Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS)

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1 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 2008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (mit CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

2 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Prüfungsteilnehmer, die sich unter Leistungskursanforderungen prüfen lassen, bearbeiten zusätzlich Teil B. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen und zu bearbeiten. Von den Aufgaben B1, B2 und B3 ist eine auszuwählen und zu lösen. Bearbeitungszeit: Hilfsmittel: Hinweis: Sonstiges: Für die Bearbeitung der weiteren Aufgaben aus Teil A stehen 195 Minuten zur Verfügung. Die Bearbeitungszeit für den Teil B beträgt 60 Minuten. Zusätzlich werden 30 Minuten für die Aufgabenauswahl gewährt. Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner und das an der Schule zugelassene CAS, Zeichengeräte. Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten und rationellen Lösungen.

3 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 3 Prüfungsteil A0 (15 BE) Arbeitsblatt Name, Vorname: Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Rechenhilfsmitteln (Tafelwerk, Taschenrechner, CAS) zu bearbeiten. Nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten ist dieses Arbeitsblatt abzugeben. 1. Analysis 1.1 In der Abbildung ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dargestellt Kennzeichnen Sie die Teile des Graphen mit einer Rechtskrümmung farbig Wie bezeichnet man die Punkte in denen sich die Krümmung ändert? Nennen Sie für die Existenz dieser Punkte - eine notwendige Bedingung an der zugehörigen Stelle, - eine hinreichende Bedingung an der zugehörigen Stelle Eine Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f(x) = x + 4x; x R. Berechnen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und geben Sie die Art des Extremums an. 1.3 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Graphen der Funktionen 2 f(x) = 3x 3 und g(x) = x x vollständig einschließen.

4 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 4 Arbeitsblatt (Fortsetzung) 2. Analytischen Geometrie 2.1 Gegeben sind drei Eckpunkte eines Rechtecks ABCD mit A(2/1/3), B(-2/2/3) und C(-1/6/8). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. 2.2 Gegeben sind die Punkte A(3/0/3), B(-1/5/0), C(5/5/-3) und D(11/-10/9) Die drei Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Geben Sie für diese Ebene eine Gleichung an Begründen Sie, dass die drei Punkte A, B und D keine Ebene eindeutig festlegen. 2.3 Geben Sie die Gleichungen je zweier Geraden im Raum an: die zueinander parallel verlaufen, jedoch nicht identisch sind sich genau in einem Punkt schneiden und senkrecht zueinander verlaufen. 3. Aufgaben zur Stochastik 3.1 Eine Urne enthält 2 gelbe (g), 3 blaue (b) und 5 weiße (w) Kugeln. Aus dieser Urne werden nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen und jeweils ihre Farbe notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Alle Kugeln sind blau. B: Die gezogenen Kugeln haben drei verschiedene Farben. 3.2 Eine ideale Münze wird fünfmal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: Genau einmal Wappen. Begründen Sie, dass es sich um eine BERNOULLI-Kette handelt.

5 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 5 A1 Analysis (25 BE) 1.1 Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k(x) = x k x (1 k ) x, x R, k R. 3 Die zugehörige Kurvenschar in einem kartesischen Koordinatensystem ist G k Ein Graph der Schar hat in A(3 0) einen Tiefpunkt. Ermitteln Sie den zugehörenden Wert des Parameters k Berechnen Sie die lokalen Extremstellen und die Wendestelle der Graphen von f k in Abhängigkeit von k Geben Sie an, wie viele Nullstellen eine Funktion dieser Schar höchstens besitzen kann. Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl der Nullstellen der Funktionen der Schar in Abhängigkeit von k. 1.2 Im Folgenden wird die Funktion f 2 untersucht Die Punkte A(0 0), B u (u 0) und C u (u f 2 (u)) bilden für jedes u mit 0 < u < 3 (u R) ein Dreieck. Bestimmen Sie dasjenige u, sodass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird Der Graph G 2 und die x-achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. Bestimmen Sie diejenige Ursprungsgerade, welche diese Fläche halbiert.

6 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 6 A2 Analytische Geometrie (25 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und D( ) gegeben Erstellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ε, die von den Punkten A, B und C gebildet wird. Weisen Sie nach, dass der Punkt D zur Ebene ε gehört. Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm bilden. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. 2.2 Gegeben ist ein weiterer Punkt E ( ). Er bildet zusammen mit dem Punkt A die Kante AE des Prismas ABCDEFGH. Geben Sie die Koordinaten der Punkte F, G und H an. Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Kante AE nicht senkrecht auf der Grundfläche ABCD des Prismas steht. Berechnen Sie den Abstand des Punktes E von der Ebene ε. Berechnen Sie das Volumen des Prismas. 2.3 Ein Lichtstrahl L 1 verläuft durch die Punkte E und C. 1 Ein zweiter Lichtstrahl L 2 geht durch Punkt A in Richtung des Vektors 1. 1 Die Lichtstrahlen L 1 und L 2 werden von einer gemeinsamen Lichtquelle Q ausgestrahlt. Berechnen Sie die Koordinaten von Q. Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Lichtstrahlen einschließen.

7 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 7 A3 Analysis und Stochastik (25 BE) 3.1 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit 1 3 a+ 1 2 a fa( x) = x x + x, x R, a R, a > 1. a 1 a 1 a 1 Der zu f a gehörige Graph ist G a Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte und des Wendepunktes von G 3 an. Stellen Sie den Graphen G 3 in einem geeigneten Intervall dar. Ermitteln Sie die Bogenlänge des Graphen G 3 in dem Intervall, das von der kleinsten bis zur größten Nullstelle bestimmt wird Jeder Graph G a und die x-achse schließen zwei Teilflächen vollständig ein. Geben Sie den Flächeninhalt der oberhalb der x-achse liegenden Teilfläche in Abhängigkeit von a an. Es gibt genau einen Wert von a, für den der Inhalt der unterhalb der x-achse liegenden Teilfläche genau 4-mal so groß ist wie der Inhalt der oberhalb der x-achse liegenden Teilfläche. Berechnen Sie diesen Wert von a. Untersuchen Sie, wie sich der Flächeninhalt der oberhalb der x-achse liegenden Teilfläche in Abhängigkeit vom Parameter a verändert. 3.2 Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsvariable X. Die Zufallsvariable X besitzt die Parameter p = 0,2 und n = Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit B 6 ; 0,2 (3). Formulieren Sie einen praktischen Sachverhalt, für den die Berechnung der Wahrscheinlichkeit B 6 ; 0,2 (3) zutreffen könnte Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsvariable X Berechnen Sie nun alle noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten B 6 ; 0,2 (k) für 0 k 6 (k N) und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar.

8 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 8 B1 Analysis (20 BE) 1.1 Gegeben ist die Funktionenschar f t mit = x 2x f(x) t e e, x R, t R, t> 0. t Die zugehörige Kurvenschar in einem kartesischen Koordinatensystem ist G t Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, der lokalen Extrempunkte und der Wendepunkte von G t Die Abszissenachse, die Gerade x = k mit k < ln t und die Graphen G t begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. Untersuchen Sie, wie sich die Fläche verhält, wenn die Gerade immer weiter nach links geschoben wird. Es gibt genau 2 Funktionen der Schar, bei denen die Ordinatenachse diese Fläche halbiert. Geben Sie ihre Scharparameter an. 1.2 Im Folgenden wird die Funktion f 4 untersucht Die Punkte A u (u 0), B u (u f 4 (u)) und C(0 f 4 (0)) und D(0 0) bilden für jedes u mit 0 < u < ln 4 ein Trapez. Bestimmen Sie dasjenige u, sodass das Trapez zu einem Rechteck wird Diese Trapeze rotieren um die x-achse. Dabei entsteht im Allgemeinen ein Kegelstumpf. Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens dieser Kegelstümpfe an. Bestimmen Sie dasjenige u, so dass der Kegelstumpf ein maximales Volumen hat. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.

