Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

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1 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode Bachelor Projekt eingereicht am Institut für Baustatik der Technischen Universität Graz im Oktober 2010 Verfasser: Betreuer: Novak Friedrich Dipl.-Ing. Lindner Bernhard BSc

2 II Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Vorgangsweise Allgemeines zur Kraftgrößenmethode Vorzeichenkonvention Der Trägerrost Symmetrie-Antimetrie Beispiel: Vordach mit Abstützung Einführen eines statisch bestimmten Grundsystems System Berechnung der Auflagerkräfte am 0-System Berechnung der Schnittgrößen am 0-System Darstellung der Schnittgrößen vom 0-System System Berechnung der Auflagerkräfte am 1-System Berechnung der Schnittgrößen am 1-System Darstellung der Schnittgrößen vom 1-System Überlagerung der Schnittgrößen Kompatibilitätsbedingung Berechnung von d Berechnung von d Einsetzen in die Kompatibilitätsbedingung Ermittlung der gesamten Schnittkräfte und der Auflagerkräfte Auflagerkräfte Schnittkräfte Endgültige Schnittkräfte Berechnung der Vertikalverschiebung i z des Knotens i Beispiel: Trägerrost Einführen eines statisch bestimmten Grundsystems System Berechnung der Auflagerkräfte am 0-System Berechnung der Schnittgrößen am 0-System Darstellung der Schnittgrößen vom 0-System System Berechnung der Auflagerkräfte am 1-System Berechnung der Schnittgrößen am 1-System Darstellung der Schnittgrößen vom 1-System System Berechnung der Auflagerkräfte am 2-System Berechnung der Schnittgrößen am 2-System Darstellung der Schnittgrößen vom 2-System Überlagerung der Schnittgrößen III

4 Inhaltsverzeichnis 3.6 Ermittlung der gesamten Schnittkräfte und der Auflagerkräfte Endgültige Schnittkräfte IV Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

5 1 Einleitung Die folgende Arbeit kann, neben den bereits vorhanden Unterlagen aus den Baustatik Vorlesungen [1] bzw. Übungen [2], als eine weitere Hilfestellung zur Vorbereitung auf die Prüfung zum Abschnitt Kraftgrößnmethode betrachtet werden. Anschließend wird anhand von Beispielen zur Kraftgrößenmethode Schritt für Schritt der Lösungsweg dargestellt. 1.1 Vorgangsweise Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um 3-dimensionale Systeme, welche hinsichtlich ihrer Freiheitsgrade noch weiters vereinfacht werden können, da es sich bei den folgenden Beispielen ausschließlich um Trägerroste handelt. Weiters können noch Vereinfachungen mittels Symmetriebedingungen gemacht werden. Die Berechnung von 3D-Systemen kann mithilfe eines Schemas erfolgen, welches zunächst gezeigt wird. Schritt 1 Bestimmung der unbekannten Freiheitsgrade Schritt 2 Bestimmung eines statisch bestimmten Grundsystems. Berechung der Schnittgrößen anhand der tatsächlichen Belastung. 0-System Schritt 3 Ansetzen der statisch Unbekannten(X n = 1) am statischen Grundsystem und Berechnung der Schnittgrößen. Für n-fach statisch unbestimmte Systeme ist die Definition und Berechnung von n-fachen Unbekannten erforderlich. Schritt 4 Überlagerung der Schnittgrößen mittels Integraltabelle oder dem Simpson Verfahren. Schritt 5 Lösen des Gleichungssystems Schritt 6 Bestimmung der Schnittkräfte und der Auflagerkräfte 1

6 1 Einleitung 1.2 Allgemeines zur Kraftgrößenmethode Vorzeichenkonvention Es ist immer sinnvoll das lokale Koordinatensystem so zu wählen, sodass die Achse z nach unten zeigt, wobei die Achse in Richtung der Stabachse zeigen muss, sowie es in den beiden unteren Skizzen dargestellt ist. Alle in dieser Arbeit vorkommenden Annahmen, Erläuterungen und Vereinfachungen der Systeme beruhen auf dieser Festlegung der lokalen Koordinatensysteme. Für die Berechnung der Schnittgrößen ist die Definition einer Vorzeichenkonvention unabdinglich. Nach diesen, in den unteren beiden Skizzen dargestellten Regeln sind die Schnittgrößen an 3D- Systemen zu bestimmen. Schnitt in Richtung des lokalen Koordinatensystems Schnitt entgegen der Richtung des lokalen Koordinatensystems Q z y z M z N M T M y Q y Q y M y Q z M T N M z y z Der Trägerrost Von einem Trägerrost spricht man, wenn die Konstruktionsstäbe in einer Ebene liegen und die darauf wirkende Belastung im rechten Winkel darauf liegt, in diesem Fall können Vereinfachungen getroffen werden, welche von der Wahl des lokalen Koordinatensystems abhängen, deshalb ist es, wie schon im Unterkapitel Vorzeichenkonvention (siehe Kapitel:1.2.1) erwähnt immer sinnvol die Achse z nach unten und die Achse in Richtung der Stabachse zu wählen. Im Folgenden wird ein einfaches Beispiel dargestellt, welches die Besonderheiten eines Trägerrostes zeigen soll. y z y x z y z Abbildung 1.1: Trägerrost 2 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

7 1.2 Allgemeines zur Kraftgrößenmethode Dies ist ein klassisches Beispiel für einen Trägerrost, da die Stäbe in einer Ebene liegen und die Belastung normal darauf wirkt. Im Allgemeinen ist dieses System 6-fach statisch unbestimmt, da die beiden Einspannungen je eine Wertigkeit von 6 Unbekannten besitzen, also insgesamt 12 Unbekannte und man mit einem System nur 6 Gleichungen aufstellen kann. 2 6 Unbekannte = 12 Unbekannte 6 Gleichungen 6 fach stat. unbest. Wenn man dieses System so berechnen würde, bräuchte man ein 0-System und 6 weitere Systeme mit dem jeweiligen Freiheitsgrad als Unbekannte. Es wird herauskommen, dass die Schnittkräfte M z, Q y und N am gesamten System null sind und eben diese Erkenntnis ist die Besonderheit eines Trägerrostes. Man muss jedoch beachten, dass die Lage des lokalen Koordinatensystems hierbei eine wesentliche Rolle spielt, denn würde man zum Beispiel die Achse y nach unten richten anstatt z so wäre M z nicht null, sondern M y und Q y wäre auch nicht null, sondern Q z. Wenn man also erkennen kann, dass es sich um einen Trägerrost handelt kann man, insofern die lokalen Koordinatensysteme dementsprechend gewählt wurden sofort sagen, dass M z, Q y und N gleich null sind. Bei diesem Beispiel heißt das, dass es nicht 6-fach, sondern nur 3-fach statisch unbestimmt ist, es müssen also nur 3 Unbekannte angesetzt werden. 0 [M T ] Abbildung 1.2: Torsionsmoment M T [M y ] Abbildung 1.3: Biegemoment M y [Q z ] Abbildung 1.4: Querkraft Q z Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 3

