MATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK

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Hajo Scholz
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1 MATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK ERSTER BAND VON WOLFGANG GRÖBNER und PETER LESKY o. Professor Dozent an der Universität Innsbruck BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT MANNHEIM HOCHSCHUL TASCHENBUCH ER-VERLAG

2 INHALTSVERZEICHNIS KAPITEL I Approximation willkürlicher Funktionen 9 1. Interpolationsrechnung Ausgleichungsrechnung Der Weierstraßsche Approximationssatz Methode der kleinsten Fehlerquadrate 20 Aufgaben 23 KAPITEL II Orthogonale Funktionensysteme Der Hilbertraum Orthogonale Funktionen Lineare Abhängigkeit Approximation einer Funktion durch ein Funktionen-System und Konvergenz im Mittel Orthogonale Funktioneiisysteme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit orthogonaler Funktionensysteme Der Satz von Fischer-Riesz 41 Aufgaben und Ergänzungen 42 KAPITEL III Trigonometrische Reihen (Fourierreihen im engeren Sinn) Trigonometrische Reihen Vollständigkeitsbeweis für das System der trigonometrischen Funktionen im Intervall [0, 2n] Eigenschaften der Fourierkoeffizienten Entwicklung gerader und ungerader Funktionen in Fourierreihen Intervalle von der Länge Ein Beispiel aus der Potentialtheorie Das erste Randwertproblem der Potenlialtheorie (Dirichletsches Problem) 62 Aufgaben und Ergänzungen 65

3 KAPITEL IV Gewöh,nliche Difjerenfutlglfichnngen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Existenz- und Eindeutigkeitssätze für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung Lösung von Differentialgleichungen durch Liercihen Aufgaben und Ergänzungen 106 KAPITEL V Elemente der Variu-tionsrechiuintj Vorbereitende Sätze und Bemerkungen Beispiele von Variationsproblemen Formalismus der Variationsrechnung Lösung von zwei Beispielen Variationsprobleme mit N'ebenbedingungen Auftreten von höheren Ableitungen im Integranden Konstruktion von orthogonalen Polynomsystemen Variationsprobleme mit mehreren unbekannten Funktionen Variationsproblem mit mehreren unabhängigen Variablen Die Methode von Ritz 150 Aufgaben und Ergänzungen 152 Bibliographie 150 Sachregister 160

4 MATPIEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK ZWEITER BAND VON WOLFGANG GRÖBNER und PETER LESKY o. Professor Dozent an der Universität Innsbruck BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT MANNHEIM HOCHSCHULTASCHENBÜCHER-VERLAG

5 INHALTSVERZEICHNIS KAPITEL VI Rand- und Eigentvertprobleme 9 1. Randwertprobleme bei linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Greensche Funktion Homogene Randwertprobleme, Identität von Pieone Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme Orthogonalität der Eigenfunktionen Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen Beispiele Legendresche Kugelfunktionen Jacobische Polynome und weitere Orthogonalsysteme als Lösungen.von Eigenwertproblemen 42 Aufgaben und Ergänzungen 55 KAPITEL VII Einige Differentialgleichungen der Physik Erste Randwertaufgabe (Dirichletsches Problem) der Potentialtheorie für das Rechteck Ein stationäres Wärmeleitüngsproblem Die erste und zweite Randwertaufgabe für den Kreis Die Randwertaiifgaben für die Ellipse Konforme Abbildung Die schwingende Saite Die schwingende Membran Ein instationäres Wärmeleitungsproblem Die Telegraphengleichung Kngelfunktionen Die elektromagnetischen Feldgleichungen 126 Aufgaben und Ergänzungen 135 KAPITEL VIII. Allgeweine partielle Differentialgleichung erster Ordnung' Die Theorie der allgemeinen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung Die Hamilton-Jacobisohe Theorie 164

6 8 Inhaltsverzeichnis 3. Das n-körper-problem Stabilitätsuntersiicluingen 183 Aufgaben und Ergänzungen 189 KAPITEL I X Integralgleichungen Fredliolinsrlic Integralgleichungen zweiter Art mit ausgearteten Kernen l97 2. Fredhohnsche Integralgleichungen erster Art mit ausgearteten Kernen Volterrasehe Integralgleichungen zweiter Art mit stetigen Kernen Volterrasche Integralgleichungen erster Art Zusammenhang zwischen den Volterrasclien Integralgleichungen und den linearen Differentialgleichungen Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art und die Neumannsche Reihe Fredholmsche Integralgleichungen mit stetigen und symmetrischen Kernen Behandlung der liigenwertprobleme von Differentialgleichungen mit Hilfe von Integralgleichungen 229 Aufgaben und Ergänzungen 231 Bibliographie 239 Register 241

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