Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Transkript

1 Has Walser Mathematik 2 für Naturwisseschafte Modul 201 Beschreibede Statistik

2 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik ii Modul 201 für die Lehrverastaltug Mathematik 2 für Naturwisseschafte Sommer 2006 Probeausgabe Sommer 2007 Fehlerkorrekture. MathType. Frühjahr 2008 Geädertes Layout. Ergäzuge ud Kürzuge Frühjahr 2009 Fehlerkorrektur Frühjahr 2011 Erweiterug. Fehlerkorrektur Frühjahr 2014 Überarbeitug last modified: 25. Oktober 2013 Has Walser Mathematisches Istitut, Rheisprug 21, 4051 Basel

3 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik iii Ihalt 1 Begriffe Mittelwerte Miimum der Abstäde Der Media Quatile Boxplot Beispiel Miimum der Quadrate der Abstäde Beispiel Das arithmetische Mittel Empirische Variaz ud Stadardabweichug Vorgehe i der Praxis Urliste Gewichtete Liste Kreuzliliste Histogramme Klassehäufigkeite Summative Darstelluge Rechug Absolut ud relativ Wachstum eier Stadt Altersverteilug Prozete ud Prozetpukte Skale Nomiale Skala Ordiale Skala Itervallskala Verhältisskala Zusammefassug Begriffe Media Boxplot Das arithmetische Mittel Empirische Variaz ud Stadardabweichug Klassehäufigkeite Histogramme Skale... 19

4 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 1 1 Begriffe 1.1 Mittelwerte Erfide wir die Mittelwerte eu! Problemstellug: Gegebe seie Messwerte x 1, x 2,..., x, welche durch eie eizige Zahl vertrete werde solle. Wie ist dieser Repräsetat zu wähle? Die Messwerte x 1, x 2,..., x köe zum Beispiel eier Stichprobe aus eier größere Grudgesamtheit etstamme Miimum der Abstäde Der Repräsetat, wir ee ih x, soll so gewählt werde, dass die Summe der Abstäde zu de eizele Messwerte möglichst klei wird. Es muss also: Beispiel: Für die Fuktio Φ x Φ x ( ) = x i x 5 ( ) = x i x x i x =! miimal i x i erhalte wir: Der Graph dieser Fuktio sieht so aus: PHI(xtilda) = 9 x + 4 x + 3 x + 6 x + 3 x xtilda Wo ist das Miimum? Das Miimum ist offesichtlich bei x = 4 ; dies ist icht der Durchschitt der Messwerte.

5 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 2 Idee mit Häusche: Wo muss die Gemeischaftsatee erstellt werde, we vo dort zu jedem Häusche eie separate Leitug gezoge werde muss? Beispiel: Wo baue wir die Gemeischaftsatee? i x i Für die Fuktio Φ x Φ x 6 ( ) = x i x erhalte wir: ( ) = x i x Der Graph dieser Fuktio sieht so aus: PHI(xtilda) = 9 x + 4 x + 3 x + 6 x + 3 x + 10 x xtilda Wo ist das Miimum? [ ] Für das Miimum gibt es u ei gazes Itervall, ämlich x 4,6 Idee mit Häusche: Wo muss die Gemeischaftsatee erstellt werde, we vo dort zu jedem Häusche eie separate Leitug gezoge werde muss? Wo baue wir jetzt die Gemeischaftsatee?