8 1 Einleitung Symmetrie-Antimetrie Zufolge einer Symmetrie bzw. einer Antimetrie eines Systems und deren Belastung können oft sehr hilfreiche Vereinfachungen getroffen werden und somit die Anzahl der Unbekannten reduziert werden, vorrausgesetzt man schneidet an der Symmetrieachse. Symmetrisches System mit symmetrischer Belastung: y z y x z y z Abbildung 1.5: Trägerrost als symmetrisches System mit symmetrischer Belastung M T antimetrisch Q z antimetrisch [M T ] 0 Abbildung 1.6: Torsionsmoment M T M y symmetrisch [Q z ] Abbildung 1.7: Qerkraft Q z [M y ] Abbildung 1.8: Biegemoment M y 4 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

9 1.2 Allgemeines zur Kraftgrößenmethode Wie man sehr gut an diesem Beispiel sehen kann gibt es bei einem symmetrischen System mit einer symmetrischen Belastung an der Symmetrieachse bei M T und bei Q z einen Nulldurchgang, dies gilt generell, wenn die Symmetriebedingungen erfüllt werden. Das heißt in diesem Beispiel, dass man nur eine Unbekannte für das Biegemoment M y ansetzten muss, wenn man an der Symmetrieachse schneidet. Symmetrisches System mit antimetrischer Belastung: y z F y x z y z F Abbildung 1.9: Trägerrost als symmetrisches System mit antimetrischer Belastung M T symmetrisch Q z symmetrisch [M T ] Abbildung 1.10: Torsionsmoment M T M y antimetrisch [Q z ] Abbildung 1.11: Querkraft Q z [M y ] Abbildung 1.12: Biegemoment M y Bei einem symmetrischen Trägerrost mit antimetrischer Belastung gibt es nur bei M y einen Nulldurchgang an der Achse, es müssen hier daher 2 Unbekannte angesetzt werden, wenn man an der Achse schneidet. Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 5

10 1 Einleitung 6 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

11 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung 1 4,0 1 q z y 2 2 i 3,0 2,0 x 4,0 3 3 Abbildung 2.1: Vordach mit Abstützung Systemangaben: Alle Abmessungen: [m] Material: E = 2, kn/m 2, G = 8, kn/m 2 Stäbe 1-2: I T = m 4, I B = m 4, A Stab 3: I T = m 4, I B = m 4, A = 10 cm 2 Gleichlast: q = 10 kn /m gesucht: Ermittlung aller Auflagerkräfte sowie Berechnung und grafische Darstellung aller auftretenden Schnittgrößen zufolge der Gleichlast q. Vertikalverschiebung u z im Knoten i. 7

12 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung 2.1 Einführen eines statisch bestimmten Grundsystems Achtung: Die folgenden Annahmen und die daraus folgenden Schlüsse beziehen sich auf die in der Skizze(2.2) gewählten lokalen Koordinatensysteme, wobei es immer vorteilhaft ist, sie so zu wählen, dass die Achse z normal auf die Systemebene gerichtet ist, wie es in diesem Beispiel gezeigt wird. Bei diesem Beispiel handelt es sich eigentlich nicht um einen Trägerrost, da die Konstruktionsstäbe nicht in einer Ebene liegen. Man muss beachten, dass der Stab 3 unten eingespannt ist und daher nicht als Pendelstab angesehen werden darf. Am Knoten i befindet sich ein Gelenk, das bedeutet, es können keine Momente übertragen werden, also wären eigentlich nur Verschiebungen in x,y und z-richtung zu erwarten. Der wesentliche Punkt ist, dass man dieses System in 2 Systeme teilen kann, wobei hier am Gelenk geschnitten wird. So kann man erkennen, dass das linke Teilsystem, welches Stäbe 1 und 2 beinhaltet in einer Systemebene liegt. Da der Stab 3 normal auf Stab 1 und Stab 2 liegt und in diesem Beispiel die Last auch normal auf Stab 1 und Stab 2 liegt kann das linke Teilsystem wie ein Trägerrost behandelt werden, wobei dann zu erwarten ist, dass im Punkt i nur eine Verschiebung in z-richtung auftritt, was bedeutet, dass es im Stab 3 nur Normalkraft geben wird. Weiters weiß man, dass bei einem Trägerrost die Schnittgrößen M z, Q y und N gleich null sind, dass heißt, man muss bei diesem Beispiel lediglich eine Unbekannte ansetzen, welche in Stabrichtung des Stabes 3 liegt. Achtung: Stab 3 ist kein Pendelstab. Die Vereinfachung, die man an diesem System vornehmen kann ist nur in diesem speziellen Fall möglich, da die Belastung normal auf die Stäbe wirkt und Stab 3 auch normal zu den Stäben 1 und 2 situiert ist. 1 y z 1 z y 2 y z 2 i X 1 = 1 x 3 3 Abbildung 2.2: statisch bestimmtes Grundsystem Dieses System ist statisch bestimmt und kann jetzt auch mit den allgemein bekannten Methoden berechnet werden. Zunächst muss das System 0 eingeführt werden, welches die tatsächliche Last enthält und daraus werden die Schnittkräfte M T,0, N 0, M y,0, Q y,0, M z,0 und Q z,0 ermittelt. Dann benötigt man noch das System 1, welches als Last die Unbekannte X 1 = 1 enthält und daraus ermittelt man sich die Schnittkräfte M T,1, N 1, M y,1, Q y,1, M z,1 und Q z,1. 8 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

13 2.2 0-System System 1 1 4,0 m q = 10 kn /m z y 3,0 2 2 n i x 4,0 Abbildung 2.3: 0-System Stab 3 wird bei diesem System nicht belastet, da direkt unter dem Gelenk durchgeschnitten wird und Stab 3 nun auch nicht mehr mit dem restlichen System verbunden ist, deshalb wird dieser auch nicht in der Skizze dargestellt um eine Verwirrung zu vermeiden Berechnung der Auflagerkräfte am 0-System I A x,0 III II II M A,x,0 1 M A,y,0 A y,0 R = 10 kn /m 5,0 m = 50 kn M A,z,0 m q = 10 kn /m III A z,0 2 I n i Abbildung 2.4: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte Fz = 0: A z,0 10 5,0 = 0 = A z,0 = 50 kn Fx = 0: A x,0 + 0 = 0 = A x,0 = 0 Fy = 0: A y,0 + 0 = 0 = A y,0 = 0 MI I = 0: M A,x,0 50 2,0 = 0 = M A,x,0 = 100 knm MII II = 0: M A,y,0 50 5,5 = 0 = M A,y,0 = 275 knm MIII III = 0: M A,z,0 + 0 = 0 = M A,z,0 = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 9

