Beachte: Mit n = 0 sind auch Konstanten Terme.

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 107 Terme Ab sofort wird Signatur τ als festgelegt angenommen. Sei V = {x, y,...} Vorrat an Variablen. Def.: Terme sind induktiv definiert: Jede Variable ist ein Term. Sind t 1,...,t n Terme und f ein n-st. Funktionssymbol, so ist auch f (t 1,...,t n ) Term. Beachte: Mit n = 0 sind auch Konstanten Terme. Bsp.: +( (x, +(1, y)), 0) benutze auch Infix-Notation (x (1 + y)) + 0

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 108 Formeln Def.: Formeln der Prädikatenlogik 1. Stufe ohne Gleichheit (FO) sind induktiv aufgebaut: Sind t 1,...,t n Terme, so ist R(t 1,...,t n ) Formel, falls st(r) =n. Sind ϕ, ψ Formeln, so auch ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ, Ist ϕ Formel und x Variable, so sind auch x ϕ und x ϕ Formeln. verwende ϕ ψ als Abkürzung für (ϕ ψ) (ψ ϕ) Bem.: erststufig bedeutet: Quantifizierung nur über Elemente des Universums, nicht jedoch über Teilmengen, Funktionen, Relationen, etc.

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 109 Präzedenzen Präzedenzregeln, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden; in absteigender Reihenfolge:,,,,, Bsp.: wie ist also x y R(f (x, y)) zz f (x, y) zu verstehen? Klammern, umpräzedenzen zu umgehen, z.b. (ϕ ψ) χ Infix-Notation für Relationssymbole für intuitivere Syntax, z.b. z f (x, 2) statt (z, f (x, 2)) Punktnotation für öffnende Klammer hier, schließende so weit rechts wie möglich, z.b. x. y.r(f (x, y)) z.z f (x, y)

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 110 Interpretationen für Terme Aussagenlogik: Interpretation = Belegung der Aussagenvariablen. Hier offensichtlich nicht ausreichend, um einer Formel einen Wahrheitswert zuzuordnen. Def.: Eine Interpretation einer FO-Formel über der Signatur τ ist ein I =(A,ϑ), wobei A τ-struktur mit Universum A und ϑ : V A ist. Dies induziert gleich auch eine Interpretation aller Terme. [[x]] A ϑ := ϑ(x) [[f (t 1,...,t n )]] A ϑ := f A ([[t 1 ]] A ϑ,...,[[t n]] A ϑ )

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 111 Terme interpretieren Bsp.: t := (x (1 + y)) + 0 über Signatur τ =(+,, 0, 1). Wasist jeweils [[t]] A ϑ, wobei A =(N, +,, 0, 1), ϑ(x) = 3, ϑ(y) =4? A =(N, +,, 0, 1), ϑ(x) = 4, ϑ(y) =3? A =(N,, +, 1, 0), ϑ(x) = 3, ϑ(y) =4? A =({0, 1},,, 0, 1), ϑ(x) =1, ϑ(y) =0? A =(2 {a,b},,,, {}), ϑ(x) ={abbba, baba}, ϑ(y) ={b, aa, baba}? A =({a, b},, zip,,), ϑ(x) =aaaa, ϑ(y) =bbb?

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 112 Interpretationen für Formeln Def.: Sei I =(A,ϑ), A Universum von A, c A. ϑ[x c] bezeichne Update von ϑ an der Stelle x auf c. I ist Modell von ϕ, wenni = ϕ gilt, wobei A,ϑ = R(t 1,...,t n ) gdw. ([[t 1 ]] A ϑ,...,[[t n]] A ϑ ) RA A,ϑ = ϕ gdw. A,ϑ = ϕ A,ϑ = ϕ ψ gdw. A,ϑ = ϕ und A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ gdw. A,ϑ = ϕ oder A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ gdw. wenn A,ϑ = ϕ dann A,ϑ = ψ A,ϑ = x ϕ gdw. es gibt c A mit A,ϑ[x c] = ϕ A,ϑ = x ϕ gdw. für alle c A gilt A,ϑ[x c] = ϕ

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 113 Freie Variablen Def.: frei(ϕ) bezeichnet die in ϕ frei, d.h.nichtdurcheinen Quantor oder gebundenen, vorkommenden Variablen. Bsp.: frei(ϕ) ={x, y}, wobei ϕ = ( y R(x, f (c, y))) x. R(y, f (d, x)) Def.: Ist frei(ϕ) =, soheißtϕ auch Satz. Bsp.: ( x y R(x, y)) y x R(x, y) ist Satz Wir schreiben auch ϕ(x 1,...,x n ) um auszudrücken, dass frei(ϕ) {x 1,...,x n }.

