a 21 a 12 a = 18. a d e b f 0 c = abc. 0 0 c = a

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1 104 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.3 Determinanten In diesem Abschnitt wird es darum gehen, Determinanten quadratischer Matrizen zu definieren. Die Determinante liefert u.a. ein einfaches Kriterium dafür, ob eine vorgelegte Matrix von maximalem Rang (und damit invertierbar) ist oder nicht. Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Abbildung det:m n n R, A deta, die wir jetzt durch Induktion über n definieren werden. Für 1 1-Matrizen setzt man det(a) := a für alle a R. Für 2 2-Matrizen definiert und schreibt man ( ) a b det = c d a b c d := ad bc. Zum Beispiel ist also det ( ) 2 3 = 8 3 = Kommen wir jetzt zum Fall n = 3. Die Determinante einer 3 3-Matrix kann man als Kombination von drei 2 2-Unterdeterminanten beschreiben. Genauer setzt man: a 11 a 12 a 13 deta = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 := a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 +a 31 a 12 a 13 a 22 a Beispiele = = = 4, a d e 0 b f 0 0 c = a b f 0 c = abc. Wenn wir die in unserer Definition vorkommenden 2 2-Unterdeterminanten ausschreiben, erhalten wir folgende Beschreibung der Determinante: deta = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 21 a 12 a 33 +a 21 a 13 a 32 +a 31 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22. Es handelt sich also um eine alternierende Summe, die aus 6 Produkten von je 3 Einträgen der Matrix A besteht. Man kann sich davon überzeugen, dass in jedem einzelnen Produkt genau ein Eintrag aus jeder Zeile und jeder Spalte vorkommt. Sei jetzt n > 3, und nehmen wir an, die Determinanten von sämtlichen (n 1) (n 1)-Matrizen sind bereits definiert. Für n n-matrizen definieren wir nun wie im Fall n = 3 die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte. Dazu sei A i1 diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die aus A durch Streichung der

2 5.3. Determinanten 105 i-ten Zeile und der ersten Spalte entsteht. Die Determinante von A i1 ist nach der Annahme bereits erklärt, und wir multiplizieren sie jetzt noch mit dem Eintrag a i1 aus der ersten Spalte. Die alternierende Summe all dieser Teilergebnisse bildet die Determinante von A: Definition deta := n ( 1) i+1 a i1 deta i1 = a 11 det(a 11 ) a 21 det(a 21 )+ +( 1) n+1 a n1 A n1. i= Beispiel = = ( ) = = Bemerkung Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass sich die Determinante einer n n-matrix als alternierende Summe von n! Produkten aus je n Einträgen schreiben lässt. Dabei kommt in jedem der Produkte genau ein Eintrag aus jeder Zeile und jeder Spalte vor. Für eine obere Dreiecksmatrix ist es sehr einfach, die Determinante zu bestimmen: Bemerkung Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so stimmt die Determinante von A mit dem Produkt der Diagonaleinträge von A überein. Insbesondere ist die Determinante der Einheitsmatrix gleich 1. Beweis. Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Zeilen n. Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Sei jetzt n > 1 und die Behauptung für n 1 schon gezeigt. Ist A eine obere Dreiecksmatrix vom Typ n n, können wir A in folgender Form schreiben: d d A = d n Durch Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte ergibt sich: d deta = d d. n

3 106 Kapitel 5. Lineare Algebra Da die Teilmatrix A 11 wiederum eine obere Dreiecksmatrix ist, folgt nun aus der Induktionsannahme deta = d 1 d 2 d n, wie behauptet. q.e.d. Enthält eine Matrix viele Nullen, kann die Berechnung der Determinante sich vereinfachen, wenn man nicht nach der ersten sondern nach einer der anderen Spalten oder nach einer geeigneten Zeile entwickelt. Dabei macht man sich den folgenden Entwicklungssatz zunutze: Satz Die Determinante einer n n-matrix A = (a ij ) kann man wahlweise auf eine der folgenden Arten berechnen: Entwicklung nach der j-ten Spalte (für ein j {1,...,n}) deta = n ( 1) i+j a ij deta ij. i=1 (Dabei bezeichnet A ij diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entsteht.) Entwicklung nach der i-ten Zeile (für ein i {1,...,n}) deta = n ( 1) i+j a ij deta ij. j=1 Dabei wird folgendes Vorzeichenschema verwendet: Beweis. Diese Aussagen folgen durch vollständige Induktion aus der Bemerkung 5.3.4, wenn man die Vorzeichenregeln beachtet. q.e.d. Hier sind zur Illustration einige Beispiele Beispiele (a) Die folgende Determinante wird durch Entwicklung nach der letzten Zeile berechnet: = = 12. (b) Die Determinante der folgenden 4 4-Matrix berechnen wir durch Entwicklung nach der zweiten Spalte, weil darin zwei Nullen vorkommen: deta = = ( 1)