14 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Berechnung der Schnittgrößen am 0-System Da es sich bei diesem System wie bereits erwähnt um einen Trägerrost handelt sind die Schnittkräfte M z, Q y und N gleich null, um dies jedoch zu beweisen wird es anschließend illustriert, wobei jedoch wieder zu beachten ist, dass das lokale Koordinatensystem wie in der Skizze (2.5) zu wählen ist. Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 1: MA,x,0 1 M A,y,0 y A z,0 Q y,0 z M T,0 M y,0 M z,0 N 0 Q z,0 Abbildung 2.5: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 1 Schnittkräfte im Knoten 1: Fx = 0: N 0,1 + 0 = 0 = N 0,1 = 0 Mx = 0: M T,0,1 + M A,x,0 = 0 M T,0, = 0 = M T,0,1 = 100 knm Fy = 0: Q y,0,1 + 0 = 0 = Q y,0,1 = 0 10 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

15 2.2 0-System My = 0: M y,0,1 + M A,y,0 = 0 M y,0, = 0 = M y,0,1 = 275 knm Fz = 0: Q z,0,1 A z,0 = 0 Q z,0,1 50 = 0 = Q z,0,1 = 50 kn Mz = 0: M z,0,1 + 0 = 0 = M z,0,1 = 0 Schnittkräfte im Knoten m: Fx = 0: N 0,m + 0 = 0 = N 0,m = 0 Mx = 0: M T,0,m + M A,x,0 = 0 M T,0,m = 0 = M T,0,m = 100 knm Fy = 0: Q y,0,m + 0 = 0 = Q y,0,m = 0 My = 0: M y,0,m + M A,y,0 A z,0 x = 0 M y,0,m ,0 = 0 = M y,0,m = 175 knm Fz = 0: Q z,0,m A z,0 = 0 Q z,0,m 50 = 0 = Q z,0,m = 50 kn Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 11

16 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Mz = 0: M z,0,m + 0 = 0 = M z,0,m = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Fx = 0: N 0,2,o + 0 = 0 = N 0,2,o = 0 Mx = 0: M T,0,2,o + M A,x,0 = 0 M T,0,2,o = 0 = M T,0,2,o = 100 knm Fy = 0: Q y,0,2,o + 0 = 0 = Q y,0,2,o = 0 My = 0: M y,0,2,o + M A,y,0 A z,0 x = 0 M y,0,2,o ,0 = 0 = M y,0,2,o = 75 knm Fz = 0: Q z,0,2,o A z,0 = 0 Q z,0,2,o 50 = 0 = Q z,0,2,o = 50 kn Mz = 0: M z,0,2,o + 0 = 0 = M z,0,2,o = 0 12 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

17 2.2 0-System Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 2: M z,0 M y,0 N 0 M T,0 Q y,0 y i Q z,0 z Abbildung 2.6: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 2 Schnittkräfte im Knoten 2: Fx = 0: N 0,2,u + 0 = 0 = N 0,2,u = 0 Mx = 0: M T,0,2,u + 0 = 0 = M T,0,2,u = 0 Fy = 0: Q y,0,2,u + 0 = 0 = Q y,0,2,u = 0 My = 0: M y,0,2,u + q x2 2 = 0 M y,0,2,u = 0 = M y,0,2,u = 125 knm Fz = 0: Q z,0,2,u q x = 0 Q z,0,2,u 10 5,0 = 0 = Q z,0,2,u = 50 kn Mz = 0: M z,0,2,u + 0 = 0 = M z,0,2,u = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 13

18 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Schnittkräfte im Knoten n: Fx = 0: N 0,n + 0 = 0 = N 0,n = 0 Mx = 0: M T,0,n + 0 = 0 = M T,0,n = 0 Fy = 0: Q y,0,n + 0 = 0 = Q y,0,n = 0 My = 0: M y,0,n + q x2 2 = 0 M y,0,n ,52 2 = 0 = M y,0,n = 31,25 knm Fz = 0: Q z,0,n q x = 0 Q z,0,n 10 2,5 = 0 = Q z,0,n = 25 kn Mz = 0: M z,0,n + 0 = 0 = M z,0,n = 0 Schnittkräfte im Knoten i: Fx = 0: N 0,i + 0 = 0 = N 0,i = 0 Mx = 0: M T,0,i + 0 = 0 = M T,0,i = 0 14 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

19 2.2 0-System Fy = 0: Q y,0,i + 0 = 0 = Q y,0,i = 0 My = 0: M y,0,i + q x2 2 = 0 M y,0,i = 0 = M y,0,i = 0 Fz = 0: Q z,0,i q x = 0 Q z,0,i 10 0 = 0 = Q z,0,i = 0 Mz = 0: M z,0,i + 0 = 0 = M z,0,i = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 15

20 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Darstellung der Schnittgrößen vom 0-System 100 [M T,0 ] Abbildung 2.7: Torsionsmoment M T,0 vom 0-System [M y,0 ] 75 31,25 Abbildung 2.8: Biegemoment M y,0 vom 0-System +50 [Q z,0 ] +50 Abbildung 2.9: Querkraft Q z,0 vom 0-System 16 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

21 2.3 1-System System 1 4,0 1 m X 1 = 1 z y x 3,0 2 2 n 4,0 X 1 = i Abbildung 2.10: 1-System System 1 besteht aus zwei Teilsystemen, die nicht miteinander verbunden sind und können natürlich auch unabhängig voneinander berechnet werden Berechnung der Auflagerkräfte am 1-System oberes Teilsystem (Stab 1 und 2) I III A x,1 II M A,x,1 A y,1 II 1 M A,y,1 X 1 = 1 M A,z,1 m III A z,1 2 I n i Abbildung 2.11: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte am oberen Teilsystem Fz = 0: A z,1 1 = 0 = A z,1 = 1,0 Fx = 0: A x,1 + 0 = 0 = A x,1 = 0 Fy = 0: A y,1 + 0 = 0 = A y,1 = 0 MI I = 0: M A,x,1 1 4,0 = 0 = M A,x,1 = 4,0 MII II = 0: M A,y,1 1 7,0 = 0 = M A,y,1 = 7,0 MIII III = 0: M A,z,1 + 0 = 0 = M A,z,1 = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 17

22 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung unteres Teilsystem (Stab 3) III I X 1 = 1 B x,1 II II M B,x,1 3 M B,z,1 M B,y,1 B y,1 I B z,1 III Abbildung 2.12: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte am unteren Teilsystem Fz = 0: B z,1 + 1 = 0 = B z,1 = 1,0 Fx = 0: B x,1 + 0 = 0 = B x,1 = 0 Fy = 0: B y,1 + 0 = 0 = B y,1 = 0 MI I = 0: M B,x, = 0 = M B,x,1 = 0 MII II = 0: M B,y, = 0 = M B,y,1 = 0 MIII III = 0: M B,z, = 0 = M B,z,1 = Berechnung der Schnittgrößen am 1-System Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 1: M A,x,1 M A,y,1 1 y A z,1 z M T,1 M y,1 Q z,1 Abbildung 2.13: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 1 18 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

