Kuhn-Tucker Bedingung

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1 Kapitel 13 Kuhn-Tucker Bedingung Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 1 / Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne das Maximum der Funktion f (x, y) g(x, y) c, x, y 0 : Wir suchen das Maximum von f (x, y) = (x 5) (y 5) x + y 9, x, y 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung / Graphische Lösung Im Falle von zwei Variablen können wir das Problem graphisch lösen. 1. Zeichne die Nebenbedingung g(x, y) c in die xy-ebene ein. (Fläche in der Ebene). Zeichne geeignete Niveaulinien der zu optimierenden Funktion f (x, y) ein. 3. Untersuche an Hand der Zeichnung welche Niveaulinien den zulässigen Bereich schneiden und bestimme die ungefähre Lage des Maximums. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 3 /

2 Graphische Lösung Maximum in (,; 4,3) Maximum von f (x, y) = (x 5) (y 5) gegeben g(x, y) = x + y 9, x, y 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 4 / Graphische Lösung Maximum in (1,1) Maximum von f (x, y) = (x 1) (y 1) gegeben g(x, y) = x + y 9, x, y 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 5 / Optimierung unter Nebenbedingungen Berechne das Maximum der Funktion f (x 1,..., x n ) g 1 (x 1,..., x n ) c 1. g k (x 1,..., x n ) c k x 1,..., x n 0 (Nichtnegativitätsbedingung) Optimierungsproblem: max f (x) gegeben g(x) c und x 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 6 /

3 Nichtnegativitätsbedingung Funktion f in einer Variable mit Nichtnegativitätsbedingung. Für ein Maximum x gilt: x liegt im Inneren des zulässigen Bereichs: x > 0 und f (x ) = 0. x liegt am Rand: x = 0 und f (x ) 0. Zusammengefasst: f (x ) 0, x 0 und x f (x ) = 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 7 / Nichtnegativitätsbedingung Im Falle einer Funktion f (x) in mehreren Variablen erhalten wir für jede Variable x j so eine Bedingung: f xj (x ) 0, x j 0 und x j f xj (x ) = 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 8 / Schlupfvariable Maximiere f (x 1,..., x n ) g 1 (x 1,..., x n ) + s 1 = c 1. g k (x 1,..., x n ) + s k = c k Lagrange-Funktion: x 1,..., x n 0 s 1,..., s k 0 (neue Nichtnegativitätsbedingung) L(x, s, λ) = f (x 1,..., x n ) + k i=1 λ i (c i g i (x 1,..., x n ) s i ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 9 /

4 Schlupfvariable L(x, s, λ) = f (x 1,..., x n ) + k i=1 Berücksichtigen der Nichtnegativitätsbedingung: 0, x j 0 und x j = 0 x j x j 0, s i 0 und s i = 0 s i s i λ i (c i g i (x 1,..., x n ) s i ) λ i = 0 (keine Nichtnegativitätsbedingung) Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 10 / Eliminieren der Schlupfvariablen Wegen s i = λ i wird die zweite Zeile zu Aus λ i 0, s i 0 und λ i s i = 0 λ i = c i g i (x) s i = 0 folgt s i = c i g i (x) und wir erhalten daher: λ i 0, c i g i (x) 0 und λ i (c i g i (x)) = 0 Jetzt brauchen wir die Schlupfvariablen nicht mehr. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 11 / Eliminieren der Schlupfvariablen Verwenden statt L die Lagrange-Funktion Es gilt: L(x, λ) = f (x 1,..., x n ) + = x j x j und k i=1 λ i (c i g i (x 1,..., x n )) λ i = c i g i (x) Wir können daher die zweite Zeile der Bedingungen für ein lokales Maximum unter Nebenbedingungen schreiben als λ i 0, 0 und λ i = 0 λ i λ i Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 1 /