4 5.3. Determinanten 107 Die zweite Teildeterminante ist gleich Null, weil darin die erste und die dritte Spalte übereinstimmen. Die erste Teildeterminante entwickeln wir nun weiter nach der dritten Zeile und erhalten: deta = ( 3) = 9. WirkönnendieDeterminanteauchalsFunktionderSpaltenv 1,...,v n dermatrix A auffassen und schreiben dann det(v 1,...,v n ) Satz Bezogen auf die Spalten hat die Determinantenfunktion folgende wichtige Eigenschaften: (i) Linearität in den Spalten: Für alle u,v R n, α R gilt: det(...,u+v,...) = det(...,u,...)+det(...,v,...) und det(...,αu,...) = α det(...,u,...) (bei festgehaltenen restlichen Spalten). (ii) Die Funktion ist alternierend: Vertauscht man zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante: det(...,u,...,v,...) = det(...,v,...,u,...) für alle u,v R n. (iii) Normierung: det(e 1,e 2,...,e n ) = dete = 1. Durch diese drei Eigenschaften ist die Funktion det:m n n R bereits eindeutig festgelegt. Beweis. Die Aussage (iii) haben wir bereits früher festgehalten. Zu (i): Die Linearität kann man durch Nachrechnen überprüfen, indem man die Determinante durch Entwicklung nach derjenigen Spalte berechnet, in der die Summe der Vektoren vorkommt. Die Aussage (ii) ergibt sich durch vollständige Induktion: Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Für n = 2 rechnen wir nach: b a d c = bc ad = (ad bc) = a b c d. Sei jetzt n > 2, und es nehmen wir an, es sollen die Spalten j und k miteinander vertauscht werden. Weil n > 2,gibteseinenSpaltenindex l,der vonj undkverschieden ist. Wir berechnen jetzt die Determinante durch Entwicklung nach der l-ten Spalte. Bei allen in der Entwicklung vorkommenden Unterdeterminanten ändert sich nach der Induktionsannahme bei der Vertauschung der Spalten j und k das Vorzeichen. Also gilt dasselbe auch für die daraus gebildete Gesamtdeterminante. q.e.d. Aus den Eigenschaften (i)-(iii) ergeben sich folgende nützliche Konsequenzen:

5 108 Kapitel 5. Lineare Algebra Folgerung Für die Determinantenfunktion gelten ausserdem noch diese Eigenschaften: (iv) Stimmen zwei Spalten einer quadratischen Matrix miteinander überein, so ist die Determinante der Matrix gleich Null. (v) Zieht man von einer Spalte einer quadratischen Matrix ein Vielfaches einer anderen Spalte ab, so bleibt die Determinante der Matrix dabei unverändert. Beweis. (iv) Nach (ii) muss für eine Matrix mit zwei identischen Spalten gelten: det(a) = det(...,v,...,v,...) = det(...,v,...,v,...) und daher det(a) = 0. (v) Nehmen wir an, die Matrix A enthält die Spalten u und v, und wir ersetzen v durch v αu (für ein α R). Wegen der Linearität und Eigenschaft (iv) folgt dann: det(...,v αu,...,u,...) = det(...,v,...,u,...) αdet(...,u,...,u,...) = det(...,v,...,u,...). q.e.d. Die entsprechenden Aussagen gelten auch bezogen auf Zeilen: Satz Die Determinantenfunktion det:m n n R ist auch linear und alternierend in den Zeilen. Stimmen zwei Zeilen in einer Matrix überein, so ist die Determinante der Matrix gleich Null. Zieht man von einer Zeile einer Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile ab, so bleibt die Determinante dabei unverändert. Hier nun das zu Anfang des Abschnitts angekündigte Kriterium dafür, wann eine Matrix von maximalem Rang ist (siehe Satz??): Folgerung Für jede n n-matrix A gilt det(a) 0 Rang(A) = n A 1 existiert. Beweis. Durch elementare Zeilenumformungen können wir A auf Zeilenstufenform A bringen. Dann ist det(a) 0 det(a ) 0. Denn bei den einzelnen Umformungen passiert folgendes: Das Abziehen eines Vielfaches einer Zeile von einer anderen ändert die Determinante nicht. Die Vertauschung von zwei Zeilen ändert nur das Vorzeichen der Determinante. Teilt man eine Zeile durch den Faktor d 0, dann wird auch die Determinante durch den Faktor d geteilt. Schauen wir uns jetzt A genauer an. Eine quadratische Matrix in Zeilenstufenform ist sicher eine obere Dreiecksmatrix, und in der Diagonale stehen führende Einsen oder eventuell Nullen, wenn die Treppe der führenden Einsen eine breitere Stufe hat. Die Determinante von A kann also nur die Werte 1 oder 0 annehmen. Der Wert 1 wird genau dann angenommen, wenn in der Diagonale nur führende Einsen stehen, und also der Rang der Matrix A gleich n ist. q.e.d. Eine weitere wichtige Eigenschaft der Determinantenfunktion wird durch den folgenden Multiplikationssatz beschrieben, der hier wiederum ohne Beweis angegeben werden soll:

