SWP Logische Programme Teil 2

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1 SWP Logische Programme Teil 2 Bernhard Aichernig Institut für Softwaretechnologie aichernig@ist.tugraz.at Institute for Software Technology

2 Inhalt! Motivation! Logische Programme (LP)! Resolution! Unifikation! Ausblick: Datenbanken und logische Programme Semantik Institute for Software Technology 2

3 Syntax von LP! Seien t 1,..,t n Terme und sei p ein n-stelliges Prädikatensymbol, dann heißt p(t 1,..,t n ) Atomformel.! Ist p(t 1,..,t n ) eine Atomformel, dann ist p(t 1,..,t n ). ein Fakt.! Seien A 1,..,A k und A Atomformeln, dann ist der Ausdruck A := A 1,..,A k. eine Regel.! Programme in LP bestehen aus Fakten und Regeln.! Eine Anfrage für ein Programm ist von der Form := A 1,..,A k wenn A 1,..,A k Atomformeln sind. Institute for Software Technology 3

4 In PROLOG! Fakten:! mitarbeiter(a). mitarbeiter(b). mitarbeiter(c).! arbeitet_in_abteilung(a,1). arbeitet_in_abteilung(b, 2). arbeitet_in_abteilung(c,1).! leiter(1,c).! Regeln:! chef_von(x,y):- arbeitet_in_abteilung(x,a), arbeitet_in_abteilung(y,a), leiter(a,x), X\=Y.! Anfragen:! chef_von(a,b).! chef_von(c,a). Institute for Software Technology 4

5 Anmerkungen zur Syntax! Der Ausdruck A := A 1,..,A k. steht für die Implikation A 1.. A k A.! Ein logisches Programm in LP bestehend aus Fakten f 1,..,f n und Regeln r 1,..,r m kann durch den logischen Ausdruck f 1.. f n r 1.. r m dargestellt werden.! Die Anfrage := A 1,..,A k repräsentiert den logischen Ausdruck A 1.. A k (FALSUM)! Namenskonvention:! Variablen: beginnen mit Großbuchstaben! Konstanten, Funktionen und Prädikate: beginnen mit einem Kleinbuchstaben Institute for Software Technology 5

6 Weitere logische Äquivalenzen! A B ist äquivalent zu A B! Somit repräsentiert der Ausdruck! A 1.. A k A den Ausdruck A 1.. A k A! A 1.. A k den Ausdruck A 1.. A k! Anmerkung: Ausdrücke der Form B 1.. B k heißen Klause(l)n. Institute for Software Technology 6

7 ! Definition (Literal): Definitionen! Eine Atomformel und ihr Negat heißen auch Literale.! Positive Literale sind nicht-negierte Literale. Andernfalls, nennt man sie negative Literale.! Definition (Hornklausel): Eine Klausel der Form B 1.. B k heißt Hornklausel, wenn die Anzahl der positiven Literale B i maximal 1 ist.! LP: Programme in LP bestehen nur aus Hornklauseln. Institute for Software Technology 7

8 Hornklauselresolution! Übergang von logischen Schlüssen auf logische Ableitung! Ableitungsregel (für die Aussagenlogik!) [Anmerkung: Anfragen haben Form := P,P 1,...,P n ] Query/Goal Regel, Fakt := P, P 1,..,P n P := Q 1,..,Q m := Q 1,..,Q m, P 1,..,P n Resolvente = neue Query/Goal Beispiel folgt Institute for Software Technology 8

9 Beispiel für Resolution! Wissensbasis:! nass := regen. (R1)! regen :=. (R2)! Anfrage:! := nass (Q1) nass (Q1) regen nass (R1) regen (Q2) regen (R2) Institute for Software Technology 9

10 Erweiterung für Prädikatenlogik! Beispiel: vogel(x) := adler(x). adler(hansi):=. Anfrage: := vogel(hansi).! Ableitung nur durch Substitution möglich!! Substitution: Θ = { X hansi }! Anwendung von Θ ergibt: vogel(hansi) := adler(hansi) Institute for Software Technology 10

11 Ableitungsregel für LP! Resolutionsregel: Angenommen es gibt eine Substitution Θ mit: RΘ = PΘ dann kann folgende Resolutionsregel angewandt werden: Query/Goal Regel, Fakt := R, P 1,..,P n P := Q 1,..,Q m := Q 1 Θ,..,Q m Θ, P 1 Θ,..,P n Θ Resolvente = neue Query/Goal Institute for Software Technology 11