23 2.3 1-System Schnittkräfte im Knoten 1: Mx = 0: M T,1,1 + M A,x,1 = 0 M T,1,1 + 4,0 = 0 = M T,1,1 = 4,0 My = 0: M y,1,1 + M A,y,1 = 0 M y,1,1 + 7,0 = 0 = M y,1,1 = 7,0 Fz = 0: Q z,1,1 A z,1 = 0 Q z,1,1 1,0 = 0 = Q z,1,1 = 1,0 Schnittkräfte im Knoten m: Mx = 0: M T,1,m + M A,x,1 = 0 M T,1,m + 0 = 0 = M T,1,m = 4,0 My = 0: M y,1,m + M A,y,1 A z,1 x = 0 M y,1,m + 7,0 1,0 2,0 = 0 = M y,1,m = 5,0 Fz = 0: Q z,1,m A z,1 = 0 Q z,1,m 1,0 = 0 = Q z,1,m = 1,0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 19

24 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,1,2,o + M A,x,1 = 0 M T,1,2,o + 4,0 = 0 = M T,1,2,o = 4,0 My = 0: M y,1,2,o + M A,y,1 A z,1 x = 0 M y,1,2,o + 7,0 1,0 4,0 = 0 = M y,1,2,o = 3,0 Fz = 0: Q z,1,2,o A z,1 = 0 Q z,1,2,o 1,0 = 0 = Q z,1,2,o = 1,0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 2: M T,1 M y,1 X 1 = 1 i Q z,1 y z Abbildung 2.14: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 2 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,1,2,u + 0 = 0 = M T,1,2,u = 0 My = 0: M y,1,2,u + X 1 x = 0 M y,1,2,u + 1,0 5,0 = 0 = M y,1,2,u = 5,0 20 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

25 2.3 1-System Fz = 0: Q z,1,2,u X 1 = 0 Q z,1,2,u 1,0 = 0 = Q z,1,2,u = 1,0 Schnittkräfte im Knoten n: Mx = 0: M T,1,n + 0 = 0 = M T,1,n = 0 My = 0: M y,1,n + X 1 x = 0 M y,1,n + 1,0 2,5 = 0 = M y,1,n = 2,5 Fz = 0: Q z,1,n X 1 = 0 Q z,1,n 1,0 = 0 = Q z,1,n = 1,0 Schnittkräfte im Knoten i: Mx = 0: M T,1,i + 0 = 0 = M T,1,i = 0 My = 0: M y,1,i + X 1 x = 0 M y,1,i + 1,0 0 = 0 = M y,1,i = 0 Fz = 0: Q z,1,i X 1 = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 21

26 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Q z,1,i 1,0 = 0 = Q z,1,i = 1,0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 3: M T,1 Q z,1 z N1 Q y,1 M y,1 M z,1 y 3 B z,1 = 1,0 Abbildung 2.15: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 3 Wie man in der Skizze(2.15) sehr gut sehen kann gibt es nur eine auftretende Kraft in der Richtung der Stabachse von Stab 3, B z,1, was bedeutet, dass in diesem Stab nur eine Schnittkraft N 1 auftritt. Schnittkräfte im Knoten 3: Fx = 0: N 1,3 + B z,1 = 0 N 1,3 + ( 1,0) = 0 = N 1,3 = 1,0 Schnittkräfte im Knoten i: Fx = 0: N 1,i,u + B z,1 = 0 N 1,i,u + ( 1,0) = 0 = N 1,i,u = 1,0 22 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

27 2.3 1-System Darstellung der Schnittgrößen vom 1-System 4,0 [M T,1 ] 4,0 0 Abbildung 2.16: Torsionsmoment M T,1 vom 1-System 7,0 5,0 5,0 [M y,1 ] 3,0 2,5 Abbildung 2.17: Biegemoment M y,1 vom 1-System +1,0 [Q z,1 ] +1,0 +1,0 Abbildung 2.18: Querkraft Q z,1 vom 1-System Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 23

28 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung 0 [N 1 ] 0 +1,0 +1,0 Abbildung 2.19: Normalkraft N 1 vom 1-System 2.4 Überlagerung der Schnittgrößen Da nun alle relevanten Schnittgrößen errechnet wurden, kann man diese jetzt superpositionieren, dafür stehen Integraltabellen sowie die Näherungsmethode nach Simpson zur Verfügung. Integraltabellen findet man in diversen technischen Büchern wie zum Beispiel in den Bautabellen nach Krapfenbauer als auch natürlich am Institut für Baustatik [1]. Anhand dieses Beispieles wird zunächst die Anwendung dieser Integraltabellen demonstriert und dann wird auch noch weiter auf die Näherungsmethode nach Simpson eingegangen, da diese in vielen Fällen sehr viel einfacher zu handhaben ist Kompatibilitätsbedingung d 10 + d 11 X 1 = Berechnung von d 10 Anwendung von Integraltabellen: Für den Term d 10 aus der Kompatibilitätsbedingung muss man nun die Schnittgrößen aus dem 1- System mit den Schnittgrößen aus dem 0-System überlagern. Zur Illustration wird hier nur ein Teil der gesamten Überlagerung d 10,1 betrachtet, später wird dann die gesamte Superposition dargestellt. Betrachtet wird der Stab 1 mit seinen aus der Angabe bekannten Materialeigenschaften sowie geometrischen Bedingungen. Vorerst wird nur der Anteil aus dem Torsionsmoment M T errechnet. Material: G = 8, kn/m 2 Stab 1: I T = m 4 Länge: L 1 = 4,0 m 24 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

29 2.4 Überlagerung der Schnittgrößen Abbildung 2.20: Ausschnitt aus einer Integrationstafel [2] M T,0 am Stab 1 ist ein Rechteck mit der Größe ( 100) und M T,1 ist auch ein Rechteck mit der Größe ( 4,0). Man benötigt nun eine Formel zur Überlagerung von einem Rechteck mit einem anderen Rechteck. Aus der Integraltabelle erhaltet man die einfache Form von: A C = ( 100) ( 4,0) Am Stab 2 tritt bei keinem der vorhin berechneten Systeme 0 und 1 ein Torsionsmoment auf, daher trägt dieser auch keinen Anteil zur Überlagerung bei. = d 10,1 = L 1 G I T [M T,0 M T,1 ] = d 10,1 = = d 10,1 = 0, ,0 8, [( 100) ( 4,0)] Anwendung der Näherungsformel nach Simpson: f x f 0 f 1 f 2 x x x Abbildung 2.21: Skizze zur Näherungsformel nach Simpson Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 25

30 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung 2 x 0 f x x 3 (f f 1 + f 2 ) Nun wird der Anteil d 10,2 aus dem Biegemoment M y am Stab 1 errechnet: Material: E = 2, kn/m 2 Stab 1: I B = m 4 Länge: L 1 = 4,0 m = d 10,2 = 1 E I B L1 2 3 [M y,0,1 M y,1,1 + 4 M y,0,m M y,1,m + M y,0,2,o M y,1,2,o ] = d 10,2 = 1 2, , = d 10,2 = 0, [( 275) ( 7,0) + 4 ( 175) ( 5,0) + ( 75) ( 3,0)] Es fehlt noch der Anteil d 10,3 aus dem Biegemoment M y am Stab 2: Material: E = 2, kn/m 2 Stab 2: I B = m 4 Länge: L 1 = 5,0 m = d 10,3 = 1 E I B L2 2 3 [M y,0,2,u M y,1,2,u + 4 M y,0,n M y,1,n + M y,0,i M y,1,i ] = d 10,3 = 1 2, , = d 10,3 = 0, [( 125) ( 5,0) + 4 ( 31,25) ( 2,5) + 0 0] Addiert man all die Terme d 10,1, d 10,2 und d 10,3 zusammen erhält man d 10 : = d 10 = d 10,1 + d 10,2 + d 10,3 = d 10 = 0, , , = d 10 = 0, Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