6 5.3. Determinanten Satz Sind A,B M n n, so gilt: det(ab) = det(a) det(b). Ist A invertierbar, so folgt insbesondere: det(a) det(a 1 ) = det(e) = 1. Auch hier sollen einige Beispiele zur Illustration genügen: Beispiele 1. Ist A = ( ) ( , so ist A = ) = ( ). Also gilt deta 1 = 1 2 = 1 deta. 2. Sind A und B Diagonalmatrizen mit Einträgen a 1,...,a n bzw. b 1,...,b n auf der Diagonalen und Nullen abseits der Diagonalen, so ist das Produkt von A und B wiederum eine Diagonalmatrix, nämlich: a 1 b A B = a n b n Also gilt hier det(ab) = a 1 b 1 a n b n = (a 1 a n )(b 1 b n ) = det(a)det(b). 3. Ist B eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen b 1,...,b n und A eine beliebige n n-matrix mit den Spalten v 1,...,v n, so gilt wegen der Linearität in den Spalten det(ab) = det(b 1 v 1,...,b n v n ) = b 1 b n det(v 1,...,v n ) = det(b)det(a).

7 110 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.4 Euklidische Geometrie Bereits in dem antiken Lehrbuch der Elemente von Euklid sind die Grundbegriffe der ebenen Geometrie festgehalten, die noch heute in der Schule vermittelt werden. Dazu gehören die Begriffe Punkt, Gerade, Ebene, Winkel oder Dreieck mit den dazugehörigen Lehrsätzen. Unter der euklidischen Ebene wollen wir hier eine solche (intuitiv gegebene) Ebene verstehen, in der man Abstände zwischen Punkten und Winkel zwischen Halbstrahlen messen kann und die bekannten Gesetze der euklidischen Geometrie gelten, wie zum Beispiel die folgenden: Durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Verbindungsgerade. Je zwei nichtparallele Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Zu einer Geraden g und einem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine zu g parallele Gerade durch P. Sind g 1 und g 2 zwei parallele Geraden, so schneidet jede dazu nicht parallele Gerade h die Geraden g 1 und g 2 unter demselben Winkel. Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180. Je zwei verschiedene Punkte A,B in der Ebene liefern einen Pfeil mit Anfangspunkt A und Endpunkt B. Wir betrachten zwei Pfeile als äquivalent, wenn sich der erste Pfeil durch Parallelverschiebung in den zweiten Pfeil überführen lässt. Unter einem Vektor versteht man eine Äquivalenzklasse von Pfeilen, also die Gesamtheit aller zu einem bestimmten Pfeil äquivalenten Pfeile. Man sagt auch, ein bestimmter Pfeil repräsentiere den entsprechenden Vektor. Ein Spezialfall ist der sogenannte Nullvektor, nämlich die Klasse aller Pfeile, bei denen Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen. Wir schreiben dafür einfach 0. Die Vektoraddition ist nun definiert durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Sind genauer u,v Vektoren und wird u repräsentiert durch den Pfeil von A nach B, und wird v repräsentiert durch den Pfeil von B nach C, dann definieren wir u+v als denjenigen Vektor, der vom Pfeil von A nach C repräsentiert wird. Hätten wir einen anderen Startpunkt gewählt, etwa A, würde die gesamte Konfiguration parallel verschoben, der Vektor u+v ist also von dieser Wahl unabhängig und daher wohldefiniert. Wird v durch den Pfeil vonanach B repräsentiert, so bezeichnet v den Vektor, der durch den Pfeil von B nach A repräsentiert wird. Offenbar gilt nach Definition dann v + ( v) = 0. Weil sich beim Paralleltransport eines Pfeiles der Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt nicht ändert, können wir diese Grösse als die Länge des entsprechenden Vektors auffassen. Wir schreiben dafür v. Die Multiplikation eines Vektors v mit einem Skalar λ R ist folgendermassen erklärt: Ist λ > 0, so ist λv derjenige Vektor, der parallel ist zu v, dessen Länge aber λ v beträgt. Ist λ < 0, so ist λv derjenige Vektor, der parallel ist zu v, dessen Länge aber λ v beträgt. Die Multiplikation mit 0 liefert den Nullvektor.