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 114 Freie und gebundene Variablen betrachte Struktur A =({0, 1}, P A ) mit P A = {1} Variablenbelegung ϑ =[x 0, y 1] gilt jeweils A,ϑ =... P(x) x. P(x)? P(x) y. P(y)? P(y) x. P(x)? P(y) y. P(y)? Fazit: freie Variablen dürfen nicht einfach umbenannt werden, gebundene schon

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 115 Substitutionen Def.: ϕ[t/x] bezeichnet simultanes Ersetzen aller freien Vorkommen der Variable x in ϕ durch den Term t, wobei quantifizierte Variablen, die auch in t vorkommen, in ϕ eindeutig umbenannt werden. Bsp.: was ist jeweils P(f (x))[g(x, f (x))/x]? xp(f (x)) [g(x, f (x))/x]? y.( x R(x, z)) Q(x, y) [f (y)/x]

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 116 Erfüllbarkeit, Äquivalenz, etc. Die Begriffe Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und Äquivalenz ( ), Erfüllbarkeitsäquivalenz ( sat ) sind wie bei der Aussagenlogik definiert. Beachte: Interpretation ist Paar aus Struktur und Variablenbelegung. Also ist z.b. x R(x, y) erfüllbar trotz freier Variablen. Insbesondere ist ϕ erfüllbar gdw. ϕ nicht allgemeingültig ist. Bsp.: Neben den üblichen aussagenlogischen Äquivalenzen gelten weitere, z.b. x ϕ x ϕ x y ϕ y x ϕ x ϕ y ϕ[y/x] x ϕ x ψ x (ϕ ψ)...

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 117 Beispiel: gerichtete Graphen zur Erinnerung: 2-stellige Relationssymbole sind Kantenrelationen in gerichteten Graphen; hier jetzt τ =(E), E 2-stellig sind die folgenden Formeln jeweils (un)erfüllbar bzw. allgemeingültig? ϕ 1 := x y (E(x, y) E(y, x)) ϕ 2 := y.e(x, y) z.e(x, z) E(z, y) x y E(y, x) y x E(y, x) ϕ 1 x ϕ 2

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 118 Beispiel: Signatur der Arithmetik sei τ =(<, +,, 0, 1) wie zuvor definiert Sind die folgenden Formeln jeweils (un)erfüllbar / allgemeingültig? Sind sie jeweils mit N =(N,< N, + N, N, 0 N, 1 N ) erfüllbar? x.1 < x x < x x x < y y < z z < x x y z. (x (y + z) < x y + x z) x y.( z.z x < 1 y z < 1) x < y

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 119 Theorie und Modellklasse Strukturklassen vs. Formel(menge)n Def.: sei K Klasse von τ-strukturen, Φ Menge von Sätzen über Signatur τ (Theorie) Th(K) :={ϕ ϕ ist FO-Satz über τ und A = ϕ für alle A K} (Modellklasse) Mod(Φ) := {A A ist τ-struktur und A = ϕ für alle ϕ Φ}. Th(K) ist logische Repräsentation von K wie verhalten sich jeweils zueinander Th(Mod(Φ)) und Φ? Mod(Th(K)) und K?

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 120 Beispiele was ist jeweils Mod(Φ i ), wobei Φ 1 := { x y.(e(x, y) E(y, x)) E(x, x)} ungerichtete Graphen Φ 2 := { x y.e(x, y) E(y, x)} Turniergraphen Φ 3 := { x E(x, x), x y z.e(x, y) E(y, z) E(x, z)} Prä-Ordnungen Φ 4 := Φ 2 Φ 3 totale Prä-Ordnungen was ist Th({N, Z, Q, R}), jeweils mit üblicher Interpretation über Signatur (, +,, 0, 1)?