31 2.4 Überlagerung der Schnittgrößen Berechnung von d 11 Die Superposition von d 11 erfolgt analog wie zuvor bei d 10, nur dass hier die Schnittgrößen aus dem 1-System mit sich selbst überlagert werden. d 11,1 am Stab 1 zufolge M T mittels Integraltabelle: = d 11,1 = L 1 G I T [M T,1 M T,1 ] = d 11,1 = = d 11,1 = 0, ,0 8, [( 4,0) ( 4,0)] d 11,2 am Stab 1 zufolge M y mittels Simpson: = d 11,2 = 1 E I B L1 2 3 [M y,1,1 M y,1,1 + 4 M y,1,m M y,1,m + M y,1,2,o M y,1,2,o ] = d 11,2 = 1 2, , = d 11,2 = 0, [( 7,0) ( 7,0) + 4 ( 5,0) ( 5,0) + ( 3,0) ( 3,0)] d 11,3 am Stab 2 zufolge M y mittels Simpson: = d 11,3 = 1 E I B L2 2 3 [M y,1,2,u M y,1,2,u + 4 M y,1,n M y,1,n + M y,1,i M y,1,i ] = d 11,3 = 1 2, , = d 11,3 = 0, [( 5,0) ( 5,0) + 4 ( 2,5) ( 2,5) + 0 0] d 11,4 am Stab 3 zufolge N mittels Integraltabelle: Material: E = 2, kn/m 2 Stab 3: A 3 = 10 3 m 2 Länge: L 1 = 2,0 m = d 11,4 = L 3 E A 3 [N 1 N 1 ] = d 11,4 = 2,0 2, [1,0 1,0] = d 11,4 = 0, Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 27

32 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung = d 11 = d 11,1 + d 11,2 + d 11,3 + d 11,4 = d 11 = 0, , , , = d 11 = 0, Einsetzen in die Kompatibilitätsbedingung d 10 + d 11 X 1 = 0 X 1 = d 10 d 11 X 1 = ( 27,123) = ( 0, ) 0, Ermittlung der gesamten Schnittkräfte und der Auflagerkräfte S = S 0 + S 1 X 1 + S 2 X S n X n Auflagerkräfte M A,x = M A,x,0 + M A,x,1 X 1 = ( 100) + ( 4,0) ( 27,123) = 8,49 knm M A,y = M A,y,0 + M A,y,1 X 1 = ( 275) + ( 7,0) ( 27,123) = 85,14 knm A z = A z,0 + A z,1 X 1 = ( 27,123) = 22,88 kn B z = B z,0 + B z,1 X 1 = 0 + ( 1,0) ( 27,123) = 27,12 kn Schnittkräfte Schnittkräfte am Stab 1: im Knoten 1: M T,1 = M T,0,1 + M T,1,1 X 1 = ( 100) + ( 4,0) ( 27,123) = 8,49 knm M y,1 = M y,0,1 + M y,1,1 X 1 = ( 275) + ( 7,0) ( 27,123) = 85,14 knm Q z,1 = Q z,0,1 + Q z,1,1 X 1 = ,0 ( 27,123) = 22,88 kn im Knoten m: M T,m = M T,0,m + M T,1,m X 1 = ( 100) + ( 4,0) ( 27,123) = 8,49 knm M y,m = M y,0,m + M y,1,m X 1 = ( 175) + ( 5,0) ( 27,123) = 39,39 knm 28 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

33 2.5 Ermittlung der gesamten Schnittkräfte und der Auflagerkräfte Q z,m = Q z,0,m + Q z,1,m X 1 = ,0 ( 27,123) = 22,88 kn im Knoten 2: M T,2,o = M T,0,2,o + M T,1,2,o X 1 = ( 100) + ( 4,0) ( 27,123) = 8,49 knm M y,2,o = M y,0,2,o + M y,1,2,o X 1 = ( 75) + ( 3,0) ( 27,123) = 6,37 knm Q z,2,o = Q z,0,2,o + Q z,1,2,o X 1 = ,0 ( 27,123) = 22,88 knm Schnittkräfte am Stab 2: im Knoten 2: M T,2,u = M T,0,2,u + M T,1,2,u X 1 = ( 27,123) = 0 M y,2,u = M y,0,2,u + M y,1,2,u X 1 = ( 125) + ( 5,0) ( 27,123) = 10,61 knm Q z,2,u = Q z,0,2,u + Q z,1,2,u X 1 = ,0 ( 27,123) = 22,88 knm im Knoten n: M T,n = M T,0,n + M T,1,n X 1 = ( 27,123) = 0 M y,n = M y,0,n + M y,1,n X 1 = ( 31,25) + ( 2,5) ( 27,123) = 36,56 knm Q z,n = Q z,0,n + Q z,1,n X 1 = ,0 ( 27,123) = 2,12 kn im Knoten i: M T,i = M T,0,i + M T,1,i X 1 = ( 27,123) = 0 M y,i = M y,0,i + M y,1,i X 1 = ( 27,123) = 0 Q z,i = Q z,0,i + Q z,1,i X 1 = 0 + 1,0 ( 27,123) = 27,12 kn Schnittkräfte am Stab 3: im Knoten 3: N 3 = N 0,3 + N 1,3 X 1 = 0 + 1,0 ( 27,123) = 27,12 kn im Knoten i: N i = N 0,i + N 1,i X 1 = 0 + 1,0 ( 27,123) = 27,12 kn Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 29

34 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung M y,max im Stab 2: Das maximale Moment M y,max tritt dort auf, wo die dazugehörige Querkraft Q z null ist! 27,12 [Q z ] 2 i +22,88 x maxm z Abbildung 2.22: Querkraft Q z am Stab 2 22,88+27,12 5 = 22,88 x maxm = x maxm = 22,88 5,0 22,88+27,12 = 2,29 m oder über die Beziehung von Querkraft Q und Belastung q: = x maxm = Q z,2,u q = 22,88 10 = 2,29 m M y,0 Q z,0 q = 10 kn /m N 0 i z x Abbildung 2.23: Skizze zur Berechnung von M y,0,xmaxm M y,0,xmaxm = q x2 2 = x = L 2 x maxm M y,0,xmaxm = q (L 2 x maxm ) 2 2 = 10 (5,0 2,29)2 2 = 36,78 knm 30 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

35 2.6 Endgültige Schnittkräfte X 1 = 1 Q z,1 M y,1 N 1 i z x Abbildung 2.24: Skizze zur Berechnung von M y,1,xmaxm M y,1,xmaxm = X 1 x = x = L 2 x maxm M y,1,xmaxm = X 1 (L 2 x maxm ) = 1,0 (5,0 2,29) = 2,71 Das maximale Biegemoment M y,xmaxm an der Stelle x maxm am Stab 2 ergibt sich daher aus: M y,xmaxm = M y,0,xmaxm + M y,1,xmaxm X 1 M y,xmaxm = ( 36,78) + ( 2,71) ( 27,123) = 36,72 knm 2.6 Endgültige Schnittkräfte +8,49 [M T ] +8, Abbildung 2.25: Torsionsmoment M T Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 31