8 5.4. Euklidische Geometrie 111 Man kann sich davon überzeugen, dass für die so definierte Addition und Multiplikation mit Skalaren der Vektoren in der euklidischen Ebene folgende Rechengesetze gelten: Satz Für alle Vektoren u,v,w in der euklidischen Ebene und alle α,β R gilt: (u+v)+w = u+(v+w) (Assoziativgesetz für die Addition). u+v = v+u (Kommutativgesetz). u+0 = u (neutrales Element). Zu v gibt es genau einen Vektor x mit v +x = 0, nämlich x = v (Existenz des additiven Inversen). (α β)u = α(β u) (Assoziativgesetz für die Skalarmultiplikation). 1 u = u. (α+β)u = αu+βu (Distributivgesetz). α(u+v) = αu+αv (Distributivgesetz). Nun wollen wir in der euklidischen Ebene einen Punkt auswählen und als Nullpunkt festlegen. Dann gibt es zu jedem Punkt P einen eindeutig bestimmten Vektor, den sogenannten Ortsvektor von P, der durch den Pfeil vom Nullpunkt nach P repräsentiert wird. Die Zuordnung {Punkte in der Ebene} {ebene Vektoren}, Punkt Ortsvektor ist eine Bijektion zwischen der Menge der Punkte in der Ebene einerseits und der Menge der ebenen Vektoren andererseits. Jeder Vektor v 0 erzeugt in der Ebene eine Gerade durch den Nullpunkt. Die entsprechenden Ortsvektoren bilden einen sogenannten linearen Unterraum der Ebene: g v := {λv λ R} Definition Zwei Vektoren u, v 0 in der Ebene heissen linear abhängig, wenn sie dieselbe Gerade erzeugen. Das bedeutet, dass eine Zahl λ R existiert mit u = λv. Ist dies nicht der Fall, nennt man u und v linear unabhängig Bemerkung Sind u, v 0 zwei linear unabhängige Vektoren in der Ebene, dann erzeugen sie bereits ganz V: V = {αu+βv α,β R}.

