Dreiecksmatrizen. Die Treppennormalform

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1 Dreiecksmatrizen. Die Treppennormalform Lineare Algebra I Kapitel Mai 202

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 4-6 Webseite: holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag :30-3 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag 0-2 im MA004, Mittwoch 8-0 im H004 Klausur? Mittwoch 8-0 H004 Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden

3 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A = A T.

4 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A = A T. Beweis: Seien A = [a ij ], B = [b ij ] R n,n Permutationsmatrizen, C = A B = [c ij ] mit b n j c ij = a ik b kj = [a i,..., a in ].. k= b nj

5 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A = A T. Beweis: Seien A = [a ij ], B = [b ij ] R n,n Permutationsmatrizen, C = A B = [c ij ] mit b n j c ij = a ik b kj = [a i,..., a in ].. k= b nj Da es nur genau ein Element a ik gibt, welches von 0 verschieden (nämlich = ) ist, und genau ein Element b kj, welches von 0 verschieden (= ) ist, so gibt es in jeder Zeile und in jeder Spalte von C genau ein von Null verschiedenes Element (= ), nämlich dort, wo a ik = b kj = ist. Sei A A T = C = [c ij ]. Dann gilt: c ij = n a ik a jk = δ ij. k=

6 Invertierung von Dreiecksmatrizen I Theorem Die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen in R n,n ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. (Analoges gilt für invertierbare untere Dreiecksmatrizen.)

7 Invertierung von Dreiecksmatrizen I Theorem Die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen in R n,n ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. (Analoges gilt für invertierbare untere Dreiecksmatrizen.) Beweis: Es seien A = [a ij ], B = [b ij ] invertierbare obere Dreiecksmatrizen in R n,n. Wir müssen für die Abgeschlossenheit der Menge (unter Multiplikation) zunächst beweisen, dass A B wieder eine obere Dreiecksmatrix ist. Sei C = A B = [c ij ]. Für i > j gilt c ij = n a ik b kj k= = j a ik b kj (da b kj = 0 für k > j) k= = 0. (da a ik = 0 für i > k)

8 Invertierung von Dreiecksmatrizen II Die Gültigkeit von (Ass ) und (Eins) ist klar. Nun müssen wir noch zeigen, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist (die Existenz der Inversen ist klar nach Voraussetzung).

9 Invertierung von Dreiecksmatrizen II Die Gültigkeit von (Ass ) und (Eins) ist klar. Nun müssen wir noch zeigen, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist (die Existenz der Inversen ist klar nach Voraussetzung). Wie bekommen wir A? Wir suchen C = [c ij ], so dass CA = AC = I n, d.h., für alle j =,..., n gilt a a n c j δ j ( { )..., i = j. = δ ij = 0, sonst a nn. c nj. δ nj

10 Invertierung von Dreiecksmatrizen II Die Gültigkeit von (Ass ) und (Eins) ist klar. Nun müssen wir noch zeigen, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist (die Existenz der Inversen ist klar nach Voraussetzung). Wie bekommen wir A? Wir suchen C = [c ij ], so dass CA = AC = I n, d.h., für alle j =,..., n gilt a a n c j δ j ( { )..., i = j. = δ ij = 0, sonst a nn. c nj. δ nj Wenn wir uns die letzte Zeile anschauen, haben wir sofort, dass aus a nn c nj = δ nj folgt, dass c nj = δ nj ann und damit folgt aus der Existenz der Inversen von A, dass a nn invertierbar sein muss.

11 Invertierung von Dreiecksmatrizen II Die Gültigkeit von (Ass ) und (Eins) ist klar. Nun müssen wir noch zeigen, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist (die Existenz der Inversen ist klar nach Voraussetzung). Wie bekommen wir A? Wir suchen C = [c ij ], so dass CA = AC = I n, d.h., für alle j =,..., n gilt a a n c j δ j ( { )..., i = j. = δ ij = 0, sonst a nn. c nj. δ nj Wenn wir uns die letzte Zeile anschauen, haben wir sofort, dass aus a nn c nj = δ nj folgt, dass c nj = δ nj ann und damit folgt aus der Existenz der Inversen von A, dass a nn invertierbar sein muss. Dann erhalten wir aus der vorlezten Zeile, dass a n,n c n,j + a n,n c nj = δ n,j, und damit c n,j = a n,n (δ n,j a n,n c nj ).

12 Invertierung von Dreiecksmatrizen III Wieder folgt aus der Existenz der Inversen von A die Existenz von a n,n. Wir zeigen nun per Induktion, rückwärts, dass C obere Dreiecksmatrix ist und die folgende Formel für die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix (Rückwärts-Einsetzen) für j =,..., n gilt: c nj = ann δ nj, ( c ij = a ii δ ij n k=i+ a ik c kj ), i = n,...,.

