WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik 1)

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1 WS 25/6 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 2

3 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Logik ist die Wissenschaft des Schließens. Sie untersucht, welche Inferenzen korrekt sind. Unter Inferenz verstehen wir (informell) eine Aussage der Form: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Umgangssprachlich sagen wir auch: Wenn A gilt, dann gilt B. Wenn A dann B. A impliziert B. A ist die Annahme (Prämisse, Antezedens, Hypothese) und B die Konklusion (Konsequenz). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 3

4 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Eine korrekte Inferenz: Wenn alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch; B = Sokrates ist sterblich. Eine korrekte Inferenz wenn A dann B bedeutet nicht, dass A wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr ist, dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht. Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen und Herr Seehofer bestochen wurde, dann muss er ins Gefängnis ist eine korrekte Inferenz. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 4

5 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beispiele von inkorrekten Inferenzen: Wenn einige Männer klug sind und alle Fußballer Männer sind, dann sind alle Fußballer klug. Wenn einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion unterliegen und alle menschlichen Unterschiede vererbte Variationen sind, dann unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz der Selektion. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 5

6 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Korrekt oder inkorrekt? Wenn es heute bewölkt ist, und wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und wir immer früh nach Hause kommen, wenn wir rudern, dann werden wir heute früh nach Hause kommen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 6

7 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Noch zwei korrekte Inferenzen: Wenn alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind dann sind alle Guldräber filzig. Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir nicht wissen, was Guldräber, untreßig oder filzig bedeutet!! Die Inferenz ist eine Instanz von: Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 7

8 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Noch zwei korrekte Inferenzen: Wenn Anna ein Enkelkind hat dann ist Anna eine Mutter. Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn man Wissen über die Bedeutung von Mutter und Enkelkind hat. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 8

9 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Logische Inferenzen (informell): Eine logische Inferenz ist eine Inferenz mit Variablen (Platzhalter für Aussagen oder Objekte). Achtung: diese Terminologie ist nicht Standard! Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn alle ihre Instanzen korrekt sind. Logiker sagen: die Inferenz ist (allgemein)gültig oder eine Tautologie. Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z) ist gültig. Wenn (alle X sind Y) dann (alle Y sind X) ist nicht gültig. Wenn A und B und (wenn A dann C) dann B und C ist gültig. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 9

10 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Die Logik untersucht die gültigen Inferenzen: Wie kann man sie (automatisch) erkennen? Welche sind die nützlichsten? Die Logik stellt die Basis der mathematischen Beweise. Praktische Anwendungen der Logik finden sich in zahlreichen Gebieten der Informatik, z.b. Datenbanken, Programmverifikation, Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche Intelligenz und vielen mehr. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26

11 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Es gibt zahlreiche Logiken: Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in verschiedenen Sprachfragmenten: Aussagenlogik: und, oder, nicht, wenn dann Wenn X und Y dann Y (Platzhalter für Aussagen). Syllogistische Logik: alle, einige, keine. Wenn alle A sind B und kein B ist ein C, dann ist kein A ein C (Platzhalter für Objekte) Temporallogik: Aussagenlogik + heute, morgen, irgendwann, nie. Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26

12 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aussagenlogik (propositional logic): Aussagen werden aus einer vorgegebene Menge von atomaren Aussagen oder Aussagenvariablen (Platzhalter für Aussagen) mit Hilfe der Operatoren (Konnektoren, Junktoren) und, oder, nicht und wenn dann gebaut. Atomare Aussagen sind wahr oder falsch, nie wahr und falsch, keines von beiden oder etwas dazwischen. Die Grundlagen der Aussagenlogik wurden von George Boole ( The Laws of Thought, 854) entwickelt. Man spricht deswegen auch von der Booleschen Logik. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 2

13 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) George Boole (85-864) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 3

14 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aussagenlogik formal: Die Aussagenlogik (wie jede Logik) bildet eine formale Sprache. Eine formale Sprache wird definiert durch ihre Syntax und ihre Semantik. Die Syntax der Sprache legt durch Regeln fest, welche Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke sind. Die wohlgeformten Ausdrücke einer Logik heißen Formeln. Die Semantik legt die Bedeutung der Formeln fest. Eine formale Semantik ordnet jeden Ausdruck einem mathematischen Objekt zu, welches als Bedeutung des Ausdrucks interpretiert wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 4