9 112 Kapitel 5. Lineare Algebra Beweis. Jeder Vektor w V kann auf eindeutige Art in Komponenten in Richtung von u bzw. v zerlegt werden, wie man das von Kräftediagrammen kennt. Dazu stellt man u,v,w als Ortsvektoren dar. Sei P der Endpunkt des Ortsvektors, der w repräsentiert. Schneidet man die zu v parallele Gerade durch P mit der Geraden durch u, erhält man die Komponente αu von w in Richtung von u, und schneidet man die zu u parallele Gerade durch P mit der Geraden durch v, so erhält man die Komponente βv von w in Richtung von v. Weil nach Konstruktion αu, βv und w ein Parallelogramm bilden, gilt w = αu+βv. βv v w u αu Die Zahlen α, β sind durch w eindeutig festgelegt. Denn angenommen, wir hätten eine weitere Zerlegung w = α 1 u+β 1 v. Dann folgt durch Anwendung der Rechenregeln: (α α 1 )u = (β 1 β)v. Weil u und v linear unabhängig sind, müssen bereits α = α 1 und β = β 1 sein. q.e.d Definition Sind u, v 0 zwei linear unabhängige Vektoren in der Ebene, bezeichnet man das Paar (u,v) als Basis von V, weil sich jeder Vektor w V auf eindeutige Weise als Linearkombination aus u und v der Form w = αu + βv (für passende Zahlen α, β) darstellen lässt Bemerkung Jede Wahl einer Basis (u, v) von V liefert ein Koordinatensystem für V. Dabei verlaufen die Koordinatenachsen durch u bzw. v, und ist w = αu + βv, so bezeichnet man α und β als die Koordinaten von w bezüglich u und v. Die Abbildung ( ) α R 2 V, αu+βv β ist bijektiv und verträglich mit der Addition und Multiplikation mit Skalaren von Vektoren. Das heisst, addiert man zwei Vektoren in der Ebene, so addieren sich entsprechende Koordinaten, und beim Multiplizieren mit einem Skalar werden die Koordinaten mit diesem Skalar multipliziert. Eine besondere Rolle spielen die rechtwinkligen Koordinatensysteme. Nehmen wir an, wir hätten eine Basis aus Vektoren u 1 und u 2 der Länge 1 gewählt, die senkrecht aufeinanderstehen. Dann sieht das entsprechende Koordinatensystem (bis auf Drehung oder Spiegelung) so aus, wie man es aus der Schule kennt. Wenn wir

10 5.4. Euklidische Geometrie 113 nun einen Vektor v mit seinem Koordinatenvektor in R 2 identifizieren, können wir die Länge nach dem Satz von Pythagoras folgendermassen bestimmen: v = ( ) x x 2 +y 2, falls v =. y ( ) ( ) x1 x Definition Sei v = und w =. Für das Skalarprodukt von v und w verwenden wir die folgende Schreibweise: y 1 y 2 v,w := x 1 x 2 +y 1 y Bemerkung Das Skalarprodukt von v und w hat folgende geometrische Bedeutung: v,w = v w cos(α), wobei α den Winkel zwischen v und w bezeichnet. Insbesondere gilt: v,w = 0 v und w stehen senkrecht aufeinander. Ist v = 1, so gibt das Skalarprodukt von v und w die Länge der orthogonalen Projektion von w auf die Gerade durch v an. Beweis. Zeichnen wir v und w als Ortsvektoren und verbinden die Endpunkte, erhalten wir ein Dreieck mit den Seitenlängen v, w und v w. Der Seite der Länge v w liegt der Winkel α gegenüber. Also liefert der Cosinussatz die folgende Beziehung: v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos(α). Daraus folgt v w cos(α) = 1 2 ( v 2 + w 2 v w 2 ). Setzt man nun die Koordinaten von v und w ein, erhält man gerade das Skalarprodukt. q.e.d. Nun können wir die Determinante von Paaren ebener Vektoren geometrisch interpretieren. ( ) ( ) a b Satz Sei v = und w =. Dann gilt: c d det(v,w) = a b c d = v w sin(α), wobei α den Winkel bezeichnet, den man von v nach w misst. Insbesondere gilt: det(v,w) 0 v und w sind linear unabhängig. In diesem Fall gibt der Betrag der Determinante den Flächeninhalt des von v und w erzeugten Parallelogramms an. Das Vorzeichen der Determinante ist positiv, wenn 0 < α < π, und negativ, wenn π < α < 0.