6 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Der Media Der so bestimmte Repräsetat heißt Media oder Zetralwert. Bezeichet wird er i der Regel mit x. Zu seier Bestimmug köe wir wie folgt vorgehe: Orde der Messwerte der Größe ach. Bei eier ugerade Azahl vo Messwerte ist u die mittelste Zahl der Media. Bei eier gerade Azahl vo Messwerte lege die beide mittelste Zahle das Itervall fest, aus dem der Media gewählt werde ka. Die der Größe ach geordete Messwerte werde also i zwei möglichst gleich große Haufe geteilt, ud der Media ist a der Schittstelle. Der Media wird zum Beispiel im Sport agewedet (mittlerer vo drei Läufe ist etscheided). Geerell ist der Media bei Leistugsbeurteiluge geeiget. Er hat de Vorteil, dass Ausreißer (extreme große oder kleie Werte) icht is Gewicht falle Quatile Die Frage, wie sich der Mediabegriff verallgemeier lässt, scheit ituitiv klar zu sei: Wir teile die der Größe ach geordete Messwerte i zwei ugleich große Haufe, beim erste Quartil (das ist das Quatil für α = 1 ) zum Beispiel im Verhältis ei 4 Viertel zu drei Viertel, ud frage, was a der Schittstelle los ist. Die Probleme liege im Detail, ud leider ist es so, dass es verschiedee Defiitioe ud Berechugsmethode für Quatile gibt, welche teilweise uterschiedliche Resultate liefer. Ei ausführliche Darstellug i der Lerumgebug. Für α = 1 4 ud α = 3 spricht ma vom erste beziehugsweise dritte Quartil, die Bezeichuge sid x 0.25 ud x Wird α i Zehtel agegebe, spricht ma vo Dezile, bei Hudertstel vo Perzetile. Der gewöhliche Media ist also auch des zweite Quartil, das füfte Dezil, das füfzigste Perzetil ud allgemei das Quatil für α = 0.5. Es ist also x = x Boxplot Zur Visualisierug der Verteilug der Date ka der Boxplot (auch Box-Whisker-Plot oder Kastegrafik) verwedet werde. Der Boxplot besteht zuächst aus eiem Rechteck (Box), das bei sekrechter Darstellug ute ud obe durch das erste beziehugsweise dritte Quartil begrezt ist. Dieser Teil umfasst also die Hälfte aller Date. Die Höhe der Box wird als Iterquartilsabstad (iterquartile rage, IQR) bezeichet. Ebeso wird der Media als horizotale Liie eigezeichet. Diese Liie ist bei eier symmetrische Dateverteilug i der Mitte des Rechteckes, bei eier schiefe (asymmetrische) Dateverteilug gibt die Lage der Medialiie eie Iformatio über die Abweichug vo der symmetrische Dateverteilug. Oberhalb ud uterhalb der Box werde durch Zusatzliie welche durch eie Querliie abgeschlosse sid, die Verteilug des uterste beziehugsweise oberste Dateviertels agegebe. Diese Zusatzliie werde als Whiskers (Fühler oder Atee) bezeichet. Leider gibt es verschiedee Defiitioe über die Läge der Whiskers. Die eifachste Defiitio besteht dari, die Begrezuge der Whiskers so zu wähle, dass sie alle Date umfasse. Der Abstad zwische de Whiskerbegrezuge ist da die gesamte Spaweite des Datesatzes. Bei dieser Defiitio sid die so geate

7 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 4 Ausreißer, also extreme Date, icht mehr als solche erkebar. Eie Modifikatio besteht dari, die Whiskerbegrezuge beim 2.5%-Quatil beziehugsweise 97.5%- Quatil zu wähle. Ierhalb der Whiskerbegrezuge befide sich da 95% der Date. Bei große Datesätze habe wir da aber auch außerhalb der Whiskerbegrezuge Date, die icht ubedigt als Ausreißer zu iterpretiere sid. Eie Stadarddefiitio der Whiskergreze besteht dari, die Läge der Whiskers zuächst auf das 1.5-fache des Iterquartilsabstades festzulege, da aber ierhalb dieser Greze auf de miimale beziehugsweise maximale tatsächlich vorkommede Datewert zurückzufahre. allefalls Ausreißer oberer Whisker Iterquartilsabstad, umfasst 50% der Date drittes Quartil Media erstes Quartil uterer Whisker Boxplot Beispiel Lymphozyteazahl pro Blutvolumeeiheit vo 84 Ratte Urliste roh 968, 1090, 1489, 1208, 828, 1030, 1727, 2019, 944, 1296, 1734, 1089, 686, 949, 1031, 1699, 692, 719, 750, 924, 715, 1383, 718, 894, 921, 1249, 1334, 806, 1304, 1537, 1878, 605, 778, 1510, 723, 872, 1336, 1855, 928, 1447, 1505, 787, 1539, 934, 1650, 727, 899, 930, 1629, 878, 1140, 1952, 2211, 1165, 1368, 676, 813, 849, 1081, 1342, 1425, 1597, 727, 1859, 1197, 761, 1019, 1978, 647, 795, 1050, 1573, 2188, 650, 1523, 1461, 1691, 2013, 1030, 850, 945, 736, 915, 1521

8 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 5 Urliste ummeriert Gesucht sid der Media ud die beide Quartile. Dazu müsse wir die Tabelle erst der Größe ach orde. Das immt us der Computer ab. Geordete Liste

9 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 6 Uteres Quartil = Media = Oberes Quartil = Excel verwedet ei aderes Berechugsverfahre ud liefert: x 0.25 = , x 0.5 = , x 0.75 = Beim Media habe wir keie Abweichug, wohl aber bei de Quartile. Für de Mittelwert gibt Excel: x = Die Abbildug zeigt de zugehörige Boxplot. Der waagerechte Strich im Kaste ist auf der Höhe des Medias, das kleie Kreislei auf der Höhe des Mittelwertes. Wir sehe, dass die Date im uter Teil viel dichter liege als im obere Teil. Ma spricht i dieser Situatio vo eier rechtsschiefe Verteilug. Boxplot

