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- Maike Meyer
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1 PRÜFUNG STATISTIK VO 19. März 2010 Name...LÖSUNGEN...Vorname... Matrikelnummer... Einsichtnahme: Di, 20. April 2010 BITTE DEUTLICH UND LESERLICH SCHREIBEN! Es wird nur gewertet, was in diesem Exemplar steht. Exemplar nicht zerlegen! Rechengänge sind nachvollziehbar anzugeben, Antworten zu begründen. Die gestellten FRAGEN sind zu BEANTWORTEN! Summe. Note.. Je 12 Punkte pro Beispiel, gesamt 60 Punkte Notenschlüssel: ab 33 genügend, ab 40 befriedigend, ab 47 gut, ab 54 sehr gut 1
2 1. Für den Klärschlamm von Abwasseranlagen gibt es gesetzliche Grenzwerte für den Gehalt an Quecksilber. Dieser Wert liegt bei maximal 10 mg/kg Trockensubstanz. Man hat nun bis März 2009 einige Jahre lang, insgesamt 150 mal, den Hg-Gehalt gemessen und erhielt dabei folgende, schon klassierte Werte für den Quecksilbergehalt (in mg/kg): mg Hg [0, 1 ] ]1, 2 ] ]2, 5 ] ]5, 10] Klassenhäufigkeit a. Geben Sie die kumulierten relativen Klassenhäufigkeiten an. Was bedeutet und wie groß ist die kumulierte relative Häufigkeit an der Stelle 5? b. Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in dieser Zeichnung den Median. c. Berechnen sie - soweit wie möglich - Mittelwert und Standardabweichung. d. Im April 2009 ist eine neue Fabrik an diese Kläranlage angeschlossen worden und es wurden seither weitere 30 Messungen durchgeführt. Diese Messungen ergaben einen Mittelwert von Berechnen Sie den Gesamtmittelwert aus allen Daten! a. 60% der Werte liegen unter 5 b. (0,0) (1, 0.053) (2, 0.247) (5, 0.6) (10, 1) Median ca. bei 4.15 c. Mittelwert Sigma d
3 2. a. Man weiß, dass zwölf Prozent aller Kläranlagen einen zu hohen (über 10 mg/kg) Quecksilbergehalt im Klärschlamm aufweisen. a1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man bei acht untersuchten Anlagen mehr als zwei finden, bei denen der Hg - Wert zu hoch ist? a2. Wenn die Anzahl von jährlichen Giftunfällen mit Quecksilber als poissonverteilte Zufallsgröße betrachtet wird, wobei deren Erwartungswert beträgt, wie ist dann die Anzahl von derartigen Unfällen innerhalb von 20 Jahren verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann innerhalb von 20 Jahren mindestens ein solcher Unfall auftreten? b. Der Hg-Gehalt in Klärschlamm einer bestimmten Anlage sei eine mit Erwartungswert µ = 9.8 und der Standardabweichung σ = 4.5 normalverteilte Zufallsgröße Y. b1. Berechnen Sie die drei Wahrscheinlichkeiten P(Y > 10), P(Y = 9.5) sowie P(6 < Y < 10) b2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße Mittelwert aus 30 genau wie Y verteilten unabhängigen Zufallsgrößen einen Wert über an? (3 + 3) + (3 + 3) a1: 6.08% a2: 9.5% b1: 48.4%, 0%; 31,6% b2. Praktisch Null 3
4 3. Man hat aus insgesamt 81 Messungen von Quecksilber in Klärschlamm einen Mittelwert von 6.78 [mg/kg] bei einer Stichprobenstandardabweichung von s = 3.46 errechnet. Angenommen, der Quecksilbergehalt unterliege einer Normalverteilung. a. Bestimmen Sie ein zweiseitiges 99-Prozent-Konfidenzintervall für dessen Erwartungswert b. Lässt sich aus den vorliegenden Daten mit einer Sicherheit von mindestens 90 Prozent zeigen, dass dessen Standardabweichung unter vier liegt? Ist dieses Ergebnis auch hochsignifikant, zu einer Sicherheit von 99%? Beachten Sie die Wahl der Hypothesen! a. Konf{5.76 µ 7.79} b. H 1 : σ < 4 Testgröße 59.8 Tabellenwert zu signifikant zu nicht hochsignifikant
5 4. Die Kläranlagen zweier Städte (A) und (B) wurden hinsichtlich des Gehaltes an Quecksilber im Klärschlamm überprüft. An zufällig ausgewählten 30 Tagen wurde in (A), an andren, ebenfalls zufällig gewählten 30 Tagen in (B) gemessen. A ergab den Durchschnittswert 7.9 mg/kg bei einer Stichprobenstandardabweichung von 2.6 B hingegen hatte im Durchschnitt 8.86 bei einem s von 3.7. Setzen Sie nun Normalverteilung und, falls nötig, Varianzhomogenität voraus und beantworten Sie die beide Fragen: Formulieren Sie bei allen Fragen immer genau die Null- und Alternativhypothese! a. Kann für beide Städte - aus den Daten zu einem Testniveau α = 0.01 geschlossen werden, dass der Grenzwert von 10 mg/kg eingehalten wird? b. Lässt sich mit 95%iger Sicherheit schließen, dass A signifikant niedrigeren Hg-Gehalt aufweist als B? Geht das auch zum Testniveau 0.001? a. H 1 : µ<10 K = ], 2.462] A: t 0 = 4.4 JA B: t 0 = 1.68 NEIN b. H 1 : µ B > µ A Eingabe: Mittelwert A= 7,9 na = 30 MittelwertB= 8,86 nb = 30 2,6 (=stabw(a) 6,76 (VAR(A)) 3,7 (=stabw(b) 13,69 (VAR(B)) Hilfsgrössen: TABELLENWERT: 0, Hilfsgröße s = 3, zweiseitiger Test Hilfsgröße nn 3, einseitig: Testgröße t Test = -1,1627 Testgröße F-Test = 0,4938 bzw: Kehrwert 2,0251 Kein signifikanter Unterschied! 5
6 5. Eine weltweit tätige Firma für Abwassersysteme sucht bestqualifizierte Mitarbeiter. Acht Personen kamen in die Entscheidung. Im nächsten Schritt wurden diese Kandidaten unter anderem nach folgenden beiden Kriterien bewertet: Kriterium 1: Zeit zum Lösen von zehn vorgegebenen Rechenaufgaben [Minuten] Kriterium 2: Platzierung bei einer Englisch-Sprachbeherrschungsprüfung Kandidat A B C D E F G H K1: Zeit K2: Platz: a. Macht es hier Sinn, hier eine Regressionsgerade zu berechnen? Begründung! b. Bestimmen Sie eine geeignete Kennzahl um den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen zu beschreiben! c. Fassen Sie diese acht Personen als Stichprobe auf und testen Sie zum Niveau α = 0.1 ob eine Korrelation zwischen den Leistungen im Rechnen und jenen in Englisch signifikant ist. Führen Sie den dazu geeigneten Test durch. (Verwenden Sie für die Testgröße trotz genaugenommen zu kleinen Stichprobenumfanges die Normalverteilungsapproximation!) a. Nein, zweites Merkmal nur rangskaliert b. r s = , geringe bis mittlere positive Korrelation, schneller im rechnen geht einher mit eher besserer Platzierung in Englisch Rang Zeit K1: Zeit K2: Platz: di Hilfsgröße d i 2 = c. Testgröße ungefähr normalverteilt, E(D) = 84, σ(d) = t 0 = (positive) Korrelation ist signifikant 6
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