11 114 Kapitel 5. Lineare Algebra Beweis. Nach der eben gemachten Bemerkung ist v 2 w 2 sin 2 (α) = v 2 w 2 (1 cos 2 (α)) = v 2 w 2 ( v,w ) 2. Setzt man nun die Koordinaten ein, erhält man v 2 w 2 sin 2 (α) = (det(v,w)) 2. Weil ausserdem die Determinante stetig von der Wahl der Vektoren v und w abhängt, reicht es das( Vorzeichen ) für zwei ( ) speziell gewählte Vektoren v und w zu überprüfen. 1 0 Für v = und w = ist einerseits α = 0 1 π und daher sin(α) = 1, und 2 andererseits ist det(v, w) = 1. Also stimmen die Vorzeichen von Determinante und sin(α) jeweils überein. q.e.d. Mithilfe der geometrischen Interpretation der Determinante können wir nun die bereits formulierten Eigenschaften der Determinantenfunktion bezogen auf Spalten einer Matrix besser verstehen Folgerung 1. det(v,αw) = α det(v,w) für alle v,w R 2, α R. 2. det(v,w 1 +w 2 ) = det(v,w 1 )+det(v,w 2 ) für alle v,w 1,w 2 R det(v,w) = det(w,v) für alle v,w R 2. Beweis. (1) Ein skalarer Faktor sorgt für die Streckung (oder Stauchung) einer Seite des Parallelogramms erzeugt von v und w, während der Winkel α unverändert bleibt. Die Behauptung kann man also direkt ablesen. (2) Wir betrachten nur den Fall, dass alle beteiligten Determinanten positiv sind. Zeichnen wir zuerst v, w 1 und w 1 + w 2 als Ortsvektoren. Das von v und w 1 + w 2 erzeugte Parallelogramm bildet zusammen mit dem Dreieck, erzeugt von w 1 und w 1 +w 2, ein Fünfeck. Entfernen wir daraus die beiden von v und w 1 bzw. von v und w 2 erzeugten Parallelogramme, so bleibt ein Dreieck übrig, das deckungsgleich ist mit dem von w 1 und w 1 +w 2 erzeugten Dreieck. Hieraus folgt die Behauptung. (3) Bei der Vertauschung von v und w bleiben offenbar die Längen unverändert, aber der Winkel α ändert sein Vorzeichen und damit auch der Sinus. q.e.d. Die bisher eingeführten Begriffe lassen sich auch auf den euklidischen dreidimensionalen Raum übertragen. Wiederum legen je zwei verschiedene Punkte im Raum einen Pfeil fest, und wir betrachten je zwei Pfeile als äquivalent, wenn sich der erste Pfeil durch Parallelverschiebung in den zweiten Pfeil überführen lässt. Die Vektoren im Raum sind die Äquivalenzklassen von Pfeilen. Jeder einzelne Vektor hat also eine wohldefinierte Länge und eine Richtung. Wiederum können wir die Addition solcher Vektor durch Aneinanderhängen entsprechender Pfeile definieren. Und die Skalarmultiplikation definieren wir ebenfalls entsprechend wie in der Ebene. Dann gelten die bereits formulierten Rechengesetze. Die Wahl eines Nullpunktes liefert wieder eine bijektive Zuordnung der Menge der Punkte im Raum und der Menge der Vektoren V im Raum, indem wir jedem

12 5.4. Euklidische Geometrie 115 Punkt P seinen Ortsvektor zuordnen, der durch den Pfeil vom Nullpunkt nach P repräsentiert wird. Jeder Vektor v 0 im Raum erzeugt eine Gerade durch 0 und die entsprechenden Ortsvektoren bilden einen eindimensionalen linearen Unterraum g v = {λv λ R} in V Definition WieinderEbene, nenntmanzwei Vektoren0 u,v V linear unabhängig, wenn sie nicht dieselbe Gerade erzeugen. Sind u, v linear unabhängig, erzeugen sie eine Ebene durch 0. Die entsprechenden Ortsvektoren der Punkte dieser Ebene bilden einen zweidimensionalen linearen Unterraum von V: E = {αu+βv α,β R}. DreiVektorenu,v,w V heissenlinearunabhängig,wennsieinkeinergemeinsamen Ebene durch 0 liegen. Ganz entsprechend wie im ebenen Fall kann man folgende Aussagen einsehen: Bemerkung Je drei linear unabhängige Vektoren u, v, w bilden eine Basis von V, das heisst, jeder Vektor in V lässt sich auf eindeutige Weise als Linearkombination von u,v,w in der Form αu+βv+γw (für passende Zahlen α,β,γ) schreiben. Die Basis liefert also ein Koordinatensystem für den Raum. Die Abbildung R 3 V, α β γ αu+βv+γw ist bijektiv und verträglich mit der Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren. Das heisst, addiert man zwei Vektoren in der Ebene, so addieren sich entsprechende Koordinaten, und beim Multiplizieren mit einem Skalar werden die Koordinaten mit diesem Skalar multipliziert. Nehmen wir nun wieder an, wir hätten eine Basis aus Vektoren der Länge 1 gewählt, die paarweise senkrecht aufeinander stehen. Dann können wir jeden Vektor mit seinem Koordinatenvektor in R 3 identifizieren. Für die Länge gilt diesmal: v = x x 2 +y 2 +z 2, falls v = y. z Das Skalarprodukt im R 3 ist folgendermassen erklärt: Definition Sei u = x 1 y 1 z 1 und v = und v verwenden wir die folgende Schreibweise: x 2 y 2 z 2 u,v := x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2.. Für das Skalarprodukt von u