10 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Miimum der Quadrate der Abstäde Der Repräsetat, wir ee ih u x, soll so gewählt werde, dass die Summe der Quadrate der Abstäde zu de eizele Messwerte möglichst klei wird. Es muss also: Beispiel Für die Fuktio Φ x Φ x 5 ( ) = ( x i x ) 2 ( ) = ( x i x ) 2 ( x i x ) 2 =! miimal i x i erhalte wir: = ( 9 x ) 2 + ( 4 x ) 2 + ( 3 x ) 2 + ( 6 x ) 2 + ( 3 x ) 2 Dies ist eie gewöhliche quadratische Fuktio, ämlich: Φ( x ) = ( 9 x ) 2 + ( 4 x ) 2 + ( 3 x ) 2 + ( 6 x ) 2 + ( 3 x ) 2 = x + 5x 2 Der Graph dieser quadratische Fuktio ist eie Parabel: PHI(xquer) xquer Wo ist das Miimum? Das Miimum ist offesichtlich bei x = 5; dies ist u aber der Durchschitt der Messwerte.

11 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Das arithmetische Mittel Allgemei: Zur Bestimmug des Miimums der Fuktio Φ x wir die erste Ableitug Null: d dx Φ( x ) = d dx ( x i x ) = 0 x i x i ( ) = ( x i x ) 2 setze ( x i x ) 2 = d ( x i x )2 = 2( x i x )( 1) =! 0 x = 0 x = 0 x = 1 x i dx Wir erhalte de übliche Ausdruck für de Durchschitt oder das arithmetische Mittel oder schlicht de Mittelwert. Im arithmetische Mittel falle die Ausreißer stark is Gewicht. Im Folgede werde wir mit der Schreibweise x immer das arithmetische Mittel verstehe. x = 1 x i

12 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Empirische Variaz ud Stadardabweichug Die beide Stichprobe ud habe beide de Mittelwert 3; trotzdem uterscheide sie sich hisichtlich der Streuug stark voeiader. Als Idikator für die Streuug verwede wir die Variaz ud die Stadardabweichug. Empirische Variaz (variace): s 2 = 1 1 Stadardabweichug (stadard deviatio, SD): s = 1 1 ( x i x ) 2 ( x i x ) 2 Die empirische Variaz ist also (fast) die mittlere quadratische Abweichug vom Mittelwert. Warum wir mit dem Faktor 1 1 arbeite statt mit dem ahe liegede Faktor 1, werde wir erst später eisehe. Die Stadardabweichug hat dieselbe Maßeiheit wie die Stichprobe. Für die Stichprobe { } erhalte wir: s 2 = s = Für die Stichprobe { } erhalte wir: s 2 = s =

13 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 10 Der Computer ka das auch (Excel): Nummer Stichprobe 1 Stichprobe Mittelwert 3 3 Empirische Variaz Stadardabweichug Da x i der Regel eie uschöe Zahl ist, werde die ( x i x ) 2 bei der Berechug vo s 2 erst recht hässlich. Da hilft folgeder Rechetrick: Es ist also: s 2 = x i 1 x 2

14 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 11 2 Vorgehe i der Praxis 2.1 Urliste Liste der Körpergröße: 2.2 Gewichtete Liste Zusammefassug gleicher Messwerte (oder Kategorie vo Messwerte, zum Beispiel Rude i vorgegebee Itervalle). Es etstehe k Klasse. Mit x i wird jetzt die Klassemitte (icht mehr der eizele Messwert) bezeichet. Ferer ist i die Häufigkeit i der i-te Klasse ud wege = i ist h i = i Praxis: Strichliliste k die relative Häufigkeit. Größe Klassemitte cm 150 cm cm 155 cm cm 160 cm cm 165 cm cm 170 cm cm 175 cm cm 180 cm cm 185 cm cm 190 cm cm 195 cm cm 200 cm cm 205 cm cm 210 cm

15 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Kreuzliliste Liefert direkt die grafische Uterlage für ei Histogramm Vorbereitug für Histogramm

16 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Histogramme Klassehäufigkeite Wir trage die absolute oder die relative Klassehäufigkeite zum Beispiel als Säulediagramm oder Balkediagramm ab Histogramm mit absolute Häufigkeite Summative Darstelluge Fragestelluge: a) Wie viele sid kleier oder gleich wie dies für zu eiem vo-ute-rauf- Diagramm b) Wie viele sid größer oder gleich wie dies für zu eiem vo-obe-ruter- Diagramm (Absterbeordug)