36 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung 85,14 +6,37 [M y ] +10,61 +36,72 0 Abbildung 2.26: Biegemoment M y +22,88 +22,88 27,12 [Q z ] 0 Abbildung 2.27: Querktaft Q z 0 [N] 0 27,12 27,12 Abbildung 2.28: Normalkraft N 32 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

37 2.7 Berechnung der Vertikalverschiebung i z des Knotens i 2.7 Berechnung der Vertikalverschiebung i z des Knotens i Um die Vertikalverschiebung des Knotens berechnen zu können, benötigt man ein System, welches eine vertikale Einzellast am Knoten i beinhaltet. Die daraus ermittelten Schnittgrößen müssen dann mit den reellen Schnittgrößen superpositioniert werden (Reduktionssatz). Der Reduktionssatz besagt, dass wenn man bereits die reellen Schnittgrößen am Gesamtsystem hat, kann man ein beliebig reduziertes, statisch bestimmtes System erstellen und deren Schnittgrößen mit jenen vom Gesamtsystem überlagern. Da bereits ein System berechnet ist, das 1-System, welches man benötigt, um die Vertikalverschiebung in i zu bekommen kann man ein nahezu ähnliches System verwenden, welches die gleichen Schnittgrößen liefert wie das 1-System, nur dass die Normalkraft im Stab 3 Null ist. 1 4,0 1 m δp = 1 z y 3,0 2 2 n i x 4,0 Abbildung 2.29: System zur Berechnung der Vertikalverschiebung in i δp u z = L 1 G I T [M T,1 M T ] + L 1 E I B 1 6 [M y,1,1 M y,1 + 4 M y,1,m M y,m + M y,1,2,o M y,2,o ] + L 2 E I B 1 6 [M y,1,2,u M y,2,u + 4 M y,1,n M y,n + M y,1,i M y,i ] δp u z = 4,0 8, [( 4,0) 8,49] + + δp u z = 0,00026 m 4,0 2, ,0 2, [( 7,0) ( 85,14) + 4 ( 5,0) ( 39,39) + ( 3,0) 6,37] [( 5,0) 10, ( 2,5) 36, ] u z = 0,3 mm Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 33

38 2 Beispiel: Vordach mit Abstützung Zur Kontrolle gibt es eine weitere Möglichkeit die Verschiebung in i zu berechnen, mithilfe einer Einzellast δp = 1 in Richtung der Stabachse des Stabes 3. δp = 1 i 3 3 Abbildung 2.30: System zur Berechnung der Vertikalverschiebung in i δp u z = L 3 E A 3 [N 1 N] δp u z = 2,0 2, [ (1,0) ( 27,12)] δp u z = 0,00026 m u z = 0,3 mm 34 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

39 3 Beispiel: Trägerrost 3,0 3 q ,0 q , ,0 Abbildung 3.1: Trägerrost Systemangaben: Alle Abmessungen: [m] Material: E = 2, kn/m 2, G = 8, kn/m 2 alle Stäbe: I T = 1, m 4, I B = 2, m 4 Gleichlast: q = 10 kn /m Gesucht: Ermittlung aller Auflagerkräfte sowie Berechnung und grafische Darstellung aller auftretenden Schnittgrößen zufolge der Gleichlast q. 35

40 3 Beispiel: Trägerrost 3.1 Einführen eines statisch bestimmten Grundsystems Bei diesem Beispiel handelt es sich eindeutig um einen Trägerrost (siehe Kapitel 1.2.2), da die Konstruktionselemente in einer Ebene liegen und die Belastung normal darauf wirkt. Allgemein betrachtet wäre das Beispiel 8-fach statisch unbestimmt. Wenn man dieses Beispiel genauer betrachtet kann man erkennen, dass dieses System sowie die Belastung symmetrisch sind und ein Symmetrielager eingefügt werden kann (siehe Kapitel 1.2.3). Daraus kann man ableiten, dass in diesem Punkt M T und Q z gleich null sind. M y ist in diesem Punkt nicht Null und muss im System berücksichtigt werden, daher bietet es sich an diese Unbekannte als X 1 = 1 anzusetzten. Dies gilt, wenn das lokale Koordinatensystem wie unten dargestellt angesetzt wird. Die Gabel, welche sich in Knoten 6 befindet ist einwertig, sie kann ausschließlich ein Torsionsmoment aufnehmen. Um ein statisch bestimmtes System kreieren zu können muss auch dieses Lager entfernt und stattdessen eine Unbekannte X 2 angesetzt werden. Die Wahl der Unbekannten X 1 und X 2 ist willkürlich, es muss nur darauf geachtet werden, dass das statisch bestimmte Grundsystem richtig gewählt wird und alle Freiheitsgrade berücksichtigt werden. X 1 = 1 i 2 y X 2 = z 1 y z y 1 z Abbildung 3.2: statisch bestimmtes Grundsystem Dieses System ist jetzt statisch bestimmt. Es sind nun die zwei Unbekannten X 1 und X 2 zu bestimmen. Die Kompatibilitätsbedingung für 2-fach statisch unbestimte Systeme lautet: d 10 d 11 d 12 + d 21 d 22 X 1 = 0 X 2 0 d 20 d 10 + d 11 X 1 + d 12 X 2 = 0 d 20 + d 21 X 1 + d 22 X 2 = 0 36 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

41 3.2 0-System System 2 i y 2 z y y z 1 z Abbildung 3.3: 0-System Berechnung der Auflagerkräfte am 0-System II q = 10 kn /m I M A,y,0 I M A,x,0 II A z,0 Abbildung 3.4: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte Fz = 0: MI I = 0: MII II = 0: A z,0 10 3,0 = 0 = A z,0 = 30 kn M A,y, ,0 3,0 = 0 = M A,y,0 = 90 knm M A,x, ,0 1,5 = 0 = M A,y,0 = 45 knm Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 37

42 3 Beispiel: Trägerrost Berechnung der Schnittgrößen am 0-System Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 1: M T,0 Q z,0 M y,0 y z M A,y,0 M A,x,0 A z,0 Abbildung 3.5: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 1 Schnittkräfte im Knoten 1: Mx = 0: M T,0,1 + M A,x,0 = 0 M T,0, = 0 = M T,0,1 = 45 knm My = 0: M y,0,1 M A,y,0 = 0 M y,0,1 ( 90) = 0 = M y,0,1 = 90 knm Fz = 0: Q z,0,1 A z,0 = 0 Q z,0,1 30 = 0 = Q z,0,1 = 30 kn 38 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