5 Kuhn-Tucker Bedingung L(x, λ) = f (x 1,..., x n ) + k i=1 λ i (c i g i (x 1,..., x n )) Die Kuhn-Tucker Bedingung für ein (lokales) Maximum lauten: 0, x j 0 und x j = 0 x j x j 0, λ i 0 und λ i = 0 λ i λ i Die Kuhn-Tucker Bedingung ist nicht hinreichend. (Analog zu kritischen Punkten). Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 13 / Wir suchen das Maximum von f (x, y) = (x 5) (y 5) x + y 9, x, y 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 14 / Lagrange-Funktion: L(x, y; λ) = (x 5) (y 5) + λ(9 x y) Kuhn-Tucker-Bedingung: (A) L x = (x 5) λx 0 (B) L y = (y 5) λ 0 (C) L λ = 9 x y 0 (N) x, y, λ 0 (I) x L x = x((x 5) + λx) = 0 (II) y L y = y((y 5) + λ) = 0 (III) λ L λ = λ(9 x y) = 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 15 /

6 Schreiben (I) (I I I) an als (I) x = 0 oder (x 5) + λx = 0 (II) y = 0 oder (y 5) + λ = 0 (III) λ = 0 oder 9 x y = 0 Müssen nun alle 8 Möglichkeiten ausrechnen, und überprüfen ob die entsprechenden Lösungen die Ungleichungen (A), (B), (C) und (N) erfüllen. Falls λ = 0 (III, links), dann gibt es wegen (I) und (II) vier Lösungen für (x, y; λ): (0,0; 0), (5,0; 0), (0,5; 0) und (5,5; 0). Keiner dieser Punkte erfüllt alle Ungleichungen (A), (B) und (C). Daher: λ = 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 16 / Wenn λ = 0, dann gilt wegen (III, rechts): y = 9 x. Wenn nun λ = 0 und x = 0, dann ist y = 9 und wegen (II, rechts), λ = 8. Ein Widerspruch zu (N). Wenn λ = 0 und y = 0, dann ist x = 3 and wegen (I, rechts), λ = 3. Ein Widerspruch zu (B). Alle drei Variablen müssen daher ungleich 0 sein. Daher ist y = 9 x und λ = (y 5) = (4 x ). Eingesetzt in (I) erhalten wir (x 5) 4(4 x )x = 0 und x = 11+1,158 y = ,34 λ = 11 1,317 Die Kuhn-Tucker-Bedingung wird daher nur vom Punkt ( (x, y; λ) = 11+1, 1 11 ; ) 11 erfüllt. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 17 / Kuhn-Tucker Bedingung Die Kuhn-Tucker Bedingung ist leider auch nicht notwendig! D.h., es gibt Optimierungsprobleme, in denen das Maximum die Kuhn-Tucker Bedingung nicht erfüllt. Maximum Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 18 /

7 Der Satz von Kuhn-Tucker Wir brauchen ein Werkzeug, um festzustellen, ob ein Punkt ein (globales) Maximum ist. Das ist aber nicht immer leicht. Der Satz von Kuhn-Tucker gibt für einen Spezialfall eine hinreichende Bedingung: (1) Die Zielfunktion f (x) sei differenzierbar und konkav. () Die Funktionen der Nebenbedingungen g i (x), i = 1,..., k, seien alle differenzierbar und konvex. (3) Der Punkt x erfüllt die Kuhn-Tucker-Bedingung. Dann ist x ein globales Maximum von f unter den Nebenbedingungen g i c i. Das Maximum ist eindeutig, wenn die Funktion f streng konkav ist. Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 19 / Wir suchen das Maximum von f (x, y) = (x 5) (y 5) x + y 9, x, y 0 Die Hessematrizen von f (x, y) und g(x, y) = x + y lauten ( ) ( ) 0 0 H f = und H g = Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 0 / ( ) 0 H f = 0 ( ) 0 und H g = 0 0 (1) f ist streng konkav. () g ist konvex. ( (3) Der Punkt (x, y; λ) = 11+1, 1 11 ; ) 11 erfüllt die Kuhn-Tucker-Bedingung. Daher ist nach dem Satz von Kuhn-Tucker x = ( 11+1 gesuchte globale Maximum., 1 11 ) das Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 1 /

8 Zusammenfassung Optimierung unter Nebenbedingungen Graphische Lösung Lagrange-Funktion Kuhn-Tucker Bedingung Satz von Kuhn-Tucker Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung /