$Id: det.tex,v /01/08 13:59:24 hk Exp $ A = 1 3

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1 $Id: det.tex,v /01/08 13:59:24 hk Exp $ 8 Determinanten Wir kommen jetzt zum Begriff der Determinante. Determinanten sind merkwürdigerweise über hundert Jahre älter als Matrizen, und sie wurden auch ursprünglich nicht im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen eingeführt, sondern bei der Behandlung von Polynomgleichungen n-ten Grades. Der Name Determinante kommt dagegen aus ihrer Verwendung im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen, und wir wollen erst einmal erwähnen was hier eigentlich determiniert wird. Angenommen wir haben eine quadratische Matrix A über den reellen oder den komplexen Zahlen. Wie wir noch sehen werden können dann zwei verschiedene Fälle auftreten, entweder ist das lineare Gleichungssystem Ax = b für jede rechte Seite b eindeutig lösbar oder es ist niemals eindeutig lösbar und es gibt sowohl rechte Seiten b für die Ax = b nicht lösbar ist als auch rechte Seiten b für die Ax = b mehrere verschiedene Lösungen hat, man nennt dieses Verhalten linearer Gleichungssysteme manchmal auch die Fredholm-Alternative. Ersteres tritt genau dann auf wenn die Determinante von A von Null verschieden ist und letzteres genau dann wenn sie gleich Null ist. In diesem Sinne bestimmt, also determiniert, die Determinante von A also das Lösbarkeitsverhalten linearer Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A. Die Determinante einer n n Matrix A über K = R oder K = C ist eine Zahl det A K. Alternativ wird oft auch A anstelle von det A geschrieben. Wird dabei A direkt in Matrixform (...) hingeschrieben, so läßt man die Klammern um die Matrix in der Schreibweise A üblicherweise fort, schreibt also etwa für die Determinante det A der Matrix A = ( Beachte das die Determinante nur für quadratische Matrizen definiert wird. Bevor wir zur Definition der allgemeinen Determinante kommen, wollen wir sie zunächst in den drei kleinen Fällen n = 1, 2, 3 explizit hinschreiben. Für 1 1 Matrizen ist die Determinante einfach der eine Eintrag der Matrix, also det(a) = a für a K. Die Determinante einer 2 2 Matrix wird durch die Formel a b c d := ad bc 18-1 ).

2 definiert. Beachte das uns der Ausdruck ad bc bereits in 7 in der Formel ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d ad bc c a für die Inverse eine 2 2 Matrix begegnet ist. Dies ist kein Zufall, wie wir sehen werden gibt es auch für n n Matrizen eine direkte Formel für die Einträge der inversen Matrix A 1 in Termen gewisser Determinanten. Für n > 3 ist diese Formel allerdings für praktische Zwecke nur selten hilfreich. Wir kommen nun zur Determinante einer 3 3 Matrix, und diese Formel ist bereits merklich komplizierter a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 := a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Es ist populär sich diese Formel mit Hilfe der sogenannten Regel von Sarrus zu merken. Hierzu schreibt man sich die ersten beiden Spalten der 3 3 Matrix noch einmal rechts neben die Matrix. Dann bildet man die drei Dreierprodukte entlang der drei Diagonalen von links nach rechts und addiert diese. Anschließend bildet man die Dreierprodukte auf den drei Gegendiagonalen von rechts nach links und zieht diese von der zuvor gebildeten Summe ab. Die so erhaltene Zahl ist die Determinante der Matrix. a a a a a a a a a a a a a a a Natürlich sind Sie nicht verpflichtet die Regel von Sarrus zu verwenden, mit etwas Konzentration und ein wenig Übung ist es leicht sich die beiden verdoppelten Spalten im Kopf zu denken, ohne sie extra hinzuschreiben. Allerdings ist es am besten die Regel von Sarrus gleich wieder zu vergessen, sie stellt sich als die mit Abstand umständlichste Methode zur Berechnung der Determinante einer 3 3 Matrix heraus. Für n = 2 und n = 3 hat die Determinante auch eine direkte geometrische Bedeutung. Die Determinante einer 2 2 Matrix, beziehungsweise genauer ihr Betrag, ist die Fläche des von den beiden Spalten, oder Zeilen, aufgespannten Parallelograms. Entsprechend ist der Betrag der Determinante für n = 3 gleich dem Volumen des von den drei Spalten aufgespannten Parallelepipeds, dies ist das dreidimensionale Analogon zum Parallelogram und wird oft auch als ein Spat bezeichnet. Wir werden diese geometrischen Interpretationen aber erst etwas später in diesem Semester begründen. Entsprechend kann dann auch die Determinante in höheren Dimensionen als ein n-dimensionales Volumen aufgefasst werden. Bevor wir die exakte Definition dieser höherdimensionalen Determinanten behandeln, wollen wir hier nur erwähnen das die Sarrus-Regel sich nicht auf die Determinante von quadratischen Matrizen mit n 4 Zeilen und Spalten fortsetzt, beispielsweise ist die Determinante einer 4 4 Matrix eine Summe aus 24 Summanden und nicht nur von 8 wie es die Sarrus Regel erwarten ließe. 18-2

