2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

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1 $Id: diff.tex,v /06/09 16:32:35 hk Exp hk $ 2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 2.3 Berandete und unberandete Mannigfaltigkeiten In der letzten Sitzung haben wir uns mit orientierbaren Mannigfaltigkeiten beschäftigt und mit dem Satz über die Orientierbarkeit von Quotienten M/G auch ein nützliches Kriterium erhalten um nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Um dieses Kriterium auszuwerten muss man von einem gegebenen lokalen Diffeomorphismus nachweisen können ob er orientierungserhaltend ist oder nicht. Sofern wir orientierte Präatlanten der betrachteten Mannigfaltigkeiten kennen ist dies rechnerisch leicht zu überprüfen. Wir beschreiben hier den unberandeten Fall, im berandeten Fall ist dann alles analog. Seien also (M, A M ) und (N, A N ) zwei orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeiten derselben Dimension n und sei f : M N ein lokaler Diffeomorphismus. Dann behaupten wir, dass f genau dann orientierungserhaltend ist wenn es für jedes x M stets positive Karten ϕ A M von M mit x dom(ϕ) und ψ A N von N mit f(x) dom(ψ) gibt so, dass det(ψ f ϕ 1 ) (ϕ(x)) > 0 gilt. Weiter ist f auch genau dann orientierungserhaltend wenn diese Determinantenbedingung für überhaupt alle Karten ϕ A M, ψ A N mit x dom(ϕ), f(x) dom(ψ) gilt. Dies ist leicht einzusehen. Nehme zunächst an das f orientierungserhaltend, also ein lokaler C n, + -Diffeomorphismus ist. Ist dann x M so gibt es direkt nach der Definition eines lokalen C n, + -Diffeomorphismus Karten ϕ A M, ψ A N mit x dom(ϕ), f(x) dom(ψ) und ψ f ϕ 1 C n, +, also ist die Determinantenbedingung für diese Karten erfüllt. Nehme jetzt an das es positive Karten ϕ A M, ψ A N mit x dom(ϕ), f(x) dom(ψ) und det(ψ f ϕ 1 ) (ϕ(x)) > 0 gibt. Sind dann θ A M, η A N zwei beliebige positive Karten mit x dom(θ), f(x) dom(η), so haben wir wegen θ ψ 1 C n, + und ϕ η 1 C n, + auch det(η f θ 1 ) (θ(x)) = det((η ψ 1 ) (ψ f ϕ 1 ) (ϕ θ 1 )) (θ(x)) = det(η ψ 1 ) (ψ(f(x))) det(ψ f ϕ 1 ) (ϕ(x)) det(ϕ θ 1 ) (θ(x)) > 0. Nehme schließlich an das für alle x M und alle Karten ϕ A M, ψ A N mit x dom(ϕ), f(x) dom(ψ) stets det(ψ f ϕ 1 ) (ϕ(x)) > 0 gilt. Sei x M. Da f ein lokaler Diffeomorphismus ist, gibt es dann Karten θ von M mit x dom(θ) 13-1

2 und η von N mit f(x) dom(η) so, dass η f θ 1 C n, ist. Nach Lemma 28.(b) gibt es dann eine in N offene, zusammenhängende Menge V mit f(x) V dom(η) und eine in M offene, zusammenhängende Menge U mit x U dom(θ) f 1 (V ). Nach Lemma 20.(a) sind auch θ U eine Karte von M und η V eine Karte von N mit (η V ) f (θ U) 1 = η f θ 1 θ(u) C n,. Ist σ wie in Satz 30, so können wir nach Satz 30.