15 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Syntax: Eine formale Syntax besteht aus einem Vokabular und einer Menge von Formationsregeln. Das Vokabular legt fest, welche Zeichen in Ausdrücken vorkommen dürfen. Die Formationsregeln legen fest, welche Zeichenketten über dem Vokabular zulässig oder wohlgeformt sind und welche nicht. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 5

16 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Syntax der Aussagenlogik Vokabular: Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen zusammen: Wahrheitskonstanten: Aussagenvariablen: true, false; p, q, r, s, t, ; Logische Operatoren:,,, ; Hilfssymbolen: (, ). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 6

17 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Syntax der Aussagenlogik Formationsregeln: Regel : true und false sind Formeln. Regel : Eine Aussagenvariable ist eine Formel. Regel 2: Ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 3: Sind F und G Formeln, dann sind a) F G b) F G c) F G ebenfalls Formeln. Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch (evtl. mehrfache) Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 7

18 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Syntax der Aussagenlogik Formationsregeln: Es lassen sich also durch Anwendung von logischen Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln bilden. Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden zu einem komplexeren Ausdruck. Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument (z.b. F), dyadische/binäre Operatoren haben zwei Argumente (z.b. F G). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 8

19 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formeln sind: ( p q r), (p false q r), p q q p. Keine Formeln sind: (q r], p (p q)), ( q q p ). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 9

20 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Ableitungsbeispiele: () p Regel (2) q Regel (3) (p q) Regel 3a, (), (2) (4) (p q) Regel 2, (3) (5) q Regel 2, (2) (6) (q q) Regel 3b, (2), (5) (7) ( p q (q q)) Regel 3c, (4), (6) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 2

21 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Syntaxbaum für ( p q q q ): q p q q Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 2

22 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken: bindet stärker als, bindet stärker als, bindet stärker als. Beispiele: p q steht für ( p q), nicht für (p q); p q r steht für ( p q r), nicht für (p (q r )); p q r s steht für ( p q (r s)). In den Folien: Weder p q r s noch ((p q) (r s)), sondern (p q) (r s). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 22

23 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Semantik der Aussagenlogik: Was ist die Bedeutung einer Formel? Die Formel F = ( p q) kann in vier Welten ausgewertet werden Welt : p und q sind beide wahr. F ist falsch. Welt 2: p ist wahr, q ist falsch. F ist falsch. Welt 3: p ist falsch, q ist wahr. F ist wahr. Welt 4: p ist falsch, q ist falsch. F ist falsch. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 23

24 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Semantik der Aussagenlogik: Die Bedeutung einer Formel ist die Funktion, die jede mögliche Welt dem Wahrheitswert der Formel in dieser Welt zuordnet: (die Formel ist wahr), oder (die Formel ist falsch). Man nennt {, } die Booleschen Werte. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 24

25 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Eine Belegung ( eine Welt ) ist eine Funktion von einer Menge von Aussagevariablen in die Menge {,} der Wahrheitswerte. Eine Belegung β: V {,} passt zu einer Formel F, wenn alle Variablen, die in F vorkommen, zu V gehören. Beispiel: die Funktionen p, q p, q, r sind passende Belegungen der Formel p q. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 25

26 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jeder Belegung β, die zu F passt, ( jede Welt ) einen Wahrheitswert [F](β) zuordnet. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 26

27 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: () Semantik der Formeln true und false: F = true. Für alle Belegungen β gilt: [true](β) =. F = false. Für alle Belegungen β gilt: [false](β) =. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 27

28 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: (2) Semantik der Negation (NICHT) und der Konjunktion (UND): F = G für eine Formel G. Für jede Belegung β, die zu F passt: F β =, falls G β = ;, falls G β =. F = (G H) für Formeln G und H. Für jede Belegung β, die zu F passt:, falls G β = und H β = ; F β =, falls G β = oder H β =. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 28

29 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Die Semantik kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle visualisiert werden. Die Tabelle gibt den Wahrheitswert der Formel für jede Kombination von Wahrheitswerten der Operanden an. Beispiele: G G G H G H Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 29

30 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: (3) Semantik der Disjunktion (ODER): F = (G H) für Formeln G und H. Für jede Belegung β, die zu F passt, gilt: F β =, falls G β = oder H β = ;, falls G β = und [H] β =. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 3

31 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik. Wahrheitstabelle: G H G H In der Logik ist G oder H wahr, wenn G wahr ist, oder H wahr ist, oder beide wahr sind. Der ODER-Operator wird auch als nichtausschließendes-oder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass G und H wahr sind. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 3

32 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: (4) Semantik der Implikation (WENN DANN): F = (G H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt, gilt: F β =, falls G β = oder H β = ;, falls G β = und [H] β =. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 32

33 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Wahrheitstabelle: F G F G Semantik in Worten: F G ist falsch genau dann, wenn F wahr ist und G falsch ist. Andernfalls ist F G wahr. In der Implikation F G ist F die Hypothese und G die Konklusion. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 33

34 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem Gebrauch von wenn dann in der Alltagssprache: p q sagt nicht, dass p eine Ursache für q ist. Pinguine schwimmen Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt. p q sagt nichts darüber, ob p wahr oder falsch ist. Frau Merkel wurde bestochen Frau Merkel gehört hinter Gitter ist wahr in unserer Welt. Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt p q wahr, unabhängig davon, was q aussagt!! Pinguine fliegen Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 34

35 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Formale Semantik der Aussagenlogik: p q sagt nichts darüber, ob p q wahr ist. In der Alltagssprache: Aus der Aussage Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon folgt implizit: Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst Du kein Bonbon. In der Logik: Die Formel Du bist brav Du bekommst ein Bonbon sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist. Vielleicht bekommst Du auch ein Bonbon! Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 35

36 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Weitere Operatoren: Ausschließendes-Oder Der binäre Operator (XOR) entspricht dem sprachlichen Konstrukt entweder oder er schließt die Möglichkeit aus, dass beide Operanden wahr sind. Wahrheitstabelle: G H G H Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 36

37 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Weitere Operatoren: Bikonditional Der binäre Operator entspricht dem sprachlichen Konstrukt genau dann, wenn. Wahrheitstabelle: G H G H Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 37

38 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in unserer Welt?. Diese Vorlesung wird niemals enden die Sonne wird morgen aufgehen. 2. Dienstag ist ein Tag der Woche Obama ist ein Pinguin. 3. +=6 Merkel ist Kanzlerin. 4. Der Mond ist aus grünem Käse Frankreich hat einen König. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 38

39 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wahrheitstabellen: Sei F eine Formel und sei V F die Menge der Variablen, die in F vorkommen. Eine Belegung β: V {,}, die zu F passt, ist minimal für F, wenn V F = V. Sei β eine Belegung, die zu F passt, und sei β F die Projektion von β auf V F. Dann ist β F eine minimale Belegung und es gilt: [F](β) = [F](β F ). Das heißt: Die Funktion [F] wird von den minimalen Belegungen eindeutig bestimmt. Die Wahrheitstabelle von F enthält als Zeilen die minimalen Belegungen von F und die entsprechenden Werte von [F]. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 39

40 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wahrheitstabellen: Beispiel: Sei F = p q r r. p q r F Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 4

41 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wahrheitstabellen: Wie viele Zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Formel F, in der n Variablen vorkommen? Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 4

42 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 42

43 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 43

44 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 44

45 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 45

46 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 46

47 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel: p q r p q r r Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 47

48 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) (Allgemein-)Gültigkeit, Tautologie: Eine Formel F ist (allgemein-)gültig, wenn für jede Belegung β, die zu F passt, gilt: [F](β) =. Intuitiv: eine Formel ist gültig, wenn sie überall ( in allen Welten ) wahr ist. Wir sagen auch: F ist eine Tautologie. Eine Formel ist gültig ist nicht dasselbe wie Eine Formel ist wahr. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 48

49 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) (Allgemein-)Gültigkeit, Tautologie: Eine Formel F ist gültig genau dann, wenn für jede minimale Belegung β, die zu F passt, gilt: [F](β) =. Tautologie-Test: Berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschließlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 49

50 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Allgemeingültigkeit, Tautologie: Beispiele von Tautologien: p p p q p p p q p q p p q r ( p q p r ) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 5