3 8.1 Die symmetrische Gruppe Um die Determinante für größere Matrizen zu definieren, benötigen wir den Begriff einer Permutation. Ist n N eine natürliche Zahl, so ist eine Permutation der Zahlen 1, 2,..., n definiert als eine bijektive Abbildung π : {1,..., n} {1,..., n}. Bezeichnet S n die Menge all dieser Permutationen, so notieren wir ein Element π S n als das Tupel [π(1),..., π(n)] seiner Werte, so steht beispielsweise π = [4, 1, 3, 5, 2] für die Bijektion π(1) = 4, π(2) = 1, π(3) = 3, π(4) = 5, π(5) = 2. Da die Hintereinanderausführung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist, können wir für π, η S n ein Produkt π η := π η als die Hintereinanderausführung von π und η definieren. Ist zum Beispiel π wie oben und η = [5, 4, 3, 2, 1] so ist das Produkt τ := π η durch τ(1) = π(η(1)) = π(5) = 2, τ(2) = π(η(2)) = π(4) = 5, τ(3) = π(η(3)) = π(3) = 3, τ(4) = π(η(4)) = π(2) = 1, τ(5) = π(η(5)) = π(1) = 4 gegeben, also τ = [2, 5, 3, 1, 4]. Diese Multiplikation erfüllt dann einige Rechenregeln: (G1) Das Assoziativgesetz π (η τ) = (π η) τ für alle π, η, τ S n. Dies ist nur ein Spezialfall des allgemeinen Assoziativgesetzes der Hintereinanderausführung aus 2.Lemma 1. (G2) Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, nämlich die identische Abbildung 1 := id M. Diese erfüllt 1 π = π 1 = π für alle π S n. (G3) Jedes π S n hat ein multiplikatives Inverses π 1 S n mit π 1 π = π π 1 = 1. Nach 2.Lemma 3 ist π 1 nämlich gerade die Umkehrabbildung zu π. Man bezeichnet diese drei Eigenschaften als die Gruppenaxiome und nennt S n eine Gruppe. Wir sind hier nicht abstrakt an den Gruppenaxiomen interessiert, aber drei Folgerungen aus diesen werden für uns sehr wichtig sein. 1. Ist η S n und durchläuft π die Elemente von S n, so durchläuft das Produkt η π ebenfalls genau alle Elemente von S n. Etwas formaler gesagt, ist die Abbildung f : S n S n ; π η π bijektiv. In der Tat, um einzusehen das f bijektiv ist, ist einzusehen das es für jedes τ S n genau ein π S n mit τ = η π gibt, und die Gruppenaxiome sagen uns das π = η 1 τ dieses eindeutige Element von S n ist. 2. Analog ist für jedes η S n auch die Abbildung bijektiv. g : S n S n ; π π η 18-3

