[ i t L. d x t dt. =A x t B U DD. Entwicklung eines Simulators für die digitale Regelung von Schaltnetzteilen. D. Kohlert OTH Regensburg.

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1 Entwicklung eines Simulators für die digitale Regelung v Schaltnetzteilen Abstract D. Kohlert OTH Regensburg Die hocheffiziente Spannungswandlung ist ein Kernthema im Bereich der Energieeffizienz. Netzteile, Solarumrichter, adegeräte usw. stellen Beispiele für Einsatzbereiche dar. Die Regelung derartiger Systeme wird immer häufiger anstelle klassischer analoger ösungen digital mit Hilfe geeigneter Microctroller realisiert. Für die Entwicklung solcher Regelungen wurde ein Simulatisprogramm erstellt, das die Wandlerschaltung simultan mit dem C-Code des Microctrollers simuliert. Der so erstellte Regler-Code wurde mit einem Hardwareaufbau mit dem ARM-basierten Microctroller INFINEON XMC 45 getestet. Einführung Die Microctroller-basierte Regelung v Spannungswandlerschaltungen mit geschalteten Induktivitäten weist eine hohe Flexibilität und einen sehr guten Wirkungsgrad auf. Die Entwicklung derartiger Regelungen stellt eine Synthese aus analoger Schaltungstechnik, klassischer analoger Regelungstechnik, digitaler Regelungstechnik und Signalverarbeitung sowie Software-Entwicklung dar. Diese Komplexität erfordert Simulatiswerkzeuge, die sch im Entwurfsstadium das Zusammenspiel der verschiedenen Kompenten verifizieren können. 2. Theoretische Grundlagen 2. Zustandsraumdarstellung des Schaltreglers Um eine möglichst universale Simulati zu schaffen, wird im eigentlichen Simulatisalgorithmus mit der Zustandsraumdarstellung gearbeitet. Unterschiedliche Wandlertopologien lassen sich dann einfach durch eine Änderung der Zustandsmatrizen und -Vektoren realisieren. Die Zustandsraumdarstellung setzt sich aus der Zustands- und der Ausgangsgleichung zusammen: Zustandsgleichung: d t dt Ausgangsgleichung: A t B U DD u 2 t C t D u t () (2) Für einen Schaltregler mit zwei Energiespeichern (Induktivität und Glättungskdensator) ergibt sich damit ein zweidimensialer Zustandsvektor: x [ i t (3) u C t 2. Ermittlung der Zustandsmatrizen und -Vektoren Für das zu untersuchende Netzwerk werden die Netzwerkgleichungen (Knoten- und Maschengleichungen, evtl. Trafo-Gleichung) aufgestellt. Der Zustandsvektor setzt sich aus den Strömen in den Induktivitäten und den Spannungen an den Kapazitäten zusammen. Anschliessend werden alle nicht benötigten Variablen eliminiert und das Gleichungssystem nach den Ableitungen der Zustandsvariablen und der Ausgangsspannung aufgelöst. Die Koeffizienten der Zustandsvariablen ergeben die Zustandsmatrix, die Koeffizienten der Eingangsspannung liefern den Anregungsvektor. Der Ausgangsvektor wird aus den Koeffizienten der Ausgangsspannung gewnen. Zustandsmatrix, Anregungsvektor und Ausgangsvektor müssen sowohl für den On-Zustand des Schalttransistors als auch für den Off-Zustand ermittelt werden. Über das Verfahren der Mittelung der Zustandsmatrizen // können damit sowohl das DC-Verhalten U A /U DD als auch die komplexe Übertragungsfunkti u A /d (d: Tastverhältnis) berechnet werden. Zur Automatisierung der genannten Operatien wurden Skripte für das CAS-System "Maxima" erstellt, die die benötigten Matrizen und Vektoren unmittelbar aus den Netzwerkgleichungen erzeugen. Als Beispiel für einen Schaltregler wird ein Hochsetzsteller verwendet (Schaltung Abb. ), die Ermittlung der beschreibenden Größen wird in Abb. bis 3 und in Gl. 4 bis 7 dargestellt. U GS U I M Abbildung : Hochsetzsteller D R S C U aus U DD

2 U DD Größen für leitenden FET : [ A B R C U DD Größen für sperrenden FET : [ A 2 B 2 C R C DC-Verhalten des Wandlers: U DD D Kleinsignalübertragungsfunkti, berechnet nach //: I D I U < U C U > [ C [ U aus Abbildung 3: Ersatzschaltung des Hochsetzstellers sperrender FET C U C Abbildung 2: Ersatzschaltung des Hochsetzstellers eingeschalteter FET (4) (5) (6) (7) 3. Realisierung des Simulators 3. Simulatisalgorithmus Die Simulati wird im Zeitbereich durchgeführt, das heisst, die AC-Übertragungsfunkti wird dafür nicht benötigt. Ebenso werden die Zustandsmatrizen nicht gemittelt, sdern entsprechend dem Tastverhältnis abwechselnd berechnet. Da die Taktfrequenzen sehr hoch gegenüber den R [ C 2 [ T p s u s Aus V s DD R D x d s C s 2 s RC R D 2 x C mit D 2 D x I C C R U aus 2 Zeitkstanten der passiven Bauelemente sind, wird statt mit den differentiellen Größen aus Gl. mit endlichen Deltas gerechnet: t t A t B U DD (8) Damit kann die Änderung des Zustandsvektors in einer Zeit DT folgendermaßen berechnet werden: t t A x t BU DD (9) Zunächst werden als Anfangsbedingung leere Energiespeicher angenommen, d. h. x() x(). Anschliessend wird die Änderung des Zustandsvektors in der On-Phase des FET berechnet, hier kommen demnach die Zustandsmatrizen und -Vektoren für diese Phase zum Einsatz. Die berechnete Änderung wird mit der Dauer der On- Phase multipliziert und auf den Zustandsvektor aufaddiert. Falls sich ein negativer Strom durch die Induktivität eregeben sollte, was während der Einschwingphase passieren kann, wird der Strom auf gesetzt, da ein negativer Strom hier nicht möglich Off-Phase On-Phase Init [ [ D T per A t B limit [ C D T per A 2 t B 2 limit [ C 2 max. Sim.Time? n y ready Abbildung 4: Flussdiagramm des Simulatisalgorithmus time +T per ist. Aus dem so berechneten Zustandsvektor wird nach Gl. 2 die Ausgangsspannung berechnet. Die Off-Phase wird in gleicher Weise berechnet. Der

3 ückbetrieb ist bei diesem Algorithmus nicht berücksichtigt, da dieser eine zusätzliche Phase erfordern würde. Abb. 4 zeigt das Flussdiagramm des Algorithmus (D: Tastverhältnis, T Per : Periodendauer). Der Vergleich mit SPICE-Simulatien zeigt perfekte Übereinstimmung, woraus geschlossen werden kann, dass die getrenen Annahmen korrekt sind. SPICE-Simulatien benötigen allerdings um Größenordnungen höhere Rechenzeiten und erlauben keine Cosimulati mit dem Regler-Code. In Abb. 5 ist das Ergebnis einer Simulati zu sehen, die unterschiedlichen Flankensteilheiten der ow- High- und der High-ow-Übergängen zeigen deutlich die nichtlineare Charakteristik des Reglers, die auch in der Abhängigkeit der Übertragungsfunkti (Gl. 7) vom Arbeitspunkt D X zum Ausdruck kommt. Abbildung 5: Simulati Sprungverhalten 3.2 Simulati der Übertragungsfunkti Das bisher skizzierte Verfahren erlaubt naturgemäß nur die Simulati des zeitlichen Verhaltens der Schaltung. Für die Dimensiierung des Reglers muss aber das frequenzabhängige Verhalten der Übertragungsfunkti der Regelstrecke bekannt sein. Dies wurde dadurch realisiert, dass in der Simulati der Regelstrecke das Tastverhältnis sinusförmig moduliert wird und Phasenverschiebung und Amplitude der Maxima-Berechnung f Zeitsimulati für jede benötigte Frequenz und über den benötigten Zeitraum wiederholt werden. Zusätzlich ist darauf zu achten, dass Daten für die FFT erst dann bereitgestellt werden, wenn der Einschwingvorgang soweit abgeklungen ist, dass sich auch wirklich sinusförmige Signale ergeben. Gleiches gilt für die Modulatisamplituden. Für 28 Frequenzpunkte sind demnach insgesamt 33,6 Millien Matrixoperatien nötig, wobei für jeden einzelnen Frequenzpunkt zunächst 5 Taktperioden gerechnet werden müssen, bevor sich ein ausreichend sinusförmiges Signal ergibt. Dennoch beträgt die Rechenzeit nur 3,6 sec auf einem 2*3,3GHz Intel-Core I5-Rechner. Dies zeigt die eistungsfähigkeit der reinen C-Implementati. Die Simulati des Frequenzgangs aus der Zeitsimulati ergibt eine sehr gute Übereinstimmung mit dem theoretischen Verlauf nach Gl. 7, wie in Abb. 6 zu erkennen ist. Die Abweichung bei höheren Frequenzen in Abb. 6 ist nicht auf Ungenauigkeiten in der Simulati zurückzuführen, sdern auf die Tatsache, dass Gl. 7 eine ktinuierliche Übertragungsfunkti darstellt, die das zeitdiskrete Verhalten des Schaltreglers nicht berücksichtigt und daher nur bei Frequenzen weit unterhalb der PWM-Frequenz eine brauchbare Näherung darstellt. Insofern liefert die Simulati sogar die realistischeren Aussagen. In der Umgebung der Resanzfrequenz, die für die Reglerdimensiierung maßgeblich ist, ergibt sich jedoch eine perfekte Übereinstimmung, so dass die Reglerdimensiierung einfacher mithilfe der ktinuierlichen Übertragungsfunkti durchgeführt werden kann. Die Simulati liefert hier eine wertvolle Ktrolle, inwieweit die niederfrequente Näherung gültig ist. 4. Reglerdimensiierung 4. Ermittlung der Reglerparameter Die Reglerparameter werden mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens in einer TSPICE- Simulati dimensiiert. vtarg VDD streck err reg_prop reg_diff reg_int reg E2 Regler B B2 B3 B4 4 3 AC C-Simulati Abbildung 6: Vergleich Amplitudenfrequenzgang Theoretische Übertragungsfunkti/Simulati Ausgangsspannung mit Hilfe eine schnellen Fouriertransformati aus den Simulatisdaten errechnet werden. Offensichtlich muss dann die 3 reg Strecke E streck Abbildung 7: ineares Simulatismodell zur Reglerdimensiierung R k Zur Ermittlung der Reglerparameter wird die Übertragungsfunkti (Gl. 7) als "Arbitrary

4 Behavioural Voltage Source" realisiert (Abb. 7). Drei weitere "Behavioural Sources" werden als separat einstellbare P-, I- und D- Glieder eingebaut (Ab. 5). Damit lassen sich in übersichtlicher Weise die P-, I- und D-Koeffizienten so einstellen, dass sich eine brauchbare Phasenreserve ergibt. Für die Testschaltung wurde ein Aufbau verwendet, der in einem Masterprojekt erstellt wurde /4/. Die komplexe Übertragungsfunkti (Gl. 7) wurde mit den in diesem Aufbau verwendeten Bauelementwerten berechnet und der Regler damit dimensiiert. Nachfolgende Zeitbereichssimulatien unter Verwendung des in dieser Arbeit beschriebenen Simulators haben gezeigt, dass es ungünstig ist, einen echten D-Anteil zu verwenden, da dieser das Quantisierungsrauschen des AD- Wandlers als Störsignal zu stark verstärkt. Anstelle des D-Anteils wurde daher ein Hochpass. Ordnung verwendet, der in der Umgebung der Wandlerresanz das gleiche Amplituden- und Phasenverhalten wie das D-Glied aufweist, dessen Verstärkung aber bei einer Frequenz, bei der sich eine Schleifenverstärkung < db ergibt, auf einen kstanten Wert übergeht. Die Phasenkorrektur durch das D-Glied wird dann nicht mehr benötigt. Abb. 8 zeigt die resultierenden Kennlinien, es ergibt sich eine Phasenreserve v ca. o. 6dB 5dB 4dB 3dB 2dB db db -db -2dB -3dB -4dB -5dB 6dB 5dB 4dB 3dB 2dB db db -db -2dB -3dB -4dB -5dB Regler Betrag Schleifenverstärkung Betrag Schleifenverstärkung Phase Regler Phase Strecke Betrag Strecke Phase mhz Hz Hz Hz KHz KHz KHz Abbildung 8: Frequenzgangkennlinien aus analoger Dimensiierung Diese Vorgehensweise ist strenggenommen nur für einen Arbeitspunkt des Tastverhältnisses gültig. Experimentell hat sich jedoch gezeigt, dass der Regler über einen breiten Arbeitspunktbereich stabil arbeitet, sogar der lückende Betrieb arbeitet ohne Instabilität. 4.2 Übergang analoger Regler digitaler Regler Moderne Regler werden aufgrund der höheren Flexibilität und besseren Parameterstabilität meist auf der Basis v Microctrollern realisiert. Hier kommt der Ctroller XMC 45 v Infine zum Einsatz, der aufgrund seiner Taktfrequenz v 2MHz, der Verfügbarkeit mehrerer DA- und AD- Wandler, zahlreicher PWM-Einheiten und einer Floating-Point-Einheit für diese Aufgabe geeignet ist. Die Floating-Point-Realisierung des Regelalgorithmus vermeidet die bekannten Overflow-Probleme, die bei einer Festkomma- Realisierung auftreten können. Dies betrifft besders die Einschwingvorgänge nach dem Start des Regelvorgangs, die bei einer Festkomma- Realisierung auf der Basis v Integer-Variablen zu Dauerschwingungen führen können. Die Vorgabe des Sollwertes und die Bildung der Regeldifferenz können ohne zusätzliche Hardware im C-Code des Ctroller-Programms implementiert werden. Der Übergang vom in Abschnitt 4. dimensiierten ktinuierlichen Regler geschieht über die Bildung der Differenzengleichungen. Der P-Anteil bleibt eine Multiplikati der Fehlerspannung mit dem P-Koeffizienten, der I- Anteil geht in eine Summati und Multiplikati mit dem I-Koeffizienten über, für den D-Anteil muss der geeignete Hochpass in eine Differenzengleichung umgerechnet werden. Für den Integrator ergibt sich damit (f A : Ausgangsgröße, f E Eingangsgröße, T S : Abtastzeit): f A2 f A f E2 T s () Differenzengleichung für den Hochpass: f A2 f E2 f E f A mit () 2 f g T s Die Verwendung eines disktinuierlichen Reglers auf Basis der Differenzengleichungen anstelle eines ktinuierlichen analogen Reglers bewirkt eine Abweichung vom analogen Verhalten, die um so stärker wird, je näher sich die Frequenz der Taktfrequenz des Reglers annähert. Es ist daher eine rechnerische Überprüfung mit Hilfe der z- Transformati nötig. Die z-transformierten v I- Glied (Gl. ) und Hochpass (Gl., anstelle des D- Glieds ) lauten: f a z f e z T S z (2) f a z f e z z z (3) Abb. 9 zeigt den Vergleich v ktinierlichem und z-transformierten diskreten Hochpass, die Abweichung in dem für die Regelung relevanten Frequenzbereich ist vernachlässigbar, gleiches gilt für das I-Glied.

5 Betrag Phas e in grd 4.3 Cosimulati Schaltregler PID-Regler Der PID-Regler wird realisiert, indem in jeder Taktperiode die Differenzengleichungen des Reglers berechnet werden. Als Eingangsgröße dient die Off-Phase On-Phase PID Init Abbildung 9: Frequenzgang v ktinuierlichem (rot) und diskreten Hochpass (blau) [ [ D f x, V soll D T per A t B limit [ C D T per A 2 t B 2 limit [ C 2 f f time + T per Schaltreglersimulati übergeben. Zusätzlich zur Realisierung der Differenzengleichungen ist es nötig, die Werte der P-, I- und D-Anteile zu begrenzen, um insbesdere beim Einschwingen des Reglers nach dem Einschalten dauerhafte nichtlineare Schwingungen aufgrund v Übersteuerungseffekten zu vermeiden. Im Gegensatz zur Berechnung des Reglerverhaltens mit dem linearen Modell können diese nichtlinearen Effekte, ebenso wie die nichtlineare Natur der Übertragungsfunkti, im Simulator mit berücksichtigt werden. Effekte, die auf der begrenzten Wortlänge des AD-Wandlers beruhen (2 Bit bei XMC45), werden ebenfalls mit einbezogen. Abb. zeigt den um den Regler ergänzten Algorithmus, Abb. die simulierte Reakti der Ausgangsspannung auf einen Sollwertsprung v 4V auf 35V und wieder zurück. Die unterschiedlichen Kurvenformen der Einschwingvorgänge verdeutlichen die nichtlineare Natur der Übertragungsfunkti Sollwert Ausgangsspannung Abbildung : Reakti der geregelten Strecke auf einen Sollwertsprung 5. Hardware-Untersuchungen 5. Messung des Frequenzgangs der Regelstrecke Zusätzlich zur Berechnung der Frequenzgänge ist es sinnvoll, diese auch zu messen. Die Vorgehensweise ist analog zur Vorgehensweise der Gewinnung der Übertragungsfunkti aus der Zeitbereichssimulati. Für einen Schaltregler heisst das, dass das Tastverhältnis sinusförmig mit einstellbarer Frequenz und Amplitude moduliert werden muss. Zu diesem Zweck wurde eine XMC455- Applikati erstellt, die ein Rechtecksignal mit einem derartig modulierten Tastverhältnis erzeugen kann. max. Sim.Time? n y ready Abbildung : Ergänzter Algorithmus Strecke + Regler Fehlerspannung, die aus dem Sollwert und dem Ausgangswert der Schaltreglersimulati ermittelt wird. Daraus wird ein neuer Wert des Tastverhältnisses berechnet und an die 5 Abbildung 2: Benutzeroberfläche zur Frequenzgangmessung des Hochsetzstellers Um die Phasenverschiebung auf einem Oszilloskop messen zu können, wird zusätzlich ein Sinussignal

6 mit einem Momentanwert entsprechend dem momentanen Tastverhältnis der PWM-Signales über einen der DA-Wandler des Ctrollers generiert. Damit kann aus der Amplitude und der Phasenverschiebung des Ausgangssignals des Hochsetzstellers die Übertragungsfunkti als Verhältnis der Kleinsignalanteile v Ausgangsspannung und Tastverhältnis ermittelt werden. Die Taktfrequenz bei der Messung beträgt khz, entsprechend stehen für die Berechnung eines neuen Tastverhältnis-Wertes µs zur Verfügung. Da diese Zeit für die Berechnung einer Sinufsunkti nicht ausreicht, wird vor dem Start der Messung bei Programmstart eine Sinustabelle berechnet. Während der Messung werden dann nur jeweils die entsprechenden Werte aus der Tabelle geholt und an PWM-Einheit und DA-Wandler übergeben. Für eine komfortable Messung wurde eine graphische Benutzerschnittstelle (Abb. 2) erstellt, sie kommuniziert über die RS232- Schnittstelle mit dem Microctroller. Bei der Messung ist darauf zu achten, dass die Modulatisamplitude klein genug bleibt, um ein sinusförmiges Ausgangssignal des Hochsetzstellers zu erhalten. Die Ergebnisse der Messung (Abb. 3) stimmen sehr gut mit dem theoretischen Verlauf überein, demzufolge kann erwartet werden, dass der so dimensiierte Regler auch in der realen Hardware das simulierte Verhalten zeigt Strecke Betrag/dB Strecke Phase in in Grad Abbildung3: Gemessenes Bodediagramm der Regelstrecke Das Verfahren zur Messung des Frequenzgangs kann auch zur Dimensiierung des Reglers verwendet werden, wenn Elemente mit unbekanntem dynamischem Verhalten im Regelkreis vorhanden sind, z. B. Akkus. 5.2 Realisierte Testschaltung Als Testhardware wurde eine Hochsetzstellerschaltung entsprechend Bild verwendet. Für die Testschaltung wird eine Eingangsspannung v 2V verwendet, die Reglerparameter wurden auf eine Ausgangsspannung v 4V ausgelegt. Über eine elektrische ast können verschiedene f (Hz) 6 astwiderstände realisiert werden, die Schaltung verkraftet thermisch astströme bis zu 2A, die ückgrenze liegt bei ca.,a. Der Aufbau der Testschaltung war unter anderem Inhalt eines Masterprojekts /4/. Die Microctroller-Regelung wurde auf einem Infine Relax ite Kit-Board realisiert, das einen Infine XMC 45 Microctroller enthält. Er ist mit 2MHz getaktet und basiert auf einem ARM- Cortex-M4-Core. Die Taktfrequenz für die PWM beträgt khz, entsprechend muss der Ctroller alle us den PID-Regleralgorithmus berechnen und einen Wert für das Tastverhältnis an die entsprechende Peripherieeinheit ausgeben. Der C- Code wurde zunächst in der Simulati entwickelt und optimiert. Anschliessend wurde er mit Hilfe der Entwicklungsumgebung "DAVE" v Infine Technologies /3/ implementiert. Zusätzlich wurde eine Kommunikatisschnittstelle mit einem Host-Rechner auf UART-Basis implementiert. Über ein speziell entwickeltes GUI können damit im laufenden Betrieb Reglerparameter, Sollwerte usw. geändert werden, ohne den Microctroller neu laden zu müssen. 5.3 Vergleich Simulati-Messung Der Regler arbeitet stabil für Ausgangsspannungen v 25V bis 4V, sogar im lückenden Betrieb wird die PWM stabil geregelt, so dass sich auch hier keine unzulässigen Ausgangsspannungen ergeben. Abb. 4 stellt die Reakti auf einen Sprung des Sollwertes für die Ausgangsspannung v 38V auf 4,2V dar. Der Vergleich v Simulati und Messung zeigt sehr gute Übereinstimmung Messung Simulati Abbildung 4: Vergleich Messung-Simulati bei Sollwertsprung 6. Ausblick Die bisher realisierte Simulatisumgebung zeigt eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Verhalten der Testschaltung. Der Simulator sollte in folgenden Punkte erweitert werden: Realistische Simulati des ückbetrieb Simulati mehrphasiger Wandlersysteme Zur Verifizierung der Simulati sind entsprechende

7 Testschaltungen aufzubauen und zu vermessen. 7. Zusammenfassung Zur Entwicklung der digitalen Regelung v Schaltnetzteilen wurde eine Simulatisumgebung erstellt, die auf der Zustandsraumdarstellung der Wandlerschaltung basiert. Der Simulator ist in C geschrieben und erzielt daher eine hohe Performance. Verschiedene Wandlertopologien können durch Änderungen der Zustandsmatrizen ohne weitere Änderung des Codes eingebunden werden. Der Vergleich mit einem Hardwareaufbau zeigt eine gute Übereinstimmung. iteratur:. Mohan, N., Undeland, T., Robbins, W.: Power Electrics:Cverters, Applicatis, and Design, pp John Wiley & Ss Inc.,(23) 2. INFINEON Technologies AG: XMC45 Relax Kit & XMC45 Relax ite Kit, Board User s Manual, (22) 3. Copeland, M.: Embedded Compent Based Programming with DAVE 3, INFINEON Technologies AG, 4. Dirscherl,T., Mensch, J., Schlenker, M.: Entwicklung eines DC/DC-Schaltnetzteils, Masterprojekt, Hochschule Regensburg, (23) 7