51 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Widerspruch: Eine Formel F ist ein Widerspruch, wenn für jede Belegung β, die zu F passt, gilt: [F](β) =. Intuitiv: Eine Formel ist ein Widerspruch, wenn sie überall ( in allen Welten ) falsch ist. Eine Formel F ist ein Widerspruch genau dann, wenn für jede minimale Belegung β, die zu F passt, gilt: [F](β) =. Widerspruchstest: Berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschließlich Nullen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 5

52 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Erfüllbarkeit: Eine Formel F ist erfüllbar, wenn es eine Belegung β gibt, die zu F passt, und [F](β) = erfüllt. Intuitiv: Eine Formel ist erfüllbar, wenn sie in mindestens einer Welt wahr ist. Erfüllbarkeitstest: Berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F mindestens eine enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 52

53 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Erfüllbarkeit: Das Erfüllbarkeitsproblem (satisfiability problem, SAT) ist eines der am meisten untersuchten Probleme der ganzen Informatik: Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F. Aufgabe: Entscheide, ob F erfüllbar ist. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 53

54 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: p p q p p p p p p p q p (q p) p (p q) Gültig Erfüllbar Widerspruch Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 54

55 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: Stimmt es oder nicht? J/N Gegenbeispiel Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann F unerfüllbar Wenn F gültig, dann F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann F gültig Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 55

56 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Logische Äquivalenz: Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F G) genau dann, wenn für jede Belegung β, die zu F und zu G passt, gilt: F β = G β. Intuitiv: Wenn F und G äquivalent sind, dann sind sie zwei verschiedene Schreibweisen derselben Aussage. Sei V die Menge der Variablen, die in F oder G vorkommen. F und G sind äquivalent genau dann, wenn für jede Belegung β: V {,} gilt: [F](β) = [G](β). Äquivalenz-Test: Konstruiere die Wahrheitstabelle von F G und prüfe, ob die Spalte für F G ausschließlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 56

57 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: Stimmt es oder nicht? F G F G p (p q) p (p q) p q p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 57

58 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Logischen Inferenzen Formalisierung: Eine logische Inferenz ist eine Formel der Gestalt F G. Dabei ist F die Annahme und G die Konklusion. Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn sie gültig ist. Notation: F G (in Worten: G folgt aus F) bezeichnet, dass F G gültig ist. Achtung! G folgt aus F ist nicht dasselbe wie F impliziert G. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 58

59 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Logischen Inferenzen Formalisierung: Fast immer ist die Annahme F eine Konjunktion F F 2 F n. Man spricht dann von den Annahmen F, F n. Statt F F 2 F n G schreibt man F,, F n G. Folgerungstest: Berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F G ausschließlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 59

60 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: Stimmt es oder nicht? A F A F p p q p p q p, q p q p, q p q p q p p q p p, p q q Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 6

61 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beziehungen: F ist gültig (eine Tautologie) genau dann, wenn F ist ein Widerspruch, F true, true F (Notation: F). F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F ist gültig, F false, F false. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 6

62 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beziehungen: F ist erfüllbar genau dann, wenn F ist nicht gültig. F G gilt, genau dann, wenn F G ist eine Tautologie. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 62

63 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Aufgabe: Wahr oder falsch?. Eine Formel F ist eine Tautologie genau dann, wenn F ein Widerspruch ist. 2. Eine Formel F ist keine Tautologie genau dann, wenn F erfüllbar ist. 3. Wenn F ein Widerspruch ist, dann ist F G eine Tautologie. 4. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F false. 5. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F false. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 63

64 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Eigenschaften der Äquivalenz: Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Damit ist eine Äquivalenzrelation (wie zu erwarten war). Diese Transitivität erlaubt es, die Äquivalenz zweier Formeln F und G nachzuweisen, in dem man eine Kette von Äquivalenzen F F F 2 F n G angibt. Das ist eine alternative Methode zur Wahrheitstabelle. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 64

65 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Eigenschaften der Äquivalenz: Die Relation ist eine Kongruenz. Das heißt: Wenn in einer Formel F eine Teilformel durch eine äquivalente Formel ersetzt wird, dann ist die resultierende Formel äquivalent zu F. Die Kongruenz-Eigenschaft erlaubt es, eine Äquivalenz F i F i+ zu finden, indem man einen kleinen Teil von F i durch eine äquivalente Formel ersetzt. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 65