4 3. Auch die Abbildung h : S n S n ; π π 1 ist bijektiv und wegen (π 1 ) 1 = π für alle π S n gleich ihrer eigenen Umkehrabbildung. Man kann sich die symmetrische Gruppe S n alternativ auch als die Menge aller möglichen Anordnungen der Zahlen 1,..., n vorstellen. Ist nämlich π S n eine Permutation, so kommt in der Liste π(1), π(2),..., π(n) jede Zahl zwischen 1 und n genau einmal vor, die Liste ist also eine Anordnung der Zahlen 1,..., n. Haben wir umgekehrt eine solche Liste k 1,..., k n in der jede Zahl zwischen 1 und n genau einmal vorkommt, so können wir durch π(i) := k i für i = 1,..., n eine zugehörige Permutation definieren. Schauen wir uns dies einmal an einem Beispiel mit n = 4 an. Die Anordnung π : 4, 3, 2, 1 entspricht der durch π(1) = 4, π(2) = 3, π(3) = 2 und π(4) = 1 gegebenen Permutation, denn 4 ist das erste Element in unserer Aufzählung, 3 ist das zweite Element in der Aufzählung, und so weiter. Ebenso entspricht η : 3, 1, 4, 2 der Permutation η(1) = 3, η(2) = 1, η(3) = 4 und η(4) = 2. Für das Produkt τ := π η = π η ist also und als Aufzählung geschrieben ist damit τ(1) = π(η(1)) = π(3) = 2, τ(2) = π(η(2)) = π(1) = 4, τ(3) = π(η(3)) = π(4) = 1, τ(4) = π(η(4)) = π(2) = 3, τ = π η : 2, 4, 1, 3. Mit der Interpretation von Permutationen als Auflistungen der Zahlen von 1 bist n ist es auch leicht die Elemente der symmetrischen Gruppe zu zählen. Lemma 8.1 (Elementeanzahl der S n ) Für jedes n N mit n 1 hat die symmetrische Gruppe S n genau n! viele Elemente. Beweis: Für das erste Element der Aufzählung haben wir n Möglichkeiten, für das zweite dann nur noch n 1 Möglichkeiten, für das dritte n 2 Möglichkeiten, und so 18-4

5 weiter, bis für das letzte Element nur noch eine Möglichkeit verbleibt. Als Anzahl aller möglichen Permutationen ergibt sich damit n (n 1) (n 2)... 1 = n = n!. Schreiben wir M für die Anzahl aller Elemente einer endlichen Menge M, so sind also S 1 = 1, S 2 = 2, S 3 = 6, S 4 = 24, S 5 = 120,... Die Elemente der symmetrischen Gruppe S n können in zwei verschiedene Sorten eingeteilt werden, die geraden und die ungeraden Permutationen. Nehmen wir einmal an wir haben eine Permutation π S n gegeben. Dann sind π(1), π(2),..., π(n) genau die Zahlen zwischen 1 und n nur in einer anderen Reihenfolge. Dies übeträgt sich dann auch auf Paare von verschiedenen Zahlen zwischen 1 und n, d.h. (π(1), π(2)),..., (π(1), π(n)), (π(2), π(1)), (π(2), π(3)),..., (π(2), π(n)),..., (π(n 1), π(1)),..., (π(n 1), π(n)) sind wieder genau diese Paare, nur erneut in einer anderen Reihenfolge. Dies modifizieren wir noch etwas und betrachten nur noch die nach Größe geordneten Paare (i, j) mit 1 i < j n, bei denen der zweite Eintrag also größer als der erste Eintrag ist. Wenden wir unsere Permutation auf diese korrekt geordneten Paare an, so erhalten wir (π(1), π(2)),..., (π(1), π(n)), (π(2), π(3)),..., (π(2), π(n)),..., (π(n 1), π(n)) nur noch die Hälfte aller möglichen Paare. Diese umgeordneten Paare müssen aber nicht mehr nach Größe geordnet sein, die Permutation kann ja auch richtig geordnete Paare auf falsch geordnete Paare abbilden. Jedes Paar bei dem dies vorkommt nennen wir einen Fehlstand von π, d.h. (i, j) mit 1 i < j n ist Fehlstand von π : π(i) > π(j). Bilden wir nun das Produkt der Differenzen aller unserer obigen Paare, so erhalten wir fast genau das Produkt aller Differenzen nach Größe geordneter Paare, es kommt nur für jeden Fehlstand ein Minus Zeichen hinzu. Schreiben wir also F (π) für die Menge aller Fehlstände von π, so ist F (π) (π(j) π(i)) = ( 1) (j i) = ± (j i). Tritt in der obigen Formel das Pluszeichen auf, ist also F (π) gerade, so nennen wir π eine gerade Permutation, und andernfalls heißt π eine ungerade Permutation. Zur Verwendung in Rechnungen führen wir noch ein Symbol für das auftretende Vorzeichen ein. 18-5