12 Resolution für LP! Wende Resolutionsregel ausgehend von der Anfrage solange an, bis ein Widerspruch ( ) ableitbar ist (wenn möglich). Ist dies der Fall, dann kann die Anfrage positiv beantwortet werden. Kann nicht abgeleitet werden, dann wird die Goalklause negativ beantwortet.! Anmerkung: Der Algorithmus zur Ableitung von terminiert sicher nur, wenn ableitbar ist (unerfüllbare Formel). Kann der Widerspruch nicht gefunden werden (bei einer erfüllbaren Formel), so muss der Algorithmus nicht terminieren!! Semi-Entscheidbarkeit des Erfüllbarkeitsproblems für Hornklausen. Institute for Software Technology 12

13 Aufbau der Resolution! Muster (Resolution): Query/Goal G 1 C 1 Regel, Fakt Resolventen G 2 C 2 Match durch Substitution G n C n G n+1 Im Erfolgsfall ist G n+1 = Institute for Software Technology 13

14 Idee der Substitution! Beispiel: Wie können die Literale nat(s(x)) und nat(s(s(0))) gleich gemacht werden?! Idee: Suche korrespondierende Paare! X und s(0) sind korrespondierende Paare im oberen Beispiel Institute for Software Technology 14

15 Was heißt Most General Unifier?! Beispiel: p(x) und p(y) können auf viele Arten gleich gemacht werden.! Θ 1 = {X a, Y a}! Θ 2 = {X Y}! Θ 3 = {Y X}! Θ 1 ist kein MGU! Θ 2 und Θ 3 sind beide MGUs Institute for Software Technology 15

16 Definition MGU! Eine Substitution Θ 1 ist genereller als eine Substitution Θ 2, wenn es eine Substitution Δ gibt, für die gilt: Θ 1 Δ = Θ 2! Beispiel: Θ 1 = {X Y} ist genereller als Θ 2 = {X a, Y a} da es eine Substitution {Y a} gibt, die die beiden gleich macht.! Eine Substitution ist ein MGU, wenn sie genereller als alle anderen Substitutionen ist.! Anmerkung: Ein MGU ist nicht unbedingt eindeutig! Institute for Software Technology 16

17 Algorithmus für MGU! Input: Atomformeln p, p und Θ! Informelle Beschreibung: (1) Suche erste Stelle des Unterschieds und ermittle die korrespondierenden Terme. Gibt es keinen Unterschied, gehe zu (4). (2) Analysiere die korrespondieren Terme: a) Ist kein Term eine Variable, dann STOP: nicht unifizierbar. b) Ist ein Term eine Variable X und der andere Term t enthält X, dann STOP: nicht unifizierbar. c) sonst weiter zu Punkt (3) Institute for Software Technology 17

18 Algorithmus (cont.) (3) Definiere neues p, p und Θ durch: p := p { X t }, p := p { X t }, Θ := Θ { X t } Gehe wieder zu (1) (4) STOP: Die Literale sind unifizierbar und Θ ist ein MGU. Institute for Software Technology 18

19 Beispiel für MGU Berechnung! p(x,f(x,g(z)),i) und! p (Y,f(V,W),V) Θ = {Y/X} p(x,f(x,g(z)),i); p (X,f(V,W),V) Θ = Θ {V/X} p(x,f(x,g(z)),i); p (X,f(X,W),X) Θ = Θ {W/g(Z)} p(x,f(x,g(z)),i); p (X,f(X,g(Z)),X) Θ = Θ {X/i} p(i,f(i,g(z)),i); p (i,f(i,g(z)),i) MGU={Y/X,V/X,W/g(Z), X/i} Institute for Software Technology 19

20 Resolution in LP :-chef_von(c,a). chef_von(x,y):- arbeitet_in_abteilung(x,a), arbeitet_in_abteilung(y,a), leiter(a,x), X\=Y. Θ = {X/c,Y/a} :-arbeitet_in_abteilung(c,a), arbeitet_in_abteilung(c,1). arbeitet_in_abteilung(a,a), leiter(a,c), c\=a. Θ = {A/1} :-arbeitet_in_abteilung(a,1), arbeitet_in_abteilung(a,1). leiter(1,c), c\=a. Θ = {} :-leiter(1,c), c\=a. leiter(1,c). Θ = {} :-c\=a. c\=a. Θ = {} Institute for Software Technology 20