9 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 9 B2 Analytische Geometrie (20 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem ist das ebene Viereck ABCD gegeben. Die Punkte haben folgende Koordinaten: A(8 2 0), B(2 6 0), C(1 1 3), D(4 1 3). 2.1 Die Ebene ε verläuft durch die Punkte A, B, C und D. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene ε. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene ε gegenüber der xy-ebene. 2.2 Überprüfen Sie, ob die vier Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Trapezes sind. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. 2.3 Die Punkte A, B, C und D markieren die Ecken einer spiegelnden Fläche. Im Punkt Q( ) befindet sich eine Lichtquelle, die einen Strahl λ mit der Richtung 5 r p = 0,5 11 aussendet. Dieser Strahl λ trifft auf die Spiegelfläche und wird dort reflektiert. Der reflektierte Strahl heißt r. λ r Dabei gilt das Reflexionsgesetz: Der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot ist stets genau so groß, wie der Winkel zwischen reflektiertem Strahl und Lot. Die beiden Lichtstrahlen und das Lot liegen in einer gemeinsamen Ebene Der Lichtstrahl trifft im Punkt S auf die Spiegelfläche. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S Der reflektierte Strahl r liegt auf einer Geraden g. Erläutern Sie die Arbeitsschritte zur Ermittlung einer Geradengleichung von g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g.

10 Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 10 B 3 Analysis/Stochastik (20 BE) 3.1 Um die Güte eines Balles zu testen, wird dieser aus einer Höhe von 3 m senkrecht fallen gelassen. Sein Sprungverhalten wird beobachtet, indem man nach jedem Aufprall die erreichte Höhe misst. Die Messwerte sind in folgender Tabelle gegeben. Nr. x Höhe y in m 3,00 2,25 1,65 1,28 0,90 0,75 0,52 0,37 0, Bestimmen Sie die Gleichungen der Regressionsfunktionen h 1 bis h 4. h 1 : h 2 : h 3 : Exponentielle Regressionsfunktion Quadratische Regressionsfunktion Lineare Regressionsfunktion h 4 : Regressionsfunktion der Form y b = a x (Powerregression) Beurteilen Sie die Brauchbarkeit der Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Widerspiegelung der tatsächlich gemessenen Werte und des zu erwartenden weiteren Sprungverhalten des Balles. 3.2 Ein Hersteller von Bällen gibt an, dass die Bälle mit einem Ausschussanteil von 5 % produziert werden. Die Bälle werden in Großpackungen zu je 80 Stück verpackt. Bei einer Qualitätskontrolle wird eine Großpackung geöffnet und alle darin befindlichen Bälle werden überprüft. Es wird die Anzahl der fehlerhaften Bälle ermittelt Begründen Sie, dass dieser Vorgang als eine Bernoulli-Kette mit den Parametern n und p interpretiert werden kann Geben Sie die Anzahl der fehlerhaften Bälle an, die man bei der Prüfung erwarten kann Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse : A: eine Großpackung enthält genau 5 fehlerhafte Bälle, B: eine Großpackung enthält mindestens 5 fehlerhafte Bälle Bei einer Tagesproduktion tritt durch einen Maschinenfehler ein erhöhter Ausschussanteil von 20 % auf. Ein Großauftrag, der betroffen sein könnte, wird daher kurz vor der Auslieferung überprüft. Dazu werden wiederum alle in einer Großpackung befindlichen Bälle getestet. Ziel ist es, den Großauftrag nur dann zur Auslieferung freizugeben, wenn mit mindestens 99%iger Gewissheit der Großauftrag die Bälle mit dem erhöhten Fehleranteil von 20 % nicht enthält. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel und begründen Sie diese rechnerisch.

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