43 3.2 0-System Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,0,2,u + M A,x,0 = 0 M T,0,2,u + 45 = 0 = M T,0,2,u = 45 knm My = 0: M y,0,2,u M A,y,0 A z,0 3,0 = 0 M y,0,2,u ( 90) 30 3,0 = 0 = M y,0,2,u = 0 Fz = 0: Q z,0,2,u A z,0 = 0 Q z,0,2,u 30 = 0 = Q z,0,2,u = 30 kn Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 2: i y M y,0 M T,0 Q z,0 z Abbildung 3.6: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 2 Schnittkräfte im Knoten i: Mx = 0: M T,0,i + 0 = 0 = M T,0,i = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 39

44 3 Beispiel: Trägerrost My = 0: M y,0,i + 0 = 0 = M y,0,i = 0 Fz = 0: Q z,0,i + 0 = 0 = Q z,0,i = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,0,2,o + 0 = 0 = M T,0,2,o = 0 My = 0: M y,0,2,o + 0 = 0 = M y,0,2,o = 0 Fz = 0: Q z,0,2,o + 0 = 0 = Q z,0,2,o = 0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 5: q M T,o M y,0 Qz,0 y z 6 Abbildung 3.7: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 5 40 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

45 3.2 0-System Schnittkräfte im Knoten 6: Mx = 0: M T,0,6 + 0 = 0 = M T,0,6 = 0 My = 0: M y,0,6 + 0 = 0 = M y,0,6 = 0 Fz = 0: Q z,0,6 + 0 = 0 = Q z,0,6 = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,0,2,re + 0 = 0 = M T,0,2,re = 0 My = 0: M y,0,2,re + q x2 2 = 0 M y,0,2,re ,02 2 = 0 = M y,0,2,re = 45 knm Fz = 0: Q z,0,2,re q x = 0 Q z,0,2,re 10 3,0 = 0 = Q z,0,2,re = 30 kn Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 41

46 3 Beispiel: Trägerrost Darstellung der Schnittgrößen vom 0-System [M T,0 ] +45 Abbildung 3.8: Torsionsmoment M T,0 vom 0-System [M y,0 ] Abbildung 3.9: Biegemoment M y,0 vom 0-System [Q z,0 ] +30 Abbildung 3.10: Querktaft Q z,0 vom 0-System 42 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

47 3.3 1-System System X 1 = 1 2 i y 2 z y z y 1 z Abbildung 3.11: 1-System Berechnung der Auflagerkräfte am 1-System II X 1 = 1 I M A,x,1 M A,y,1 I II A z,1 Abbildung 3.12: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte Fz = 0: A z,1 + 0 = 0 = A z,1 = 0 MI I = 0: M A,y,1 + X 1 = 0 = M A,y,1 = 1,0 MII II = 0: M A,x,1 + 0 = 0 = M A,x,1 = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 43

48 3 Beispiel: Trägerrost Berechnung der Schnittgrößen am 1-System Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 1: M T,1 Q z,1 M y,1 y z M A,y,1 M A,x,1 A z,1 Abbildung 3.13: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 1 Schnittkräfte im Knoten 1: Mx = 0: M T,1,1 + 0 = 0 = M T,1,1 = 0 My = 0: M y,1,1 M A,y,1 = 0 M y,1,1 ( 1,0) = 0 = M y,1,1 = 1,0 Fz = 0: Q z,1,1 + 0 = 0 = Q z,1,1 = 0 44 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

49 3.3 1-System Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,1,2,u + 0 = 0 = M T,1,2,u = 0 My = 0: M y,1,2,u M A,y,1 = 0 M y,1,2,u ( 1,0) = 0 = M y,1,2,u = 1,0 Fz = 0: Q z,1,2,u + 0 = 0 = Q z,1,2,u = 0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 2: X 1 = 1 i y M y,1 M T,1 Q z,1 z Abbildung 3.14: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 2 Schnittkräfte im Knoten i: Mx = 0: M T,1,i + 0 = 0 = M T,1,i = 0 My = 0: M y,1,i + X 1 = 0 M y,1,i + 1,0 = 0 = M y,1,i = 1,0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 45

50 3 Beispiel: Trägerrost Fz = 0: Q z,1,i + 0 = 0 = Q z,1,i = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,1,2,o + 0 = 0 = M T,1,2,o = 0 My = 0: M y,1,2,o + X 1 = 0 M y,1,2,o + 1,0 = 0 = M y,1,2,o = 1,0 Fz = 0: Q z,1,2,o + 0 = 0 = Q z,1,2,o = 0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 5: M T,1 M y,1 Qz,1 y z 6 Abbildung 3.15: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 5 Schnittkräfte im Knoten 6: Mx = 0: M T,1,6 + 0 = 0 = M T,1,6 = 0 46 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

51 3.3 1-System My = 0: M y,1,6 + 0 = 0 = M y,1,6 = 0 Fz = 0: Q z,1,6 + 0 = 0 = Q z,1,6 = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,1,2,re + 0 = 0 = M T,1,2,re = 0 My = 0: M y,1,2,re + 0 = 0 = M y,1,2,re = 0 Fz = 0: Q z,1,2,re + 0 = 0 = Q z,1,2,re = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 47

52 3 Beispiel: Trägerrost Darstellung der Schnittgrößen vom 1-System [M T,1 ] Abbildung 3.16: Torsionsmoment M T,1 vom 1-System 1,0 [M y,1 ] 1,0 0 Abbildung 3.17: Biegemoment M y,1 vom 1-System [Q z,1 ] Abbildung 3.18: Querktaft Q z,1 vom 1-System 48 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

53 y z System System i 2 2 z y 5 6 X 2 = 1 1 y 1 z Abbildung 3.19: 2-System Berechnung der Auflagerkräfte am 2-System II X 2 = 1 I M A,x,2 M A,y,2 I II A z,2 Abbildung 3.20: Skizze zur Berechnung der Auflagerkräfte Fz = 0: A z,2 + 0 = 0 = A z,2 = 0 MI I = 0: M A,y,2 + X 2 = 0 = M A,y,2 = 1,0 MII II = 0: M A,x,2 + 0 = 0 = M A,x,2 = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 49

54 3 Beispiel: Trägerrost Berechnung der Schnittgrößen am 2-System Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 1: M T,2 M y,2 Q z,2 y z M A,y,2 M A,x,2 A z,2 Abbildung 3.21: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 1 Schnittkräfte im Knoten 1: Mx = 0: M T,2,1 + 0 = 0 = M T,2,1 = 0 My = 0: M y,2,1 M A,y,2 = 0 M y,2,1 ( 1,0) = 0 = M y,2,1 = 1,0 Fz = 0: Q z,2,1 + 0 = 0 = Q z,2,1 = 0 50 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

55 3.4 2-System Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,2,2,u + 0 = 0 = M T,2,2,u = 0 My = 0: M y,2,2,u M A,y,2 = 0 M y,2,2,u ( 1,0) = 0 = M y,2,2,u = 1,0 Fz = 0: Q z,2,2,u + 0 = 0 = Q z,2,2,u = 0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 2: i y M y,2 M T,2 Q z,2 z Abbildung 3.22: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 2 Schnittkräfte im Knoten i: Mx = 0: M T,2,i + 0 = 0 = M T,2,i = 0 My = 0: M y,2,i + 0 = 0 = M y,2,i = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 51