13 Invertierung von Dreiecksmatrizen III Wieder folgt aus der Existenz der Inversen von A die Existenz von a n,n. Wir zeigen nun per Induktion, rückwärts, dass C obere Dreiecksmatrix ist und die folgende Formel für die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix (Rückwärts-Einsetzen) für j =,..., n gilt: c nj = ann δ nj, ( c ij = a ii δ ij n k=i+ a ik c kj ), i = n,...,. Dann: I.A.: c nj = δ nj a nn (= 0 für j < n).

14 Invertierung von Dreiecksmatrizen III Wieder folgt aus der Existenz der Inversen von A die Existenz von a n,n. Wir zeigen nun per Induktion, rückwärts, dass C obere Dreiecksmatrix ist und die folgende Formel für die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix (Rückwärts-Einsetzen) für j =,..., n gilt: c nj = ann δ nj, ( c ij = a ii δ ij n k=i+ a ik c kj ), i = n,...,. Dann: I.A.: c nj = δ nj ann (= 0 für j < n). I.V.: Für ein l und für k mit l k n gelte die Formel für c k,j für alle j =,... n. Insbesondere sei c kj = 0 für k = j +,..., n.

15 Invertierung von Dreiecksmatrizen III Wieder folgt aus der Existenz der Inversen von A die Existenz von a n,n. Wir zeigen nun per Induktion, rückwärts, dass C obere Dreiecksmatrix ist und die folgende Formel für die Inverse einer oberen Dreiecksmatrix (Rückwärts-Einsetzen) für j =,..., n gilt: c nj = ann δ nj, ( c ij = a ii δ ij n k=i+ a ik c kj ), i = n,...,. Dann: I.A.: c nj = δ nj ann (= 0 für j < n). I.V.: Für ein l und für k mit l k n gelte die Formel für c k,j für alle j =,... n. Insbesondere sei c kj = 0 für k = j +,..., n. I.S.: Dann gilt für die Spalte l : ( c l,j = a l,l und damit folgt die Behauptung. δ l,j ) n a l,k c kj k=l

16 Beispiel. Invertierung von Diagonalmatrizen Beispiel. Wir haben A = und

17 Beispiel. Invertierung von Diagonalmatrizen Beispiel. Wir haben A = und A =

18 Beispiel. Invertierung von Diagonalmatrizen Beispiel. Wir haben A = und A = Theorem Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine kommutative multiplikative Gruppe.

19 Beispiel. Invertierung von Diagonalmatrizen Beispiel. Wir haben A = und A = Theorem Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine kommutative multiplikative Gruppe. Beweis: Die Abgeschlossenheit des Produktes, und die Gesetze (Ass ) und (Eins) sind klar. Seien A = [a ij ], B = [b ij ] Diagonalmatrizen. C = A existiert nach Voraussetzung. Aus der Formel für die Inverse folgt c ij = δ ij a ii, i, j =,..., n. Also ist C Diagonalmatrix. Weiterhin gilt A B = diag(a b,..., a nn b nn ) = diag(b a,..., b nn a nn ) = B A.

20 Elementarmatrizen Versuchen wir, die Matrix erst auf eine Dreiecksform zu bringen, und zwar durch Multiplikation mit Matrizen, deren Inverse wir leicht berechnen können. Diese sogenannten Elementarmatrizen führen elementare Operationen aus: Vertauschung zweier Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

21 Es sei P ij R n,n für i < j n die Permutationsmatrix P ij := i j i j.

22 Es sei P ij R n,n für i < j n die Permutationsmatrix P ij := i j. i j Ist A R n,m, so werden durch die Multiplikation P ij A die Zeilen i und j in A vertauscht. Beachte: P ij = Pij T = P ij.

23 Es sei M i (λ) R n,n für i n, λ R invertierbar die Matrix... M i (λ) := λ i.... Ist A R n,m, so wird durch die Multiplikation M i (λ)a die i-te Zeile von A mit λ multipliziert. Beachte: M i (λ) = M i ( λ ). i

24 Es sei G ij (λ) R n,n für i < j n, λ R die Matrix G ij (λ) := λ... i j i j.

25 Es sei G ij (λ) R n,n für i < j n, λ R die Matrix G ij (λ) := λ... i j. i j Es sei A R n,m. Durch die Multiplikation G ij (λ)a wird das λ-fache der i-ten Zeile von A zur j-ten Zeile addiert. Durch die Multiplikation Gij T (λ)a wird das λ-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile von A addiert. Beachte: [G ij (λ)] = G ij ( λ).

26 Die Treppennormalform Hauptsatz. Sei K ein Körper, A K n,m. Dann gibt es Elementarmatrizen T,..., T t K n,n, so dass T t T A in Treppennormalform ist. Insbesondere, falls n = m und A invertierbar ist, so ist T t T A = I, d.h., A = T t T oder A = T Tt.

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