(b) auch ψ {η V, σ (η V )} A N und ϕ {θ U, σ (θ U)} A M wählen und haben wieder ψ f ϕ 1 C n,. Wegen det(ψ f ϕ 1 ) (ϕ(y)) > 0 für alle y dom(ϕ) ist dann sogar ψ f ϕ 1 C n, + und f ist orientierungserhaltend. Kommen wir zu einem Beispiel. Wir hatten das Möbiusband als den Quotienten M = U/Z definiert, wobei U = R ( 1, 1) ist und Z durch (x, y) n = (x + n, ( 1) n y) für x R, y ( 1, 1), n Z auf U wirkt. Wir hatten gesehen das diese Wirkung frei diskontinuierlich und mit C 2, verträglich ist und das M/G diffeomorph zum Möbiusband realisiert als eine zweidimensionale, eingebettete Untermannigfaltigkeit des R 3 ist. Insbesondere ist M = U/Z hausdorffsch, also wirkt Z nach Aufgabe (24) sogar stark diskontinuierlich auf U. Korollar 2.33 (Das Möbiusband ist nicht orientierbar) Das Möbiusband ist nicht orientierbar. Beweis: Nach Satz 32.(c) reicht es zu zeigen, dass f := ω 1 : U U; (x, y) (x + 1, y) nicht orientierungserhaltend ist. Verwenden wir auf U die Identität id U Karte und beachten das für alle (x, y) U stets det f (x, y) = = 1 als positive ist, so ergibt die obige Vorbemerkung das f tatsächlich nicht orientierungserhaltend ist. 2.4 C q -Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Bisher haben wir als Abbildungstypen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nur die Diffeomorphismen und die lokalen Diffeomorphismen betrachtet, da sich nur diese im Rahmen allgemeiner G-Mannigfaltigkeiten definieren lassen. Insbesondere konnten nur Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension betrachtet werden. Im abschließenden Abschnitt dieses Kapitels wollen wir jetzt auch allgemeine C q - Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten von nicht notwendig gleicher Dimension einführen. Während man es immer einrichten kann das Koordinatentransformationen unendlich oft differenzierbar sind, will man für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten auch andere Differenzierbarkeitsordnungen behandeln können. Wir 13-2

3 definieren C q -Abbildungen als stetige Funktionen die sich in Koordinaten als gewöhnliche C q -Funktionen beschreiben lassen. Wir formulieren die Definition für berandete Mannigfaltigkeiten da wir diese als den allgemeinen Fall auffassen können, nur für nulldimensionalen Randfall brauchen wir dann eine kleine Ergänzung. Definition 2.27 (C q -Abbildungen) Seien m, n N mit n, m 1 und q N. Weiter seien M eine m-dimensionale und N eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine stetige Abbildung f : M N heißt dann q-fach stetig differenzierbar, symbolisch geschrieben als f C q (M, N), wenn für alle Karten ϕ von M und ψ von N die Abbildung ψfϕ 1 : ϕ(dom(ϕ) f 1 (dom(ψ))) R n eine C q -Abbildung ist. Ist weiter P eine nulldimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, so sei jede stetige Abbildung f : P M beziehungsweise f : M P stets q-fach stetig differenzierbar, und ist Q eine weitere nulldimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit so sei ebenfalls jede stetige Abbildung f : P Q auch q-fach stetig differenzierbar. Die in dieser Definition betrachteten Abbildungen ψ f ϕ 1 sind gerade die Darstellungen von f in Koordinaten, und da f als stetig vorausgesetzt ist handelt es sich um Abbildungen von einer offenen Teilmenge des Halbraums H m in den Halbraum H n, beziehungsweise in den R n. Die q-fach stetig differenzierbaren Abbildungen zwischen solchen Mengen sind dabei wie in 1 durch lokale Fortsetzbarkeit auf offene Teilmengen des R m definiert. Wir stellen jetzt