6 Definition 8.1 (Vorzeichen einer Permutation) Seien n N mit n 1 und π S n. Dann heißt das Vorzeichen von π. ( 1) π := ( 1) F (π) = Wir wollen drei Beispiele behandeln. π(j) π(i) j i 1. Wir fangen mit dem konkreten Beispiel n = 4 und der durch 3, 4, 1, 2 gegebenen Permutation π an. Listen wir die nach Größe geordneten Paare und ihre Bilder unter π auf, so ergibt sich (i, j) (π(i), π(j)) 1, 2 3, 4 1, 3 3, 1 F 1, 4 3, 2 F 2, 3 4, 1 F 2, 4 4, 2 F 3, 4 1, 2, wobei die Fehlstände mit dem Symbol F markiert sind. Wir haben in diesem Beispiel also F (π) = 4 Fehlstände und somit ( 1) π = 1, d.h. π ist eine gerade Permutation. 2. Sei n N mit n 2 und bezeichne τ S n die Transposition die zwei verschiedene Zahlen 1 i < j n miteinander vertauscht. Fehlstände von τ müssen i oder j involvieren. Gehen wir die Möglichkeiten durch so ergeben sich genau die folgenden Fehlstände von τ F (τ) = {(i, k) i < k j} {(k, j) i < k < j} also F (τ) = (j i) + (j i 1) = 2(j i) 1 und insbesondere ( 1) τ = 1, d.h. Transpositionen sind immer ungerade. 3. Nun sei π eine Permutation die r 2 aufeinanderfolgende Ziffern zyklisch nach rechts schiebt, beispielsweise die Ziffern von i bis i + r 1 mit 1 i n r + 1. Es soll also π(k) = k für 1 k < i und für i + r k n, π(k) = k + 1 für i k < i+r 1 und π(i+r 1) = i sein. Fehlstände von π müssen offenbar zwei Ziffern zwischen i und i + r 1 involvieren und i + r 1 als rechte Komponente haben, also F (π) = {(k, i + r 1) i k < i + r 1}, und somit F (π) = r 1, und folglich ist auch ( 1) π = ( 1) r 1, ist also r gerade so ist π ungerade und ist r ungerade so ist π gerade. 18-6

7 Lemma 8.2 (Rechenregeln für das Vorzeichen einer Permutation) Sei n N mit n 1. Dann gelten: (a) Ist id S n die identische Permutation, so ist ( 1) id = 1. (b) Für alle π, η S n ist ( 1) πη = ( 1) π ( 1) η. (c) Für jedes π S n ist ( 1) π 1 = ( 1) π. Beweis: (a) Klar da die Identität keine Fehlstände hat. (b) Es gilt F (η) (π(η(j)) π(η(i))) = ( 1) (π(j) π(i)) = ( 1) π ( 1) η (j i) und somit ist ( 1) πη = (c) Nach (a) und (b) gilt π(η(j)) π(η(i)) j i = ( 1) π ( 1) η. 1 = ( 1) ππ 1 = ( 1) π ( 1) π 1 = ( 1) π 1 = 1 ( 1) π = ( 1)π. 8.2 Definition und Grundeigenschaften der Determinante Wir definieren die allgemeine Determinante durch die sogenannte Leibniz-Formel. Definition 8.2 (Definition der Determinante) Sei n N mit n 1 und sei K {R, C}. Die Determinante einer n n Matrix über K wird durch die Formel a 11 a 1n..... := ( 1) π a 1π(1)... a nπ(n) a n1 a nn π S n definiert. Die Determinante einer n n Matrix ist also eine Summe mit S n = n! vielen Summanden und jeder Summand ist ein Produkt aus n Matrixeinträgen und einem Vorzeichen. 18-7