66 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Syntax:,,2, sind arithmetische Ausdrücke. Wenn A und B arithmetische Ausdrücke sind, dann sind (A + B) und (A B) auch arithmetische Ausdrücke. Semantik eines Ausdrucks: eine natürliche Zahl. Relation = : Zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn ihre Semantik dieselbe Zahl ist = (5 4) = Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 66

67 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Die Relation = ist eine Äquivalenzrelation und eine Kongruenz. Beweis, dass = 76: (9 + 7) (3 + (4 2)) = (9 + 7) (3 + 8) = 6 (3 + 8) = 6 = 76. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 67

68 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln: Um Äquivalenzketten zu konstruieren, können wir Äquivalenzregeln verwenden: Äquivalenzschemata, die instanziiert werden können, um äquivalente Formeln zu gewinnen. Äquivalenzregeln enthalten Formelvariablen (Platzhalter für Formeln). Beispiel: Die Regel F G H (F H) (G H) sagt: Für alle Formeln F, G, H gilt: F G H und (F H) (G H) sind äquivalent. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 68

69 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln: Eine Regel kann mit verschiedenen Formeln instanziiert werden: F G H (F H) (G H) p q r (p r) (q r) p q q p ((p q) p) (q p). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 69

70 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln: Wie zeigt man, dass eine Regel korrekt ist? Jede Instanz kann mit einer Wahrheitstabelle geprüft werden, aber es gibt unendlich viele Instanzen! Die folgende Eigenschaft (ohne Beweis) gibt die Lösung: Eine Regel ist korrekt genau dann, wenn sie korrekt ist für die Instanz, in der die Formelvariablen F, G, H, jeweils durch die Variablen p, q, r, ersetzt werden. D.h.: Um die Korrektheit einer Regel nachzuweisen, reicht es zu zeigen, dass sie für diese eine Instanz gilt. Das kann mit einer Wahrheitstabelle gemacht werden. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 7

71 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln für,, : Identität: F true F; F false F. Dominanz: F true true; F false false. Idempotenz: F F F; F F F. Doppelte Negation: F F. Triviale Tautologie/Kontradiktion: F F true; F F false. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 7

72 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln für,, : Kommutativität: F G G F, F G G F. Assoziativität: F G H F G H, (F G) H F (G H). Distributivität: F G H F G F H, F (G H) (F G) (F H). De Morgan s: F G F G, (F G) F G. Augustus De Morgan (86-87) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 72

73 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Äquivalenzregeln für andere Operatoren: Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken. Exklusives-Oder: F G F G (F G), F G F G (G F). Implikation: F G F G, F G F G. Bikonditional:F G F G (G F), F G (F G). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 73

74 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln: Zeige p p q p q: (p ( p q)) p ( p q) p ( p q) p (p q) ( p p) ( p q) false ( p q) ( p q) false p q. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 74

75 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln: Zeige, dass p q q p: p q p q q p q p q p. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 75

76 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln: Eine Formel F ist eine Tautologie gdw. F true. Zeige, dass ((p q) ( p r) (s s)) (q r) eine Tautologie ist: ((p q) ( p r) (s s)) (q r) ((p q) ( p r) true) (q r) ( p q p r ) (q r) ((p q) ( p r)) (q r) p q p r q r. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 76

77 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln: ( (p q) ( p r)) (q r) ( p q) (p r) q r ( p q) q (p r) r (( p q) ( q q)) ((p r) ( r r)) (( p q) true) ((p r) true) p q p r (Beachte: Klammern weggelassen) p p q r true q r true. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 77

78 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Nicht-Äquivalenzen: Um zu zeigen, dass F und G nicht äquivalent sind, reicht es, eine Belegung anzugeben, die zu F und G passt, und F wahr macht und G falsch (oder umgekehrt). Eine solche Belegung kann systematisch mit einer Wahrheitstabelle gesucht werden, aber nicht mit Äquivalenzregeln. In der Praxis oft besser: Finde mit Hilfe von Regeln einfachere Formeln F und G mit F F und G G. Finde eine Belegung, die zeigt, dass F und G nicht äquivalent sind. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 78