21 Resolution in LP (Variable in Abfrage) :-chef_von(z,a). chef_von(x,y):- arbeitet_in_abteilung(x,a), arbeitet_in_abteilung(y,a), leiter(a,x), X\=Y. Θ = {Z/X,Y/a} :-arbeitet_in_abteilung(x,a), arbeitet_in_abteilung(c,1). arbeitet_in_abteilung(a,a), leiter(a,x), X\=a. Θ = {X/c, A/1} :-arbeitet_in_abteilung(a,1), arbeitet_in_abteilung(a,1). leiter(1,c), c\=a. Θ = {} :-leiter(1,c), c\=a. leiter(1,c). Θ = {} :-c\=a. c\=a. Θ = {} Gefundene Belegung für Z: {Z/X, X/c}, d.h.: Z=c Institute for Software Technology 21

22 :-s(x,y). s(k,l) :- k(k,l), r(l,m). Θ = {X/K,Y/L} Resolution: weiteres Beispiel :- k(k,l), r(l,m). k(x1,y1) :- a(x1,u), b(u,y1). Θ = {K/X1,L/Y1} :- a(x1,u), b(u,y1), r(y1,m). a(1,2). Θ = {X1/1,U/2} a(1,2). a(1,9). b(2,3). b(3,4). c(1,3). c(9,9). c(3,3). b(5,5). r(3,2). k(x1,y1) :- a(x1,u), b(u,y1). s(k,l) :- k(k,l), r(l,m). :- b(2,y1), r(y1,m). b(2,3). Θ = {Y1/3} Θ = {X/K,Y/L, K/X1,L/Y1, X1/1, U/2, Y1/3, M/2} X=1 Y=3 :- r(3,m). r(3,2). Θ = {M/2} Institute for Software Technology 22

23 Resolution: weiteres Beispiel (Abfrage ohne positives Ergebnis) :-s(2,2). s(k,l) :- k(k,l), r(l,m). Θ = {K/2,L/2} :- k(2,2), r(2,m). k(x1,y1) :- a(x1,u), b(u,y1). Θ = {X1/2,Y1/2} :- a(2,u), b(u,2), r(2,m). no. a(1,2). a(1,9). b(2,3). b(3,4). c(1,3). c(9,9). c(3,3). b(5,5). r(3,2). k(x1,y1) :- a(x1,u), b(u,y1). s(k,l) :- k(k,l), r(l,m). Institute for Software Technology 23

24 Resolution: Variablenbenennung! Gültigkeitsbereich einer Variable ist immer die Klausel! Kommt Variable X in zwei Klauseln vor, so sind das verschiedene Variable ( Unique Namespace Property )! MGU Berechnung setzt voraus, dass Literale disjunkte Variablen aufweisen! Beispiel:! p(x,1,y); p (X,1,Y) bspw. Umformung in! p(x,1,y); p (X1,1,Y1) Institute for Software Technology 24

25 Logische Programmierung und Datenbanken! Die Datenbank speichert Fakten! Beispiel: Datenbank von Zugverbindungen! Anmerkungen: 1. In Datenbank werden nur positive Fakten gespeichert! Es wird nicht gesagt, dass z.b. kein Zug um 10 Uhr von Graz nach Wien fährt. 2. Logische Programme und Anfragen können als Datenbankabfragen (Queries) gesehen werden. Institute for Software Technology 25

26 Beispieldatenbank / Zugsverbindungen Von Nach Uhrzeit Graz Wien 8 Graz Bruck 9 Bruck Wien 10 Graz Klagenfurt Institute for Software Technology 26

27 Anfrage! Gibt es einen Zug von Graz nach Wien?! Formal: := connection(graz,wien)! Programm notwendig: connection(x,y) := directconnection(x,y). connection(x,y) := directconnection(x,z), connection(z,y).! Das Prädikat directconnection wird durch Datenbank direkt bestimmt. Institute for Software Technology 27

28 Literatur! C.L. Chang, R.C.T. Lee, Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving, Academic Press, 1973.! L. Sterling, E. Shapiro, The Art of Prolog: Advanced Programming Techniques MIT Press, 2nd Edition, Institute for Software Technology 28

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