17 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Rechug Berechug vo x ud s. Allgemei ist: k x = 1 i x i = h i x i s 2 = 1 k 1 Es gilt der aaloge Rechetrick: k ( ) 2 i x i x = s 2 = 1 1 k k 1 2 i x i h i ( x i x ) 2 1 x 2

18 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 15 3 Absolut ud relativ 3.1 Wachstum eier Stadt Um welche Stadt hadelt es sich? Warum dieses Wachstum? Jahr Eiwoher Zuwachs absolut relativ % % Altersverteilug Die Grafik zeigt die Äderug der Altersverteilug i der Schweiz im vergagee Jahrhudert (Quelle: Budesamt für Statistik). 6% 65 ud mehr Jahre 15% 54% Jahre 62% 40% 0 19 Jahre 23% Gibt es immer weiger Jugedliche?

19 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik 16 Schweiz ud mehr Jahre '109'416 1' Jahre '430' bis 19 Jahre '664'124 1' Total '204' Der absolute Ateil der Jugedliche wächst, der relative Ateil der Jugedliche immt ab. Das gilt allerdigs ur i diesem grobe Jahrhudertvergleich. Eie differezierte Betrachtug ergibt: Altersgruppe Jahre 1'443'402 1'704'480 1'919'830 1'742'125 1'579'734 1'664' Jahre 2'820'766 3'103'440 3'560'975 3'712'310 4'185'620 4'430' ud mehr Jahre 452' ' ' ' '646 1'109'416 Total 4'717'000 5'360'000 6'193'000 6'335'000 6'751'000 7'204' Prozete ud Prozetpukte Die Arbeitsloserate sak vo 10% auf 7%. Wie lässt sich diese Abahme der Arbeitsloserate beschreibe? Hat es u weiger Arbeitslose? 4 Skale 4.1 Nomiale Skala Zahle als Name ohe mathematische Bedeutug (Beispiel: Postleitzahle, Codes) 4000 Basel 6000 Luzer 8000 Zürich Nomiale Skala

20 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Ordiale Skala Die atürliche Ordug der Zahle ordet die Objekte; Vergleiche sivoll, Differeze ud Verhältisse silos (Beispiele: Härteskala, Prüfugsote, Hausummer) Ordialskala 4.3 Itervallskala Nullpukt willkürlich, Differeze sivoll, Verhältisse icht sivoll (Beispiele: Temperatur i C, Höhe i m über Meer, elektrisches Potetial) C F Itervallskale

21 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Verhältisskala Verhältisskala Nullpukt atürlich fixiert, Differeze ud Verhältisse sivoll, (Beispiele: Geschwidigkeit, Gewicht, Masse, Volume, absolute Temperatur ( K)). 5 Zusammefassug 5.1 Begriffe Media Symbol x. Die Hälfte der Messwerte ist kleier als der Media. Ausreißer spiele keie Rolle. - Orde der Messwerte der Größe ach. - Bei eier ugerade Azahl vo Messwerte ist die mittelste Zahl der Media. Bei eier gerade Azahl vo Messwerte lege die beide mittelste Zahle das Itervall fest, aus dem der Media gewählt werde ka Boxplot Greze der Box durch Quartile. Box umfasst 50% der Date. Agabe des Medias. Whiskers bis zu de extreme Date oder maximal 1.5 mal so lag wie die Box Das arithmetische Mittel Durchschitt: x = 1 Ausreißer falle is Gewicht x i 5.2 Empirische Variaz ud Stadardabweichug Empirische Variaz (variace): s 2 = 1 ( x i x ) 2 = 1 1 Stadardabweichug (stadard deviatio, SD): s = x i ( x i x ) 2 1 x 2

22 Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik Klassehäufigkeite Gruppierug der Messdate i = absolute Häufigkeit der Klasse i h i = i k = relative Häufigkeit der Klasse i x = 1 i x i = h i x i s 2 = 1 k 1 k ( ) 2 i x i x = k h i x i x = 1 1 ( ) Histogramme Häufigkeite als Säulediagramm oder Balkediagramm Summative Darstelluge: Wie viele sid kleier oder gleich wie Wie viele sid größer oder gleich wie k 2 i x i 1 x Skale Nomiale Skala: Name oder Codes. Reche silos Ordiale Skala: Ordug der Größe ach. Vergleiche sivoll, Differeze ud Verhältisse silos Itervallskala: Nullpukt willkürlich, Differeze sivoll, Verhältisse icht sivoll Verhältisskala: Nullpukt atürlich fixiert. Es darf gerechet werde