79 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Beweis von Nicht-Äquivalenzen: Zeige: ((p q) r) und (p (q r)) sind nicht-äquivalent.. p q r p q r ( p q r) 2. p q r ( p q r) 3. ((p q) r) und ( p q r) sind nicht äquivalent: ((p q) r) falsch für p, q, r, ( p q r) wahr für p, q, r. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 79

80 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln: Vorteile der Wahrheitstabellen: Automatische und einfache Methode. Terminiert garantiert mit der richtigen Antwort. Nachteile der Wahrheitstabellen: Die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen. Die Methode ist daher völlig ungeeignet für großes n. Die Wahrheitstabelle jeder Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen, egal wie dumm die Formel ist, z.b.: p p F. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 8

81 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln: Vorteile der Äquivalenzregeln: Ab vier/fünf Variablen die bessere Methode für Menschen. Richtige Sequenz von Regelanwendungen kann schnell zum Ziel führen. Nachteile der Äquivalenzregeln: Die richtige Regel muss erraten werden. Terminierung ist nicht garantiert. Kann nur zeigen, das F G gilt, aber nicht, dass es nicht gilt. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 8

82 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wie viele verschiedene Operatoren gibt es? Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren) kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden. Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen 2 n Einträge (/) hat, gibt es genau??? verschiedene Wahrheitstabellen für Formeln mit n Variablen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 82

83 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Wie viele verschiedene Operatoren gibt es? Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren) kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden. Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen 2 n Einträge (/) hat, gibt es genau 2 2n verschiedene Wahrheitstabellen für Formeln mit n Variablen. Es gibt also 2 2n Operatoren der Arität n (insbesondere 4 unäre und 6 binäre Operatoren). Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 83

84 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vollständige Mengen von Operatoren: Einige Operatoren können durch andere ausgedrückt werden. Beispiel: Aus p q p q folgt F G F G für beliebige Formeln F und G. Formal: Ein Operator OP der Stelligkeit k kann durch die Operatoren OP,, OP n ausgedrückt werden, wenn es eine Formel F über OP,, OP n (ohne die Konstanten true und false) gibt mit OP p,, p k F. Eine Menge M von Operatoren ist vollständig, wenn jeder Operator (egal welcher Arität) durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 84

85 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vollständige Mengen von Operatoren: Fakt: Die Menge {,, } ist vollständig. Beispiel: Wir betrachten den 3-stelligen Operator ITE mit folgender Wahrheitstabelle: p q r ITE(p, q, r) Es gilt: ITE p, q, r ( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 85

86 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vollständige Mengen von Operatoren: Fakt: Die Mengen {, } und {, } sind vollständig. Beobachtung: Sei V eine vollständige Menge und sei M eine Menge von Operatoren. Wenn jeder Operator aus V durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann, dann ist M auch vollständig. Fall, : Es reicht zu zeigen, dass durch und ausgedrückt werden kann. Das wird mit der De Morgan sche Regel erreicht: p q ( p q). Fall, : Symmetrisch. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 86

87 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vollständige Mengen von Operatoren: Wir betrachten die Operatoren nand: F nand G ( (F G)) F G F nand G nor: F nor G ( (F G)) F G F nor G Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 87

88 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Vollständige Mengen von Operatoren: Fakt: Die Mengen {nand} und {nor} sind vollständig. Für die Menge {nand}: F (F nand F) F G F nand G nand (F nand G) F G F nand F nand (G nand G) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 88

89 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Zusammenfassung Boolesche Operatoren: Formaler Name Umg.spr. Stelligkeit Symbol Negation NICHT Mon. Konjunktion UND Dyad. Disjunktion ODER Dyad. Exklusives-Oder XOR Dyad. Implikation IMPLIZIERT Dyad. Bikonditional IFF (GDW) Dyad. NAND NAND Dyad. nand NOR NOR Dyad. nor Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 89

90 Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Praktische Anwendungen in der Informatik: Schaltungen (NAND-Gatter als Grundbaustein) Programmverifikation/Korrektheitsbeweise Programmierung (z.b. if-then-else) SAT-Problem als Repräsentant eines schwierigen Problems (NP-Vollständigkeit) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 3/4 Diskrete Strukturen WS 25/26 9