ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018

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1 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018 KARLHEINZ GRÖCHENIG So wie Sport Training erfordert, erfordert Mathematik das selbständige Lösen von Übungsaufgaben. Das wesentliche an den Übungen ist das Selbermachen! Diese Zusammenstellung von Übungen beruht auf Übungssammlungen von Christoph Baxa, Leo Summerer und mehreren Lehrbüchern. Übungen für die Woche , zum Teil noch vor der ersten Vorlesung 1. Frau Müller erzählt ihrer Nachbarin, daß sie drei Töchter hat. Wie alt sind sie denn? fragt diese. Wenn ich ihre Alter multipliziere, dann kommt 36 heraus, und wenn ich ihre Alter addiere, ergibt sich die Hausnummer da drüben. Die Nachbarin antwortet: Schön, aber damit weiß ich noch nicht sicher, wie alt Ihre Töchter sind. Darauf entgegnet die Nachbarin: Stimmt, aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello. Darauf entgegnet die kluge Nachbarin: Danke, jetzt weiß ich Bescheid. Wie alt sind die Töchter? 2. Diskutieren, beweisen oder widerlegen Sie folgenden Aussagen: (i) Wenn n 3 gerade (ungerade) ist, dann ist auch n gerade (ungerade) (ii) Wenn 3 die ganze Zahl n teilt, dann teilt auch 4 die Zahl n. 3. Zeigen Sie, daß auf Z durch die Relation x y x y ist gerade eine Äquivalenzrelation definiert wird, daß aber durch keine solche definiert wird. x y x y 2 4. Ein Stammbruch ist ein Bruch der Form 1/n für n N. Beweisen oder widerlegen Sie: (i) Jeder Stammbruch kann als Summe von zwei Stammbrüchen dargestellt weden. (ii) Jede Summe zweier Stammbrüche ist (nach Kürzen) wieder ein Stammbruch. (iii) Jede positive rationale Zahl ist als Quotient zweier Stammbrüche darstellbar. (iv) Jeder Stammbruch ist als Produkt von zwei Stammbrüchen darstellbar. (v) Finden Sie sämtliche Möglichkeiten, die Zahl 1 als Summe von drei Stammbrüchen darzustellen. 1

2 2 KARLHEINZ GRÖCHENIG Übungen zum Stoff: Teilbarkeit, ggt,kgv, Primzahlen 5. (i) Zeigen Sie (a b) (a n b n ) für alle a, b Z und n N. (ii) Falls m n, dann gilt (a m b m ) (a n b n ) (mit a, b Z, m, n N) 6. Zeigen sie, wenn 3 n für n N, dann 3 (n ). 7. Zeigen Sie, daß man den Satz von der Division mit Rest so abändern kann, daß a = qb + r mit b/2 < r b/2. 8. Zeigen Sie oder widerlegen Sie für a, b N: (i) ggt (a, b a) = ggt(a, b), (ii) ggt (a b, a + b) = ggt(a, b), (iii) ggt(a 2, b 2 ) = (ggt(a, b)) Zahlen mit einer bestimmten Struktur haben oft einen gemeinsamen Teiler. Zeigen Sie (mit Induktion), daß 13 (4 2n n+2 ) für n N {0}. 10. Zeigen Sie, daß (i) 4 (5 n + 7). (ii) 6552 (n 13 n) für alle n N. Achtung: falsch! Wie könnte man dieses Beispiel korrigieren? (iii) n 2 (1 n + 2 n + + n n ) für alle n N. Ebenso falsch! 11. Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler (mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus). (i) ggt (7469, 2464) (ii) ggt (2689, 3997) (iii) ggt (4144, 7696) (iv) ggt (2947, 3997) 12. Finden Sie (mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus) ganze Zahlen x, y Z, sodaß (i) 243x + 198y = 9 (ii) 43x + 64y = 1 (iii) 93x 81y = 3 (iv) 71x 50y = 1 Was ist ggt (71, 50) und ggt (93, 81)? 13. Zeigen Sie ggt (2k + 1, 9k + 4) = 1 für alle k Z. 14. Bestimmen Sie (i) ggt (2024, 1332, 22). (ii) ggt (56049, 14601, 43803). 15. Beweisen Sie folgende ) Aussagen für a, b 1,... b k Z: (i) ggt (ggt (b 1, b 2 ), b 3 = ggt (b 1, b 2, b 3 ) (ii) ggt (a, b 1 b k ) = 1 gilt genau dann, wenn ggt (a, b j ) = 1 für j = 1,..., k). 16. Finden Sie (unter Benützung von 15(i)) eine ganzzahlige Lösung der folgenden Gleichungen: (i) 2024x y + 22z = ggt(2024, 1332, 22) mit x, y, z Z.

