0, schneiden. Und die partielle Ableitung y f(p) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f in p oberhalb der y-richtung an. Entsprechend stimmt x f(p) = 0 mit der Ableitung der Funktion h(x) = x 2 +1 bei x = 0 überein, die wir aus f erhalten, wenn wir y = 1 einsetzen. Der Graph von h ergibt sich aus dem Graphen von f durch Schneiden mit der Ebene, definiert durch y = 1. Die Schnittfigur ist eine Parabel mit Scheitelpunkt über p, also ist die Tangentensteigung dort gleich Null. Hier ein Beispiel einer Funktion, die nicht überall partiell differenzierbar ist Beispiel Sei f(x,y) = sin(x) sin(y) für x,y R. Der Graph von f erinnert an die Oberfläche einer Steppdecke. Im Nullpunkt existieren die partiellen Ableitungen und verschwinden, denn f(t,0) f(0,0) f(0,t) f(0,0) x f(0,0) = lim = 0 und y f(0,0) = lim = 0. Aber im Punkt p = ( π,0) gibt es keine Ableitung nach y. Denn die Funktion g(t) = 2 f( π,t) = sin(t) (für t R) ist bei t = 0 nicht differenzierbar, der Graph hat von g 2 hat dort eine Knickstelle, die auch sichtbar wird, wenn wir den Graphen von f mit der Ebene, definiert durch x = π, schneiden. 2 Man kann nun allgemeiner auch die Änderungsrate einer Funktion in einer anderen als einer der Koordinatenrichtungen betrachten. Diese Idee führt zum Konzept der Richtungsableitung Definition Sei v R n fest gewählt. Unter der Richtungsableitung von f in Richtung von v (an der Stelle p U) versteht man folgenden Grenzwert: v f(p) := d dt f(p+tv) f(p+tv) f(p) t=0 = lim. Man schränkt also eigentlich die Funktion f auf die Gerade durch p mit Richtungsvektor v ein, erhält so eine Funktion in nur einer Variablen t und leitet dann ab. Ist m = 1 und v einer der kanonischen Basisvektoren e 1,...,e n, so stimmt die Richtungsableitung mit der entsprechenden partiellen Ableitung überein: f(p+te k ) f(p) f(p 1,...,p j +t,...,p n ) f(p) ek f(p) = lim = lim = xk f(p). Istm = 1undn = 2,sokönnenwirdieRichtungsableitung wiederum anhanddes Funktionsgraphen geometrisch interpretieren. Um die Ableitung von f in Richtung von v zu berechnen, bilden wir eine Funktion g(t) = f(p+tv) in nur einer reellen

3 4.4. Differential 75 Variablentundleitenbeit = 0ab.DerGraphvong ergibtsichausdemgraphenvon f, indem wir mit der Ebene schneiden, die auf der x-y-ebene senkrecht steht, und die x-y-ebene in der Geraden durch den Punkt p mit Richtungsvektor v schneidet. Dabei ist g(0) = f(p). Die Ableitung g (0) = v f(p) gibt also die Steigung der Tangenten an den Graphen von f in p oberhalb der Geraden in Richtung v an Beispiel Betrachten wir wie eben f(x,y) = x 2 +y 2 (für x,y R) und wählen wir v = (1,1) und p = (x 0,y 0 ), so ist v f(p) = d dt f(x 0 +t,y 0 +t) t=0 = d dt ((x 0 +t) 2 +(y 0 +t) 2 ) t=0 = 4.4 Differential 2(x 0 +y 0 +2t) t=0 = 2(x 0 +y 0 ). Eine Funktion f in mehreren Variablen ist an einer Stelle p differenzierbar, wenn bei pdierichtungsableitungen v f(p)inrichtungsämtlichervektorenv R n existieren und linear von der Wahl von v abhängen. Genauer definiert man folgendes: 4.26 Definition Sei U R n offen, p U und f:u R n R m eine Funktion. Sei weiter ǫ > 0 so klein, dass die Kugel K ǫ (p) vom Radius ǫ um p ganz im Definitionsbereich U liegt. Die Funktion f heisst an der Stelle p U differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L p :R n R m und eine Restfunktion R:K ǫ (0) R n R m mit lim v 0 R(v) = 0 gibt, so dass für alle v R n mit v < 1 und alle t R mit t < ǫ gilt: f(p+tv) = f(p)+tl p (v)+ t R(tv). Die Funktion f lässt sich also entwickeln in einen konstanten Term f(p), einen linearenterml p (tv)undeinenresttermvonhöhererordnung. DielineareAbbildungL p ist durch die Entwicklungsbedingung eindeutig festgelegt und wird als Differential von f an der Stelle p bezeichnet. Wir werden die Notation df p für das Differential verwenden. Man nennt f auf U differenzierbar, wenn f an jeder Stelle von U differenzierbar ist Bemerkung Das Differential df p ordnet jedem Vektor v R n die Richtungsableitung von f in Richtung von v an der Stelle p zu: df p (v) = v f(p). Denn weil df p eine lineare Abbildung ist, folgt aus der Dreigliedentwicklung f(p+tv) f(p) = df p (tv)+ t R(tv) = tdf p (v)+ t R(tv). Daraus ergibt sich wegen der Eigenschaft von R: f(p+tv) f(p) v f(p) = lim = df p (v)±limr(tv) = df p (v). t 0

