Zusammenhangsmaß Korrelation (Pearsons Produkt-Moment-Korrelation r)

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1 Ergäzede Hiweise zur Iterpretatio Zusammehagsmaß Korrelatio (Pearsos Produkt-Momet-Korrelatio r) Thürigeweite Kompeteztests 3 Dipl.-Psych. Ulf Kröhe, Dr. Christof Nachtigall Lehrstuhl für Methodelehre ud Evaluatiosforschug, Istitut für Psychologie, Fakultät für Sozial- ud Verhalteswisseschafte, Friedrich-Schiller-Uiversität Jea. ud Axel Weyrauch Geschäftsführer Etwicklugsprogramm für Uterricht ud Lerqualität des Thüriger Kultusmiisteriums 5. Oktober 3 Kotakt im Iteret uter Kotakt via

2 Eiführug I de Ergebisrückmelduge zum Thüriger Kompeteztest 3 wird zur Beschreibug des Zusammehags zwische Schulote ud erreichtem Puktwert die statistische Kegröße Korrelatio verwedet. Die vollstädige Bezeichug lautet: Produkt-Momet-Korrelatio ach Pearso: Im Folgede wird kurz dargestellt, wie diese Größe zu iterpretiere ist. Ausgagspukt: Wie lässt sich die Stärke eies Zusammehags zwische zwei Größe abbilde? Im Kompeteztest wurde über jede Schüler verschiedee Iformatioe erfasst. Uter Aderem wurde für die zwei Größe Halbjahresote ud Gesamtpuktwert jeweils der Wert gespeichert, de jeder Schüler erreicht hat. Zur Vereifachug sei die Halbjahresote mit X ud der erreichte Puktwert mit Y bezeichet, ud sowohl X als auch Y werde im Folgede Variable geat. Um die Frage zu beatworte, wie stark der Zusammehag zwische de Variable X (Halbjahresote) ud Y (erreichter Puktwert im Kompeteztest) ist, soll eie Maßzahl oder Keziffer gefude werde: die Korrelatio. Sie soll für jede Klasse de Zusammehag zwische de beide Variable zusammefasse ud agebe...: Idee... wie stark sich die Ausprägug der eie Variable (z.b. Halbjahresote) i der Ausprägug der adere Variable (z.b. erreichter Puktwert) widerspiegelt. Um die Stärke des Zusammehags zwische zwei Größe beschreibe zu köe, wird also ei Idex ermittelt. Dieses Vorgehe ist vergleichbar mit dem Bilde des arithmetische Mittels, welches als Kewert für die Verteilug eier Größe (z.b. die Halbjahresote i eier Klasse) heragezoge werde ka. Vorgehesweise: Berechug der Korrelatio Die Korrelatio lässt sich mit Hilfe der folgede Formel ausreche: r x,y = i=(x i x)(y i y) () i=(x i x) i=(y i y) Dabei ist die Azahl der Schüler i eier Klasse, x i ud y i sid die Werte des Schülers i auf de Variable X (Halbjahresote) bzw. Y (erreichter Puktwert) ud x bzw. y sid die Mittelwerte der beide Variable (also x = i= x i ud y = i= y i ). Für iteressierte Leser ist im Abschitt 3 eie Beispielrechug abgedruckt. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

3 Wertebereich: Größe, die die Keziffer Korrelatio aehme ka Die Korrelatio hat eie festgelegte Wertebereich, der icht vo de Wertebereiche der Variable X ud Y abhägig ist. Dadurch ist es möglich, die Korrelatio vo Halbjahresote ( bis ) ud dem erreichte Puktwert (Wertebereich variiert für die verschiedee Tests) zu ermittel ud zwische verschiedee Tests zu vergleiche. Hat ma die Korrelatio berechet (siehe Abschitt 3, ka ma durch ihre absolute Größe Rückschlüsse auf die Stärke eies Zusammehags ziehe. r = +: Der Zusammehag zwische X ud Y ist perfekt positiv liear. D.h. je größer X ist, desto größer ist Y. Auspräguge i X gehe mit proportioale Auspräguge i Y eiher. r : Es besteht kei liearer Zusammehag zwische de Variable X ud Y. Daraus ka jedoch icht geschlosse werde, dass X ud Y voeiader uabhägig sid (z.b köte trotz eies ermittelte Korrelatioskoeffiziete vo r = ei perfekter u-förmiger Zusammehag bestehe ). r = : Der Zusammehag zwische X ud Y ist perfekt egativ liear: Je kleier X ist, desto größer ist Y. Auspräguge i X gehe mit umgekehrt proportioale Auspräguge i Y eiher. Eie Korrelatio größer + oder kleier ka iemals auftrete. Eischräkug: Die Korrelatio spiegelt ur lieare Zusammehäge wider Es ist wichtig zu beachte, dass die Korrelatio ur bestimmte Arte vo Zusammehäge berücksichtigt. Ageomme wird dabei, dass der Zusammehag zwische zwei Größe liear ist. Veraschaulichuge Beispiele für verschiede große lieare Zusammehäge: Um zu verdeutliche wie sich verschiede starke Auspräguge des lieare Zusammehagsmasses Korrelatio ausdrücke, sid i der folgede Abbildug vier verschiedee hypothetische Klasse dargestellt. Als u-förmig wird ei Zusammehag bezeichet, bei dem sowohl hohe als auch iedrige Werte vo X mit hohe Werte vo Y eihergehe, währed mittlere Werte vo X ur zusamme mit iedrige Werte vo Y auftrete. Siehe dazu Abbildug. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

4 I de Abbilduge etspricht jeder Pukt eiem Schüler. Die Pukte sid so eigezeichet, dass ihr Wert auf der X-Achse der Halbjahresote etspricht ud auf der Y-Achse die erreichte Puktzahl des Schülers abgelese werde ka. Abbildug obe liks:r =.3 I dieser Klasse ist der Zusammehag zwische de Variable X (Halbjahresote) ud Y (erreichter Puktwert) mäßig egativ liear. D.h. größere Schulote (schlechte Note) gehe mit iedrigere Puktwerte eiher. Der ur mittelstarke korrelative Zusammehag ka a de deutliche Abweichuge (bis zu Pukte) der Schüler vo der Gerade, die etspreched der Korrelatio i das Diagramm eigezeichet wurde abgelese werde. Abbildug obe rechts:r =.57 Der positive korrelative Zusammehag i diesem Beispiel zeigt, dass kleiere Schulote (X) mit iedriger erreichte Puktzahle (Y) eihergehe. Dieses Beispiel diet der Veraschaulichug eies positive Zusammehags, würde aber ihaltliche Überleguge widerspreche, ach dee bei gute Schulote eher höhere Puktwerte zu erwarte wäre. Abbildug ute liks:r =.75 Es besteht praktisch kei liearer Zusammehag zwische der Halbjahresote X ud der erreichte Puktzahl Y. D.h. die Variable sid voeiader liear uabhägig. Aus eier erreichte Puktzahl ka icht auf eie Halbjahresote ud umgekehrt geschlosse werde, icht eimal tedeziell köte für eie solche Korrelatio ei Zusammehag ageomme werde. Abbildug ute rechts:r =. I dieser Abbildug ist eie Klasse dargestellt, i der zwische de Variable X ud Y ei starker egativer Zusammehag besteht. Der Verlauf der Gerade ist vergleichbar mit dem i der Abbbildug obe liks, die Pukte (Date je Schüler) liege jedoch isgesamt äher a der Gerade. Aus der Schulote ka der erreichte Puktwert besser vorhergesagt werde (ud umgekehrt die Schulote aus dem erreichte Puktwert) als i der Abbildug obe liks. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite 3

5 Veraschaulichug zur Kegröße Korrelatio am Beispiel Halbjahresote ud erreichter Puktwert mittlere egative Korrelatio mittlere positive Korrelatio 3 5 Halbjahresote 3 5 Halbjahresote Korrelatio: r =.3 Korrelatio: r =.57 schwach agative Korrelatio stark agative Korrelatio Thüriger Kompeteztest 3 (c) metheval Uiversität Jea ud CHR e.v. (Hilfe zu dieser Abbildug Nummer 3/ uter Halbjahresote Korrelatio: r = Halbjahresote Korrelatio: r =. Abbildug : Darstellug der Testwertverteilug i eier Beispielklasse. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