die Grundeigenschaften der eben definierten C q - Funktionen zusammen. In den Aussagen (g) und (h) des Lemmas verwenden wir die in Aufgabe (25) eingeführten Produktmannigfaltigkeiten M N, da diese nur definiert sind wenn höchstens eine der beiden Mannigfaltigkeiten M, N berandet ist müssen wir in den entsprechenden Aussagen fordern das etwa M unberandet ist, beziehungsweise gleichwertig M = voraussetzen. Lemma 2.34 (Grundeigenschaften von C q -Abbildungen) Seien n, m N mit n, m 1 und q N. Weiter seien M eine m-dimensionale und N eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : M N eine stetige Abbildung. (a) Genau dann ist f C q (M, N) wenn es für jedes x M Karten ϕ von M mit x dom(ϕ) und ψ von N mit f(x) dom(ψ) gibt so, dass ψ f ϕ 1 eine C q -Abbildung ist. (b) Genau dann ist f C q (M, N) wenn es für jeden Punkt x M eine offene Umgebung U von x in M mit f U C q (U, N) gibt. (c) Ist f C q (M, N) und ist U M offen in M, so ist auch f U C q (U, N). (d) Ist V N offen in N mit f(m) V, so ist genau dann f C q (M, N) wenn f C q (M, V ) gilt. 13-3

4 (e) Ist f C q (M, N) und sind N eine weitere berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und g C q (N, N ), so ist auch g f C q (M, N ). (f) Es ist id M C (M, M). (g) Ist M =, so sind die Projektionen pr 1 : M N M und pr 2 : M N N beides C -Abbildungen, d.h. pr 1 C (M N, M) und pr 2 C (M N, N). (h) Sind N eine weitere berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit mit N = und g : M N, g : M N zwei Abbildungen, so ist genau dann (g, g) C q (M, N N), wenn g C q (M, N) und g C q (M, N ) sind. (i) Ist f konstant, so ist f C q (M, N). (j) Genau dann ist f ein Diffeomorphismus wenn f bijektiv ist und f C (M, N) und f 1 C (N, M) beides C -Abbildungen sind. Beweis: (a) = Klar da jeder Punkt von M beziehungsweise N im Definitionsbereich einer Karte liegt. = Seien ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N. Dann haben wir die offene U := ϕ(dom(ϕ) f 1 (dom(ψ))) des Halbraums H n und wir müssen einsehen das g := ψ f ϕ 1 : U R m eine C q -Abbildung ist. Sei also x U gegeben. Dann ist ϕ 1 (x) dom(ϕ) f 1 (dom(ψ)) M und nach unserer Annahme gibt es Karten θ von M mit ϕ 1 (x) dom(θ) und η von N mit f(ϕ 1 (x)) dom(η) so, dass η f θ 1 eine C q -Abbildung ist. Dann ist auch die Menge V := ϕ(dom(ϕ) dom(θ) f 1 (dom(ψ) dom(η))) offen in H n mit x V U und es gilt ψ f ϕ 1 V = (ψ η 1 ) (η f θ 1 ) (θ ϕ 1 ). Wegen ψ η 1 H n, und θ ϕ 1 H m, sind diese beiden Abbildungen jeweils C - Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen von H n beziehungsweise H m, also ist ψ f ϕ 1 V nach 1.Lemma 11.(c) eine C q -Abbildung. Damit ist ψ f ϕ 1 insgesamt eine C q -Abbildung und auch diese Implikation ist bewiesen. (c) Klar da jede Karte von U auch eine Karte von M ist. (b) = Klar. = Sei x M. Wähle eine offene Umgebung U von x in M mit f U C q (U, N). Wähle Karten ϕ von U mit x dom(ϕ) und ψ von N mit f(x) dom(ψ). Dann ist ψ f ϕ 1 = ψ (f U) ϕ 1 eine C q -Abbildung. Nach (a) ist damit f C q (M, N). (d) = Klar da jede Karte von V auch eine von N ist. = Sind ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N, so ist ψ V dom(ψ) nach Lemma 20.(a) auch eine Karte von N, und somit auch eine Karte von V, und es ist ψ f ϕ 1 = (ψ V dom(ψ)) f ϕ