4 76 Kapitel 4. Differentialrechnung in mehreren Variablen Die geometrische Bedeutung für m = 1 ist folgende: f ist bei p differenzierbar, wenn der Graph von f an der Stelle (p, f(p)) eine eindeutige Berührhyperebene besitzt (für n = 2 Tangentialebene ). Das Differential von f bei p gibt die Lage dieser berührenden Hyperebene an, denn es handelt sich dabei gerade um den Graphen der Abbildung R n R m, p+v f(p)+df p (v) Bemerkung Setzen wir n = m = 1, so erhalten wir die bekannte Definition von Differenzierbarkeit für Funktionen einer Variablen wieder zurück, wenn wir für df p die Multiplikation mit f (p) einsetzen. Die Dreigliedentwicklung lautet dann: f(p+h) = f(p)+f (p) h+r(h) h. Ist n = 1 und m N, so handelt es sich eigentlich um einen Weg γ. Auch in diesem Fall stimmt die neue Definition mit der im vorigen Paragraphen gegebenen überein. Ist γ:i R m ein (im Sinne des vorigen Paragraphen) differenzierbarer Weg, so gibt der Geschwindigkeitsvektor γ (t) an der Stelle t jeweils als Differential von γ an der Stelle t an. Die Dreigliedentwicklung lautet hier: Denn setzen wir für h 0: so ist lim h 0 R(h) = 0, wie verlangt. γ(t+h) = γ(t)+γ (t) h+r(h) h. R(h) := γ(t+h) γ(t) h γ (t), 4.29 Beispiele 1. Sei f:r n R m eineaffineabbildung, definiert durchf(v) = c+a v, wobei c R m fest und A eine fest gewählte m n-matrix seien. Wie obenbemerkt,istdergraphvonf einlinearerunterrauminr n+m,verschoben um den Vektor c. Die Abbildung f ist auf ganz R n differenzierbar und es gilt df p (v) = A v für alle p,v R n, wie der Vergleich mit der Dreigliedentwicklung zeigt. In diesem Fall hängt also das Differential nicht von der gewählten Stelle a ab, und die Restfunktion verschwindet überall. 2. Wir betrachten jetzt die quadratische Funktion f:r n R, gegeben durch f(v) = v 2. Auch diese Funktion ist auf ganz R n differenzierbar. Hier gilt für p R n df p (v) = 2p t v für alle v R n. Denn für v R n berechnen wir n f(p+tv) = p+tv 2 = (p j +tv j ) 2 = p 2 +2tp t v +t 2 v 2. j=1 Die Multiplikation mit dem Zeilenvektor p t ist eine lineare Abbildung, und lim v 0 v = 0, weil dielängenfunktion stetig ist. Also habenwir diegesuchte Dreigliedentwicklung bereits gefunden und können daraus das Differential von f ablesen.

5 4.4. Differential Die Längenfunktion f:r n R, v v, ist im Nullpunkt nicht differenzierbar. Dies ist anschaulich klar, wenn man sich den Graphen der Längenfunktion anschaut. Denn es handelt sich um einen Kegel in R n+1 mit einer Spitze im Nullpunkt. Dort kann es also keine eindeutige Berührhyperebene geben. Wir kommen auf dies Beispiel gleich wieder zurück (siehe 4.19) Bemerkung Wie im eindimensionalen Fall kann man zeigen, dass eine in p differenzierbare Funktion an dieser Stelle auch stetig sein muss. Weiter lässt sich an der Definition sofort ablesen, dass eine Abbildung mit mehreren Komponenten f:u R m, v (f 1 (v),...,f m (v)), genau dann in a U differenzierbar ist, wenn jede der Komponentenfunktionen f i :U R in p differenzierbar ist Satz Ist f = (f 1,...,f m ):U R m in p U R n differenzierbar, so existieren auch alle partiellen Ableitungen f i x k (p) und das Differential df p wird bezüglich der kanonischen Basen von R n und R m durch die sogenannte Jacobimatrix beschrieben, die aus den partiellen Ableitungen gebildet ist: Jf(p) := 1 f 1 (p)... n f 1 (p) 1 f 2 (p)... n f 2 (p).. 1 f m (p)... n f m (p). Beweis. Wie schon oben bemerkt, ist df p (v) = v f(p) für alle v R n. Insbesondere existieren alle partiellen Ableitungen. Ausserdem hängt die Richtungsableitung linear von der Wahl von v ab, weil df p eine lineare Abbildung ist. Für v = x 1 e 1 + x n e n gilt also df p (v) = x 1 1 f(p)+ +x n n f(p). Das bedeutet gerade, dass die lineare Abbildung df p durch die Multiplikation mit der Jacobi-Matrix gegeben ist. q.e.d Beispiele 1. Schauen wir uns noch einmal das Quadrat der Längenfunktion an: f(x 1,...,x n ) = x x 2 n für x k R. Wie oben gezeigt, ist diese Funktion differenzierbar und es gilt df p (v) = 2 p,v = 2(p 1 v p n v n ). Andererseits ist für k = 1,...,n f x k (p) = 2p k, und die zugehörige Jacobimatrix lautet Jf(p) = (2p 1,2p 2,...,2p n ). Also bestätigt sich hier df p (v) = Jf(p) v = 2 p,v.

6 78 Kapitel 4. Differentialrechnung in mehreren Variablen 2. Betrachten wir dagegen die Längenfunktion selbst, das heisst g(v) = v, dann stellen wir fest, dass die partiellen Ableitungen von g im Nullpunkt nicht existieren. Also kann g im Nullpunkt auch nicht differenzierbar sein. Denn die Zuordung t g(0 + te k ) = t ist die Betragsfunktion, und die ist bei t = 0 nicht differenzierbar. Zur Warnung sei darauf hingewiesen, dass die Umkehrung des Satzes i.a. nicht richtig ist. Es gibt nämlich partiell differenzierbare Abbildungen, die nicht (total) differenzierbar sind (s. Beispiel unten). Verlangt man aber zusätzlich noch, dass die partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man daraus die Existenz des Differentials schliessen Satz Sei f:u R n R m eine Funktion, deren sämtliche partiellen Ableitungen auf U existieren. Seien weiter die Zuordnungen v f i x j (v) an der Stelle p U stetig. Dann ist f in p differenzierbar. Den Beweis dieses Satzes lassen wir hier weg und geben stattdessen gleich einige Beispiele an Beispiele 1. Die Jacobimatrix der Funktion f:r 2 R, definiert durch f(x,y) = 1 (x 2 1) 2 y 2, lautet Jf(x,y) = ( 4x(x 2 1), 2y). Da die beiden partiellen Ableitungen überall stetig sind, ist f auf ganz R 2 differenzierbar und das Differential durch Multiplikation mit der Jacobimatrix gegeben. 2. Sei f:r 2 R 2 definiert durch f(x,y) = Jf(x,y) = ( ) e x cosy e x. Die Jacobimatrix hierzu: siny ) ( e x cosy e x siny e x siny e x cosy Wiederum sind alle vorkommenden partiellen Ableitungen stetig und daher ist f überall differenzierbar. 3. Die Funktion f:r 2 R, definiert durch { xy f(x,y) = für (x,y) (0,0) x 2 +y 2, 0 sonst ist überall partiell differenzierbar, auch im Nullpunkt. Die partielle Ableitung nach x an einer Stelle (x,y) (0,0) lautet f x (x,y) = y3 x 2 y (x 2 +y 2 ) 2. Durch Einsetzen in die Definition erhält man ausserdem f f(t,0) (0,0) = lim = 0. x.

7 4.4. Differential 79 Die partielle Ableitung nach y ergibt sich entsprechend. Aber die Richtungsableitung von f in Richtung von v = (1,1) im Nullpunkt existiert nicht. Denn der Quotient 1 t f(t,t) = t2 /2t 3 = 1 2t hat für t gegen Null keinen endlichen Grenzwert. Die Funktion f ist im Nullpunkt also nicht differenzierbar. Die Funktion f ist im Nullpunkt auch nicht stetig. Denn je nachdem, aus welcher Richtung man sich in der x-y-ebene dem Nullpunkt nähert, konvergieren die entsprechenden Funktionswerte gegen unterschiedliche Werte. Zum Beispiel ist lim x 0 f(x,0) = 0, während lim x 0 f(x,x) = 1 2. Für zusammengesetzte Funktionen gibt es auch im Mehrdimensionalen eine Kettenregel. Seien g:u R n V R l und f:v R m Funktionen und U,V jeweils offene Teilmengen. Wir betrachten jetzt die zusammengesetzte Funktion f g:u R m Satz Ist g differenzierbar an der Stelle p U, und ist f differenzierbar an der Stelle g(p) V, so ist auch f g bei p differenzierbar. Für die Differentiale gilt: D(f g) p = df g(p) Dg p. Das bedeutet für die entsprechenden Jacobi-Matrizen: J(f g)(p) = Jf(g(p)) Jg(p) Beispiel Sei g:r 2 R 2 gegeben durch g(x,y) = (x+y,x y), und f:r 2 R definiert durch f(u,v) = e u v. Die Zusammensetzung lautet dann (f g)(x,y) = e x+y xy. Die zugehörigen Jacobimatrizen sind folgende: ( ) 1 1 Jf(u,v) = (e u v,e u ), Jg(x,y) =. y x Durch Multiplikation erhalten wir Jf(g(x,y)) Jg(x,y) = (e x+y xy,e x+y ) Andererseits ist ( ) 1 1 = e x+y (xy +y,xy+x). y x (f g) (x,y) = ye x+y +xye x+y x und (f g) (x,y) = xe x+y +xye x+y, y Also bestätigt sich hier die Regel J(f g)(x,y) = Jf(g(x,y)) Jg(x,y).