6 3 Berechug Beispiel: Der Zusammehag vo Halbjahresote ud erreichtem Puktwert Im Folgede soll die Korrelatio für die Variable Halbjahresote X ud erreichtem Puktwert Y ermittelt werde. Dazu werde die i Tabelle abgedruckte Beispieldate verwedet. I diesem Abschitt wird es etwas mathematisch. Sie köe ih übersprige ud sich direkt die Veraschaulichug vo Tabelle i der Abbildug asehe! Tabelle : Beispieldate für die Berechug der Korrelatio Schülerummer Halbjahresote erreichter Puktwert i x i y i = 7 x = 3, 7 y =, 3 I der Tabelle wurde die Mittelwerte der Variable X ud Y bereits eigesetzt. Um u die Korrelatio zu erreche, zerlege wir die Formel i folgede Bestadteile, welche getret berechet werde köe: Zerlege i: de Neer: i=(x i x)(y i y) ud die beide Teile des Zählers: i=(x i x) bzw. i=(y i y). Zur Ermittlug des Neers wird wie i der folgede Tabelle dargestellt für jede Schüler die seier Halbjahresote vom Klassemittelwert der Halbjahresote berechet (x i x) (Spalte 5) ud etspreched die Abweichug seies idividuell erreichte Puktwerts vom Mittelwert der erreichte Pukte i der Klasse (y i y) (Spalte ). Beide Werte werde aschließed miteiader multipliziert (letzte Spalte). Bildet ma daach über alle Zeile eie Summe ud teilt sie durch die Azahl der Schüler i der Klasse, erhält ma de Term aus dem Neer der Korrelatiosgleichug: Bei de eizele Bestadteile hadelt es sich wiederum um statistische Kewerte, auf die hier ur verwiese werde soll. Der Term im Zähler wird als Kovariaz zwische X ud Y bezeichet, die beide Terme im Neer etspreche jeweils der Stadardabweichuge vo X bzw. Y. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite 5

7 r x,y = i=(x i x)(y i y)... =.... () Sie fide diese Neberechug am Ede der Tabelle mit der Bezeichug A. Tabelle : Beispielrechug zur Korrelatio i x i y i (x i x) (x i x) (y i y) (y i y) (x i x)(y i y) -,7 7,3,57 73, -3,,9, -5,3 9, -, ,9, -,3 7, -,7 3 -,7,5,57 3, -, 5 5 9,9, -,3 5,9-3,3 3 -,7,5,57,3 -, 7 5,9,,57,3,7 A 7 i=(x i 3, 7)(y i, 3) = -3, 7 7 i=(x i 3, 7)(y i, 3) = -, B 7 i=(x i 3, 7) = 3,3 7 7 i=(x i 3, 7) =,9 7 7 i=(x i 3, 7) =,39 B 7 i=(y i, 3) = 3,7 7 7 i=(y i, 3) = 3,9 7 7 i=(y i, 3) = 5,5 Gaz aalog ist i der Tabelle auch die Berechug für die beide Teile im Zähler ethalte. I Spalte 5 wird für jede Schüler die Differez aus seier eigee Halbjahresote ud der i der Klasse durchschittlich vergebee Halbjahresote berechet ud quadriert. Das gleiche Vorgehe wird i Spalte 7 auch auf die erreichte Puktwerte im Kompeteztest agewedet. I de Abschitte B ud B der Tabelle sid da die Summe agegebe, welche mit der Azahl der Schüler gewichtet werde. Schließlich wird daraus jeweils die Wurzel gezoge, so dass der Zähler der Gleichug zur Berechug der Korrelatio ermittelt ist. r x,y =... i=(x i x) i=(y i y) =..., =... 7, 5 (3) Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

8 Durch Eisetze der ermittelte Größe erhält ma schließlich de Korrelatioskoeffiziete: r x,y = i=(x i x)(y i y) = i=(x i x) i=(y i y)., =. 7, 5 =, 7 () Für diese Beispieldate ergibt sich also für de Zusammehag vo Halbjahresote ud erreichtem Puktwert eie egative Korrelatio vo -,7. Zur Iterpretatio dieses Ergebisses: Vorzeiche: Die Korrelatio ist egativ, d.h. größere Schulote (schlechter) gehe mit iedrigere Puktwerte eiher (ebefalls schlechter). Größe: Der Wert der Korrelatio ist relativ ahe a Mius Eis. Der Zusammehag ist icht perfekt liear, jedoch - wie aus Abbildug hervorgeht - deutlich ausgeprägt. Kei Schüler weicht mehr als 5 Pukte vo der Gerade ab, die etspreched der Korrelatio i das Diagramm eigezeichet wurde. I der folgede Abbildug sid die Schülerdate aus Tabelle dargestellt. Veraschaulichug zur Kegröße Korrelatio am Beispiel Halbjahresote ud erreichter Puktwert Schüler Schüler Thüriger Kompeteztest 3 (c) metheval Uiversität Jea ud CHR e.v. (Hilfe zu dieser Abbildug Nummer 3/ uter Halbjahresote Korrelatio: r =.77 Schüler Schüler 7 Schüler Schüler 5 Schüler 3 Abbildug : Darstellug der Beispieldate. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite 7

9 Iterpretatioshilfe Wodurch wird der Korrelatioskoeffiziet beeiflusst? Zum Abschluss habe wir eiige Eiflussfaktore zusammegestellt, durch die das Ausmaß eier Korrelatio beeiflußt werde ka. Alle diese Aspekte stehe prizipiell mit dem Korrelatioskoeffiziete i Beziehug. I wieweit diese Pukte für Ihre Klasse relevat sid, ka ur im Eizelfall überlegt werde. Ausreißerwerte: Die Korrelatio ist - besoders bei gerige Klassestärke - afällig gege eizele Werte, die außerhalb des Zusammehags stehe. Dadurch ka sich die ermittelte Korrelatio stark äder. I der folgede Abbildug 3 sid die Beispieldate vo obe wieder dargestellt. Jedoch wurde bei Schüler 3 die Halbjahresote vo 5 auf geädert. Wie Sie sehe köe verädert sich der Korrelatioskoeffiziet gewaltig (siehe Abbildug zum Vergleich)! Veraschaulichug zur Kegröße Korrelatio am Beispiel Halbjahresote ud erreichter Puktwert mit Ausreißerwert Schüler Schüler Thüriger Kompeteztest 3 (c) metheval Uiversität Jea ud CHR e.v. (Hilfe zu dieser Abbildug Nummer 3/ uter Schüler Halbjahresote Nur durch diese Schüler verädert sich die Korrelatio vo.77 auf.5 Korrelatio: r =.5 Schüler Schüler 7 Schüler Schüler 5 Schüler 3 mit aderer Halbjahresote ( statt 5) Abbildug 3: Beispieldate mit eiem Ausreißerwert Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

10 Klassegröße: Der i Abbildug 3 veraschaulichte Effekt eies eizele Ausreißers macht auch deutlich, dass die Korrelatio um so geauer ermittelt werde ka, je mehr Schüler i eier Klasse sid. Je kleier die Schulklasse ist, um so mehr wirke sich zufällige Eiflüsse auf de Korrelatioskewert aus! Die Korrelatio ist auch durch die Geauigkeit der Messistrumete beschräkt. Selbst we ei perfekter Zusammehag zwische Uhrzeit ud Schülerleistug bestehe würde so ist eileuchted, dass dieser ur da ermittelt werde ka, we die Uhrzeit ud der Testwert i eiem Leistugstest geau gemesse werde köe. Eie Soeuhr ka diese möglicherweise tatsächlich vorhadee Effekt leicht verwische. Jedoch auch mit perfekte Messistrumete ka die Korrelatio ur hoch sei, we es tatsächlich eie starke Zusammehag gibt. Für das Beispiel (Zusammehag Halbjahresote mit erreichtem Puktwert) ist atürlich kei perfekter Zusammehag (r oder r ) zu erwarte. De die Halbjahresote des Schülers ist abhägig vo de Leistuge des Schülers über ei gazes Schuljahr - der Testwert ergibt sich demgegeüber lediglich aus de Leistuge des Schülers, die er am Tag des Kompeteztests erbracht hat. Zufälligkeite, die i der Halbjahresote durch viele Erhebuge ausgegliche werde, köe beim Testwert icht kompesiert werde. Wie bereits obe beschriebe wurde, spielt auch die Art des Zusammehags eie wichtige Rolle. Die Korrelatio ist ei lieares Zusammehagsmaß, welches bestimmte systematische Zusammehäge icht abbildet. Abbildug verdeutlicht diese Umstad. Zu sehe ist ei deutlicher Zusammehag zwische Halbjahresote ud erreichtem Puktwert - die Korrelatio ist jedoch ahe Null. Zum Abschluss sei erwäht, dass die Korrelatio ei sehr eifaches Modell zur Beschreibug vo Zusammehäge darstellt. Lediglich Abhägigkeite der Form je mehr X desto mehr (oder weiger) Y werde i diesem Modell abgebildet. Die Komplexität vo Zusammehäge ist jedoch häufig weitaus größer. Trotzdem geligt es mit Hilfe der Korrelatio, Zusammehäge zu erfasse ud Tedeze i eiem komplexe Umfeld zu erkee. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite 9

11 Veraschaulichug zur Kegröße Korrelatio am Beispiel Halbjahresote ud erreichter Puktwert U förmiger Zusammehag Thüriger Kompeteztest 3 (c) metheval Uiversität Jea ud CHR e.v. (Hilfe zu dieser Abbildug Nummer 3/ uter Halbjahresote Korrelatio: r =. Abbildug : Darstellug eies U-förmige Zusammehags Diese Aufzählug ist icht vollstädig. Mehr über Korrelatioe ud Zusammehäge ka ma achlese, z.b. bei: Bortz, J. (999). Statistik für Sozialwisseschaftler (5. vollstädig überarbeitete Auflage). Berli: Spriger. Wirtz, M. & Nachtigall, C. () Deskriptive Statistik. Statistische Methode für Psychologe Teil (. überarb. ud erw. Auflage) Juveta, Weiheim ud Müche... ud viele Weitere. Ergebisse Kompeteztest 3 - Ergäzugtexte Seite

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