5 (e) Zunächst ist g f : M N überhaupt stetig. Sei x M. Wähle zunächst eine Karte θ von N mit g(f(x)) dom(θ), dann eine Karte ψ von g 1 (dom(θ)) mit f(x) dom(ψ) und schließlich eine Karte ϕ von f 1 (dom(ψ)) mit x dom(ϕ). Da ψ auch eine Karte von N ist, ist θ g ψ 1 eine C q -Abbildung und da ϕ eine Karte von M ist, ist auch ψ f ϕ 1 eine C q -Abbildung. Nach 1.Lemma 11.(c) ist damit auch θ (g f) ϕ 1 = (θ g ψ 1 ) (ψ f ϕ 1 ) eine C q -Abbildung. Nach (a) ist damit g f C q (M, N ). (f) Sind ϕ, ψ zwei Karten von M, so ist ψ id M ϕ 1 = ψ ϕ 1 H m, eine C - Abbildung. (g) Zunächst sind die beiden Abbildungen pr 1 : M N M und pr 2 : M N N überhaupt stetig. Sei (x, y) M N. Wähle Karten ϕ von M mit x dom(ϕ) und ψ von N mit y dom(ψ). Dann ist ϕ ψ eine Karte von M N mit (x, y) dom(ϕ ψ) und ϕ pr 1 (ϕ ψ) 1 = pr 1 : im(ϕ) im(ψ) im(ϕ), ψ pr 2 (ϕ ψ) 1 = pr 2 : im(ϕ) im(ψ) im(ϕ) sind beides C -Abbildungen. Mit (a) folgt damit pr 1 C (M N, M) und pr 2 C (M N, N). (h) = Wegen g = pr 1 (g, g ) und g = pr 2 (g, g ) ist dies nach (e,g) klar. = Zunächst ist (g, g) : M N N eine stetige Abbildung. Sei x M. Wähle eine Karte ϕ von M mit x dom(ϕ) und Karten ψ von N mit g(x) dom(ψ) sowie ψ von N mit g (x) dom(ψ ). Dann ist ψ ψ eine Karte von N N mit (g, g)(x) = (g (x), g(x)) dom(ψ ψ) und da ψ g ϕ 1 und ψ g ϕ 1 beides C q -Abbildungen sind, ist auch (ψ ψ) (g, g) ϕ 1 = (ψ g ϕ 1, ψ g ϕ 1 ) eine C q -Abbildung. Nach (a) ist (g, g) C q (M, N N). (i) Klar. (j) = Zunächst ist f nach Lemma 21.(a.2) ein Homöomorphismus, d.h. f ist bijektiv und f : M N, f 1 : N M sind beide stetig. Sei x M. Dann existiert eine Karte ψ von N mit f(x) dom(ψ) so, dass ψ f eine Karte von M ist. Dann ist x f 1 (dom(ψ)) = dom(ψ f) und ψ f (ψ f) 1 = id im(ψ) ist eine C -Abbildung. Nach (a) ist f C (M, N). Da nach Lemma 21.(a.3) auch f 1 ein Diffeomorphismus ist, ist ebenso f 1 C (N, M). = Zunächst sind f und f 1 beide stetig, d.h. f ist ein Homöomorphismus. Sei x M. Wähle eine Karte ψ von N mit f(x) dom( ψ) und eine Karte ϕ von f 1 (dom( ψ)), also auch von M, mit x dom(ϕ). Nach Lemma 20.(a) ist auch ψ := ψ f(dom(ϕ)) eine Karte von N und wegen f C (M, N) ist ψ f ϕ 1 : im(ϕ) im(ψ) eine 13-5

6 C -Abbildung. Da auch f 1 C (N, M) ist, ist auch (ψ f ϕ 1 ) 1 = ϕ f 1 ψ 1 eine C -Abbildung, es ist also n = m und θ := ψ f ϕ 1 H n,. Damit ist θ ein Diffeomorphismus und nach Lemma 21.(a.3,c,e) ist auch f dom(ϕ) = ψ 1 θ ϕ : dom(ϕ) dom(ψ) ein Diffeomorphismus. Nach Lemma 22.(b) ist f ein lokaler Diffeomorphismus und nach Lemma 22.(c.2) ist f sogar ein Diffeomorphismus. Wir haben das Lemma für berandete Mannigfaltigkeiten formuliert da es zum einen der allgemeine Fall ist und wir zum anderen nicht alle Kombinationen von berandet und unberandet auflisten wollen. Dadurch wird der Fall nulldimensionaler Mannigfaltigkeiten formal nicht erfasst, für diese sind aber alle Aussagen des Lemmas sowieso klar. Bei der Anwendung auf unberandete Mannigfaltigkeiten kann man anstelle der Karten des H n, -Atlas auch die