3 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS (ii) Ebenso für 21x + 15y + 35z = Zahlentheorie für eine Party: Sie besitzen zwei Eimer Wasser mit einem Fassungsvermögen von neun (= 9) Litern und vier (= 4) Litern. Können Sie aus dem nahegelegenen Schwimmbecken genau fünf Liter abführen? Ist es möglich, genau sechs Liter abzuführen? Welche Wassermengen sind möglich? 18. Zeigen Sie: (i) Sei n Z and d N der kleinste Teiler > 1 von n. Dann ist d eine Primzahl. (ii) Seien p 1,..., p n beliebige verschiedene Primzahlen. Dann gibt es stets eine Primzahl q mit q p j, j = 1,..., n. 19. Zeigen Sie folgende Behauptung: ( ) (i) Wenn p > 3 und sowohl p als auch p+2 Primzahlen sind, dann gilt 12 p+(p+2). (ii) Finden Sie alle Primzahldrillinge, d.h. p, p + 2, p + 4 sind Primzahlen. 20. Zeigen Sie, daß jede natürliche Zahl der Form n = 4k + 3 mit k N entweder eine Primzahl ist oder einen echten Teiler besitzt, der auch von dieser Gestalt ist. Schließen Sie daraus, analog zu Euklids Argument, daß es unendlich viele Primzahlen der Form 4k + 3 gibt. 21. Zeigen Sie, daß es unendlich viele Primzahlen der Form 3k + 2 (mit k N) gibt. 22. Sei p eine Primzahl, sodaß 2 p 1 auch eine Primzahl ist und setze n = 2 p 1 (2 p 1). Zeigen Sie, daß die Summe sämtlicher positiver Teiler von n genau 2n ist; formal d n d = 2n. 23. (i) Sei p eine Primzahl > 2. Zeigen Sie, daß 24 (p 3 p). (ii) Sei p eine Primzahl > 5. Zeigen Sie, daß 5 (p 4 1). (iii) Sei p eine Primzahl > 5. Zeigen Sie, daß 240 (p 4 1). 24. Seien n 1,..., n k N. Zeigen ) Sie: (i) kgv (kgv(n 1,..., n k 1 ), n k = kgv(n 1,..., n k 1, n k ). (ii) Seien n 1,..., n k N paarweise relativ prim. Dann gilt kgv(n 1,..., n k ) = n 1 n 2... n k. 25. Seien a, b, c, n N und ggt (a, b) = 1. Falls ab = c n, dann sind a und b ebenfalls n-te Potenzen. 26. Zeigen Sie, daß n N jedes Produkt von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen teilt. 27. Sei p n die n-te Primzahl (p 1 = 2, p 2 = 3,... ). Zeigen Sie, daß p n 2 2n 1 ist (mit Induktion). 28. Sei p(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ein Polynom n-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten a j Z. Zeigen Sie, daß eine Nullstelle X (also p(x) = 0) entweder ganzzahlig oder irrational ist.

4 4 KARLHEINZ GRÖCHENIG Zu Kongruenzen und Restklassen 29. Zeigen sie mit Hilfe von Kongruenzen die folgenden Aussagen aus früheren Übungen noch einmal: (i) Wenn 3 n für n N, dann 3 (n ). (ii) 13 (4 2n n+2 ) für n N {0}. (iii) 4 (5 n + 7). 30. Bestimmen Sie den Rest der folgenden Divisionen mit Hilfe von Kongruenzen: (i) ( ) : 11 (ii) ( ) : Beweisen oder widerlegen Sie: (i) a 2 b 2 mod m = a b mod m (ii) a b mod m = a 2 b 2 mod m 2 (iii) a b mod m = n a n b mod m. (iv) ac bc mod m = a b mod m. 32. Zeigen Sie folgende Teilbarkeitsregel für 13: a = k j=0 a j10 j ist durch 13 genau dann teilbar, wenn 13 k j=0 ( 3)j a j. (a j {0, 1,..., 9}). 33. Sei a, b Z und p eine Primzahl. Zeigen Sie, daß (a + b) p a p + b p mod p gilt. Vergleichen Sie mit dem binomischen Lehrsatz. 34. Sei n = b 0 + b b b k 3 k, b j {0, 1, 2}, die triadische Entwicklung von n N. Leiten Sie eine Regel für die Teilbarkeit durch 2, 7 und 9 ab. 35. Für welche a Z sind die folgenden linearen Kongruenzen lösbar? (i) 11x a mod 80 (ii) 12x a mod 16 (iii) 3x 5 mod a (iv) ax 11 mod Seien a 1,..., a n Z nicht alle null. Zeigen Sie, daß die diophantische Gleichung n j=1 a jx j = b genau dann lösbar ist, wenn ggt (a 1,..., a n ) b. 37. Sei p ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und d N, sodaß p(x) 0 mod d für d aufeinanderfolgende Werte von x. Zeigen Sie, daß dann p(x) 0 mod d für alle x Z gilt. 38. (i) Bestimmen Sie eine Zahl, die bei Division durch 2, 3, 6 und 12 die Reste 1, 2, 5 bzw. 5 lässt. (ii) Bestimmen Sie eine Zahl, die bei Division durch 10, 13 und 17 die Reste 3, 11 bzw. 15 lässt. 39. Lösen Sie die folgenden simultanen Kongruenzen: (i) x 1 mod 7, x 4 mod 9, x 3 mod 5 (ii) x 1 mod 20, x 9 mod 21, x 20 mod 23

5 ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS Finden Sie alle Lösungen mod des Systems 7x 8 mod 20, 5x 6 mod 21, 9x 13 mod (i) Untersuchen Sie das simultane Kongruenzsystem x a mod 8, 2x 2 mod 7, 3x 1 mod 10 auf Lösbarkeit. Für welche Werte von a {0, 1, 2,..., 7} ist das System lösbar und für welche nicht? (ii) Im Fall der Lösbarkeit finden Sie die Lösungen.