56 3 Beispiel: Trägerrost Fz = 0: Q z,2,i + 0 = 0 = Q z,2,i = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,2,2,o + 0 = 0 = M T,2,2,o = 0 My = 0: M y,2,2,o + 0 = 0 = M y,2,2,o = 0 Fz = 0: Q z,2,2,o + 0 = 0 = Q z,2,2,o = 0 Ermittlung der Schnittkräfte am Stab 5: M T,2 M y,2 Q z,2 y z 6 X 2 = 1 Abbildung 3.23: Skizze zur Berechnung der Schnittkräfte im Stab 5 Schnittkräfte im Knoten 6: Mx = 0: M T,2,6 + X 2 = 0 M T,2,6 + 1,0 = 0 = M T,2,6 = 1,0 52 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

57 3.4 2-System My = 0: M y,2,6 + 0 = 0 = M y,2,6 = 0 Fz = 0: Q z,2,6 + 0 = 0 = Q z,2,6 = 0 Schnittkräfte im Knoten 2: Mx = 0: M T,2,2,re + X 2 = 0 M T,2,2,re + 1,0 = 0 = M T,2,2,re = 1,0 My = 0: M y,2,2,re + 0 = 0 = M y,2,2,re = 0 Fz = 0: Q z,2,2,re + 0 = 0 = Q z,2,2,re = 0 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 53

58 3 Beispiel: Trägerrost Darstellung der Schnittgrößen vom 2-System 0 1,0 1,0 [M T,2 ] 0 Abbildung 3.24: Torsionsmoment M T,2 vom 2-System 1,0 [M y,2 ] 1,0 0 0 Abbildung 3.25: Biegemoment M y vom 2-System [Q z,2 ] Abbildung 3.26: Querktaft Q z,2 vom 2-System 54 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

59 3.5 Überlagerung der Schnittgrößen 3.5 Überlagerung der Schnittgrößen d 10 = 3,0 E I B [ 1 2 ( 1,0) ( 90)] d 10 = 0, d 11 = 3,0 E I B [( 1,0) ( 1,0)] + 1,5 E I B [( 1,0) ( 1,0)] d 11 = 0, d 20 = 3,0 E I B [ 1 2 ( 1,0) ( 90)] d 20 = 0, d 12 = d 21 = 3,0 E I B [( 1,0) ( 1,0)] d 12 = 0, d 22 = 3,0 E I B [( 1,0) ( 1,0)] + 3,0 G I T d 22 = 0, [( 1,0) ( 1,0)] Einsetzen in die Kompatibilitätsbedingung d 10 + d 11 X 1 + d 12 X 2 = 0 X 1 = [d 12 X 2 +d 10 ] d 11 d 20 + d 21 [ d 12 X 2 +d 10 d 11 ] + d 22 X 2 = 0 = X 2 = 2,69 = X 1 = 28, Ermittlung der gesamten Schnittkräfte und der Auflagerkräfte Auflagerkräfte: M A,x = M A,x,0 + M A,x,1 X 1 + M A,x,2 X 2 = ( 45) + 0 X X 2 = 45,00 knm M A,y = M A,y,0 + M A,y,1 X 1 + M A,y,2 X 2 = ( 90) + ( 1,0) ( 28,21) + ( 1,0) ( 2,69) M A,y = 59,10 knm A z = A z,0 + A z,1 X 1 + A z,2 X 2 = X X 2 = 30,00 kn Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 55

60 3 Beispiel: Trägerrost Schnittkräfte im Stab 1: im Knoten 1: M T,1 = M T,0,1 + M T,1,1 X 1 + M T,2,1 X 2 = = 45,00 knm M y,1 = M y,0,1,1 + M y,1 X 1 + M y,2,1 X 2 = ( 90) + ( 1,0) ( 28,21) + ( 1,0) ( 2,69) M y,1 == 59,10 knm Q z,1 = Q z,0,1 + Q z,1,1 X 1 + Q z,2,1 X 2 = = 30,00 kn im Knoten 2: M T,2,u = M T,0,2,u + M T,1,2,u X 1 + M T,2,2,u X 2 = X X 1 = 45,00 knm M y,2,u = M y,0,2,u + M y,1,2,u X 1 + M y,2,2,u X 2 = 0 + ( 1,0) ( 28,21) + ( 1,0) ( 2,69) M y,2,u = 30,90 knm Q z,2,u = Q z,0,2,u + Q z,1,2,u X 1 + Q z,2,2,u X 2 = = 30,00 kn Schnittkräfte im Stab 2: im Knoten i: M T,i = M T,0,i + M T,1,i X 1 + M T,2,i X 2 = = 0 M y,i = M y,0,i + M y,1,i X 1 + M y,2,i X 2 = 0 + ( 1,0) ( 28,21) + 0 X 2 = 28,21 knm Q z,i = Q z,0,i + Q z,1,i X 1 + Q z,2,i X 2 = = 0 im Knoten 2: M T,2,o = M T,0,2,o + M T,1,2,o X 1 + M T,2,2,o X 2 = = 0 M y,2,o = M y,0,2,o + M y,1,2,o X 1 + M y,2,2,o X 2 = 0 + ( 1,0) ( 28,21) + 0 X 2 = 28,21 knm Q z,2,o = Q z,0,2,o + Q z,1,2,o X 1 + Q z,2,2,o X 2 = = 0 Schnittkräfte im Stab 5: im Knoten 6: M T,6 = M T,0,6 + M T,1,6 X 1 + M T,2,6 X 2 = X 1 + ( 1,0) ( 2,69) = 2,69 knm M y,6 = M y,0,6 + M y,1,6 X 1 + M y,2,6 X 2 = = 0 Q z,6 = Q z,0,6 + Q z,1,6 X 1 + Q z,2,6 X 2 = = 0 im Knoten 2: M T,2,re = M T,0,2,re + M T,1,2,re X 1 + M T,2,2,re X 2 = X 1 + ( 1,0) ( 2,69) = 2,69 knm M y,2,re = M y,0,2,re + M y,1,2,re X 1 + M y,2,2,re X 2 = ( 45) + 0 X X 2 = 45,00 knm Q z,2,re = Q z,0,2,re + Q z,1,2,re X 1 + Q z,2,2,re X 2 = = 30,00 kn 56 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

61 3.7 Endgültige Schnittkräfte 3.7 Endgültige Schnittkräfte 45,00 0 2,69 [M T ] +45,00 +2,69 +45,00 Abbildung 3.27: Torsionsmoment M T 59,10 45,00 45,00 +30,90 +28,21 [M y ] 59,10 +28,21 +30,90 Abbildung 3.28: Biegemoment M y Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode 57

62 3 Beispiel: Trägerrost 30,00 30,00 0 [Q z ] +30,00 +30,00 Abbildung 3.29: Querktaft Q z 58 Berechnung von Trägerrosten mittels Kraftgrößenmethode

63 Literaturverzeichnis [1] Institut für Baustatik, TU Graz. Skriptum Baustatik 1, [2] Institut für Baustatik, TU Graz. Formelblatt Baustatik 1,

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