Karten des C n, -Atlas verwendet ohne das sich irgendetwas ändert, wie wir uns jetzt kurz einmal überlegen wollen. Seien also n, m N mit n, m 1, q N, M eine berandete oder unberandete m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, N eine berandete oder unberandete n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : M N eine stetige Abbildung. Nehme an das f als Abbildung zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten C q ist. Für jedes k N mit k 1 enthält die Pseudogruppe C k, den C -Diffeomorphismus θ k : R k H k \ H k = R k 1 (0, ); (x 1,..., x k 1, x k ) (x 1,..., x k 1, e x k ). Seien ϕ jetzt eine beliebige Karte von M und ψ eine beliebige Karte von N, also im unberandeten Fall eine Karte des C n, -Atlas von N beziehungsweise des C m, -Atlas von M. Setze ϕ := { θ m ϕ, M ist unberandet, ϕ, M ist berandet und ψ := { θ n ψ, M ist unberandet. ψ, M ist berandet Nach Lemma 20.(d) sind ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N und da das Bild im Inneren des jeweiligen Halbraums liegt sind diese beiden auch Karten der berandet interpretierten Mannigfaltigkeiten. Wegen f C q (M, N) ist damit ψ f ϕ 1 eine C q -Abbildung und somit ist auch ψ f ϕ 1 { ψ f ϕ 1, ψ f ϕ 1 θ m, θ 1 n ψ f ϕ 1, θ 1 n ψ f ϕ 1 θ m } eine C q -Abbildung. Die definierende Eigenschaft einer C q -Funktion überträgt sich also auch auf Karten der jeweiligen unberandeten Mannigfaltigkeiten. Analog gilt dann auch Teil (a) des obigen Lemmas für Karten der jeweiligen unberandeten Mannigfaltigkeiten. Wir wollen uns jetzt überlegen das der so definierte Begriff von C q -Abbildungen für eingebettete Untermannigfaltigkeiten genau den in 1 betrachteten Begriff liefert. Wir kombinieren dies gleich mit zwei weiteren Aussagen die die Konstruktion von Beispielen erleichtern. 13-6

7 Lemma 2.35 (C q -Abbildungen zwischen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten) Seien n, d N mit d 1 und n d, q N und M eine eingebettete, n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R d. (a) Sind U R d offen mit M U, N eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und f C q (U, N), so ist auch f M C q (M, N). (b) Sind N eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und f C q (N, R d ) mit f(n) M, so ist auch f C q (N, M). (c) Sind auch m, e N mit e 1 und N eine eingebette m-dimensionale C - Untermannigfaltigkeit des R e so ist eine stetige Abbildung f : M N genau dann in C q (M, N) wenn sie eine C q -Abbildung im Sinne des 1 ist. Beweis: (a) Zunächst ist f : M N stetig. Sei x M. Nach 1.Satz 2.(b) existiert eine Karte ϕ von M im Sinne des 1 mit x dom(ϕ) und nach Definition des Atlas von M ist ϕ auch eine Karte von M als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei ψ eine Karte von N mit f(x) dom(ψ). Verwenden wir auf U die Karte id U so ergibt f C q (U, N) das ψ f = ψ f id 1 U eine Cq -Abbildung ist. Nach 1.Lemma 3 ist ϕ 1 eine Parametrisierung von M, also insbesondere eine C -Abbildung im(ϕ) R n und somit ist auch ψ (f M) ϕ 1 = (ψ f) ϕ 1 eine C q -Abbildung. Nach Lemma 34.