8 Für n = 1, 2, 3 stimmt dies mit der schon eingeführten Determinante überein. Schon für n = 4 ist die Definition aber nicht direkt zum Berechnen der Determinante geeignet, man hat S 4 = 24 viele Summanden in der Summe. Es gibt im wesentlichen zwei Methoden Determinanten zu berechnen, zum einen über die sogenannte Laplace- Entwicklung, die wir im nächsten Abschnitt behandeln, und zum anderen über die Umformung einer Determinante mittels elementarer Zeilen- und Spaltenoperationen. Um den letzteren Weg zu begründen, müssen wir uns überlegen wie sich die Determinante bei Anwendung von Zeilenoperationen verhält, und hierfür wollen wir das folgende Lemma formulieren und beweisen. Lemma 8.3 (Grundeigenschaften der Determinante) Seien n N mit n 1, K {R, C} und a 11 a 1n A =..... K n n a n1 a nn eine n n Matrix über K. Dann gelten: (a) Es ist det A t = det A. (b) Geht A aus A durch Multiplikation einer Zeile oder einer Spalte mit einer Konstanten c K hervor, so ist det A = c det A. (c) Sei α S n eine Permutation und bezeichne A die Matrix, die aus A durch Permutation der Zeilen gemäß α hervorgeht, d.h. für 1 k n ist die k-te Zeile von A gleich der α(k)-ten Zeile von A. Dann ist det A = ( 1) α det A. Die analoge Aussage gilt für Permutationen der Spalten von A. (d) Geht A aus A durch Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten hervor, so ist det A = det A. (e) Geht A aus A durch Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile hervor, so ist det A = det A. Die analoge Aussage gilt auch für Spalten statt Zeilen. (f) Besteht eine Zeile oder eine Spalte von A nur aus Nullen, so ist det A = 0. (g) Ist eine Zeile von A ein Vielfaches einer anderen Zeile von A, oder eine Spalte von A ein Vielfaches einer anderen Spalte von A, so ist det A = 0. Beweis: (a) Es gilt nach Lemma 2.(c) det A t = π S n ( 1) π a π(1)1... a π(n)n = π S n ( 1) π a π(1),π 1 (π(1))... a π(n),π 1 (π(n)) = π S n ( 1) π 1 a 1,π 1 (1)... a n,π 1 (n) = π S n ( 1) π a 1π(1)... a nπ(n) = det A. 18-8

9 (b) Sei 1 i n und die i-te Zeile von A sei das c-fache der i-ten Zeile von A. Dann ist det A = π S n ( 1) π a 1π(1)... (ca iπ(i) )... a nπ(n) = c π S n ( 1) π a 1π(1)... a nπ(n) = c det A. Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spalten. (c) Es gilt nach Lemma 2.(b) det A = π S n ( 1) π a α(1),π(1)... a α(n),π(n) = ( 1) α π S n ( 1) πα 1 a 1,π(α 1 (1))... a n,π(α 1 (n)) = ( 1) α det A. Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spaltenpermutationen. (d) Da Transpositionen ungerade Permutationen sind ist dies ein Spezialfall von (c). (f) Ist 1 i n und besteht die i-te Zeile von A nur aus Nullen, so ist für jedes π S n stets a iπ(i) = 0, also auch a 1π(1)... a nπ(n) = 0. Damit ist det A = 0. Mit (a) folgt auch die Aussage über Spalten. (g) Nach (a) reicht es die Aussage für Zeilen einzusehen, und nach (b) können wir annehmen, dass A sogar zwei identische Zeilen hat. Dann ändert sich die Matrix bei Vertauschen dieser beiden Zeilen nicht, und (d) ergibt det A = det A, also det A = 0. (e) Seien c K, 1 i, j n mit i j und A gehe aus A durch Addition des c-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile hervor. Dann ist det A = π S n ( 1) π a 1π(1)... (a iπ(i) + ca jπ(i) )... a nπ(n) = det A + c π S n ( 1) π a 1π(1)... a jπ(i)... a nπ(n). Die hintere Summe ist gerade die Determinante der Matrix A, die aus A durch Ersetzen der i-ten Zeile durch die j-te Zeile entsteht. Da A zwei identische Zeilen hat, ist nach (g) aber det A = 0, und dies zeigt det A = det A. Mit (a) folgt dann auch die Aussage über Spaltenunformungen. Wie schon bemerkt soll uns das Lemma eine Methode zur Berechnung von Determinanten liefern. Wir wissen das wir jede Matrix durch Anwendung der drei elementaren Zeilenumformungen auf Stufenform bringen können, und das Lemma sagt uns wie sich die Determinante bei Anwendung dieser Zeilenumformungen verhält. Damit kann die Berechnung einer allgemeinen Determinante auf die Berechnung der Determinante einer Matrix in Stufenform zurückgeführt werden. Etwas allgemeiner behandeln wir gleich Determinanten von Dreiecksmatrizen. 18-9

10 Lemma 8.4 (Determinante von Dreiecksmatrizen) Seien n N mit n 1, K {R, C} und a 11 a 11 A =... oder A =... a nn a nn eine obere oder eine untere Dreiecksmatrix. Dann ist det A = a a nn. Beweis: Schreibe wieder a 11 a 1n A = a n1 a nn Zunächst sei A eine obere Dreiecksmatrix, also a ij = 0 für 1 j < i n. Sei π S n. Gibt es dann ein 1 i n mit π(i) < i, so ist a i,π(i) = 0 und somit auch a 1,π(1)... a n,π(n) = 0. Ist dagegen π(i) i für jedes 1 i n, so ist π(n) n, also π(n) = n, und weiter π(n 1) n 1 also π(n 1) = n 1 oder π(n 1) = n, und wegen π(n 1) π(n) = n sogar π(n 1) = n 1. So fortfahrend folgt dann π(i) = i für alle 1 i n. Es gibt in det A also höchstens einen von Null verschiedenen Summanden, nämlich derjenige zur identischen Permutation und da diese Permutation gerade ist, folgt det A = a a nn. Ist A eine untere Dreiecksmatrix, so ist A t eine obere Dreiecksmatrix und mit Lemma 3.(a) folgt die Behauptung auch in diesem Fall. Wir rechnen ein Beispiel = = = = = Man ist allerdings nicht gezwungen so stur den Gaußschen Algorithmus abzuarbeiten, oft kann man sich die Arbeit durch Mischen von Zeilen- und Spaltenoperationen erleichtern. Dies geschieht etwa im folgenden Beispiel wo wir zuerst Vielfache der ersten 18-10

11 Zeile von der dritten und vierten Zeile abziehen und anschließend die zweite und dritte Spalte von der ersten Spalte subtrahieren = = = nach Lemma 3.(f). Dies ist schon eine durchaus effektive Methode zur Berechnung von Determinanten. Bevor wir fortfahren wollen wir noch ein oft nützliches Korollar aus unserem Lemma über Dreiecksmatrizen festhalten. Korollar 8.5 (Determinanten von Blockdreiecksmatrizen) Seien n N mit n 1, K {R, C} und A eine n n-matrix über K der Form D 1 D 1 D A = 2... oder A = D 2... mit quadratischen Untermatrizen D 1,..., D r. Dann gilt D r det A = det(d 1 )... det(d r ). D r Beweis: Zunächst sei A eine obere Blockdreiecksmatrix habe also die links stehende Form. Für jedes 1 i r überführe D i durch Vertauschen von Zeilen und Addition von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile in eine obere Dreiecksmatrix D i und bezeichne s i die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen. Lassen wir die dabei verwendeten elementaren Zeilenumformungen dann auch auf ganz A wirken, so wird A in eine Matrix A der Form D 1 A D 2 =... überführt, und s := r i=1 s i ist die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen. Mit Lemma 3.(d,e) folgen D r det A = ( 1) s det A und det D i = ( 1) s i det D i 18-11

12 für alle 1 i r. Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, und damit gilt nach Lemma 4 r det A = det D i. Insgesamt ist damit i=1 det A = ( 1) s det A = r ( 1) s i det D i = i=1 r det D i, i=1 und die Aussage ist für obere Blockdreiecksmatrizen bewiesen. Mit Lemma 3.(a) folgt dann auch die Aussage über untere Blockdreiecksmatrizen. Beispielsweise ist damit = = 10 ( 3) = 30, da es sich hier um eine untere Blockdreiecksmatrix mit den beiden 2 2-Kästchen ( ) ( ) D 1 = und D = 9 3 handelt