13 116 Kapitel 5. Lineare Algebra Bemerkung Entsprechend wie in der Ebene gilt: u,v = u v cos(α), wobei α den Winkel zwischen uundv,gemessen inder vonuundv erzeugten Ebene, bezeichnet. Insbesondere gilt: u,v = 0 u und v stehen senkrecht aufeinander. Ist v = 1, so gibt das Skalarprodukt von u und v die Länge der orthogonalen Projektion von u auf die Gerade durch v an. Eine neue Grösse, die wir nur im dreidimensionalen Raum definieren können, ist das Vektorprodukt Definition Sei u = x 1 y 1 z 1 w := u v R 3 ist definiert durch w = R 3 und v = y 1z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 y 2 Die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts ist die folgende: Satz Für u,v R 3 gilt:. u v = u v sin(α). z 2 R 3. Der Vektor Also ist u v = 0 genau dann, wenn u und v linear abhängig sind. Wenn u und v linear unabhängig sind, gibt die Länge des Vektors w = u v die Fläche des von u und v erzeugten Parallelogramms an. Ausserdem steht w senkrecht auf der von u und v erzeugten Ebene. Schliesslich ist w so orientiert, dass die Richtungen der Vektoren u,v,w zur rechten Hand passen. Das heisst, man kann mit dem Daumen in die Richtung von u, mit dem Zeigefinger in die Richtung von v und mit dem Mittelfinger in die Richtung von w zeigen. Beweis. Wir wissen bereits, dass u 2 v 2 cos 2 (α) = ( u,v ) 2. Also reicht es zu zeigen: u v 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (α)) = u 2 v 2 ( u,v ) 2. Dies lässt sich nun leicht direkt durch Einsetzen von Koordinaten nachrechnen. q.e.d. Hier nun schliesslich der Zusammenhang zur Determinante von drei Vektoren im R 3, der sich direkt aus der Definition ergibt:

14 5.4. Euklidische Geometrie Bemerkung Für alle u,v R 3 und x,y,z R gilt: x x u v, y = det(u,v, y ). z z Wenn wir nun die Interpretation des Skalarproduktes und des Vektorproduktes im Raum zusammensetzen, erhalten wir folgende Deutung der Determinante: Folgerung Seien v 1,v 2,v 3 R 3. Dann gilt: det(v 1,v 2,v 3 ) = v 1 v 2,v 3 = v 1 v 2 v 3 cos(α), wobei α den Winkel zwischen v 1 v 2 und v 3 angibt. Die Determinante ist gleich Null, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind. Wenn v 1,v 2,v 3 linear unabhängig sind, erzeugen sieein SpatimR 3, unddessen Volumen wirdgeradedurch den Betrag der Determinante angegeben. Das Vorzeichen der Determinante ist positiv, wenn die Richtungen der Vektoren v 1,v 2,v 3 zur rechten Hand passen (wie eben beschrieben), und negativ, wenn v 1,v 2,v 3 zur linken Hand passen. Beweis. Unter demspat, dasvon denvektoren v 1,v 2,v 3 inr 3 erzeugt wird, versteht man den verallgemeinerten Quader, dessen Seitenflächen die jeweils von zwei der drei Vektoren erzeugten Parallelogramme sind. Die Grundfläche des Spates ist also das von v 1,v 2 erzeugte Parallelogramm und daher gegeben durch v 1 v 2. Die Höhe des Spates ist gerade v 3 cos(α). Daraus folgt die Behauptung. q.e.d. a Beispiel Ist konkret v 1 = 0 (mit a > 0) ein Vektor in x Richtung, 0 v 2 = b (mit b > 0) ein von v 1 linear unabhängiger Vektor in der x y Ebene 0 und v 3 = (mit c > 0), so spannen die drei Vektoren ein Spat auf, dessen c Grundfläche ein Parallelogramm in der x y Ebene mit Flächeninhalt ab ist. Die Höhe des Spats beträgt c. Also stimmt hier das Volumen des Spates mit dem Wert der Determinante überein: det(v 1,v 2,v 3 ) = abc.