(a) ist f M C q (M, N). (b) Zunächst ist f : N M eine stetige Abbildung. Sei x N. Es existieren im R d offene Mengen U, V R d mit f(x) U und ein C -Diffeomorphismus θ : U V mit θ(u M) = V R n. Dann ist ψ := θ U M eine Karte von M im Sinne von 1, also auch eine Karte von M als differenzierbare Mannigfaltigkeit, und es gilt f(x) dom(ψ). Weiter wähle eine Karte ϕ von N mit x dom(ϕ). Verwenden wir auf dem R d die Karte id R d so ergibt f C q (N, R d ) zunächst das f ϕ 1 = id R d f ϕ 1 eine C q -Abbildung ist und damit ist auch ψ f ϕ 1 = θ f ϕ 1 eine C q -Abbildung. Nach Lemma 34.(a) ist damit f C q (N, M). (c) = Sei ϕ eine Karte von M im Sinne von 1, also auch eine Karte der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Sei x dom(ϕ) und sei ψ eine Karte, wieder im Sinne des 1, von N mit f(x) dom(ψ). Dann ist ψ auch eine Karte von N als differenzierbare Mannigfaltigkeit und wegen f C q (M, N) ist ψ f ϕ 1 eine C q -Abbildung. Wieder nach 1.Lemma 3.(i)st ψ 1 eine Parametrisierung von N, also insbesondere eine C -Abbildung im(ψ) R e. Damit ist ϕ(dom(ϕ) f 1 (dom(ψ))) im(ϕ) eine offene Umgebung von ϕ(x) im R n und f ϕ 1 ϕ(dom(ϕ) f 1 (dom(ψ))) = ψ 1 (ψ f ϕ 1 ) ist eine C q -Abbildung. Damit ist f ϕ 1 : im(ϕ) R m eine C q -Abbildung und nach 1.Lemma 8 ist f : M N eine C q -Abbildung im Sinne des 1. = Sei x M. Dann existieren eine offene Umgebung U von x im R d und eine C q -Abbildung g : U R e mit g U M = f U M. Auf U haben wir die Karte 13-7

8 id U und auf dem R e die Karte id R e und da id R e g id 1 U = g eine Cq -Abbildung ist, ist nach Lemma 34.(a) auch g C q (U, R e ). Nach 1.Lemma 1.(a) ist U M eine eingebettete, n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R d, also ist nach (a) auch f U M = g U M C q (U M, R e ). Nach (b) ist damit auch f U M C q (U M, N). Nach Lemma 34.(b) ist damit f C q (M, N). Insbesondere sind die C q -Abbildungen zwischen offenen Teilmengen des R n genau die C q -Abbildungen im üblichen Sinne. Damit sind für jedes n N mit n 1 auch Addition und Multiplikation C -Abbildungen, d.h. + C (R n R n, R n ) und C (R R n, R n ). Weiter seien q N und M eine berandete oder unberandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sind f, g C q (M, R n ), so ist nach Lemma 34.(h) auch (f, g) C q (M, R n R n ) und nach Lemma 34.(e) ist auch f + g = + (f, g) C q (M, R n ) eine C q -Abbildung. Ist weiter λ C q (M) := C q (M, R), so folgt analog auch (λ, f) C q (M, R R n ) und λ f = (λ, f) C q (M, R n ). Insbesondere wird C q (M) mit punktweiser Addition und Multiplikation eine reelle Algebra. Für jede offene Teilmenge U von M ist dann auch C q (U) eine reelle Algebra. Wir wollen jetzt differenzierbare Abbildungen auf einer allgemeinen berandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit konstruieren und insbesondere die Existenz sogenannter Partitionen der Eins beweisen. Für diesen Beweis ist es hilfreich sogenannte Standardkarten zu verwenden. Definition 2.28 (Standardkarten) Seien n N mit n 1 und M eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. (a) Ist x M kein Randpunkt von M so ist eine bei x zentrierte Standardkarte von M eine Karte ϕ von M mit im(ϕ) = R n und ϕ(x) = 0. (b) Ist x M ein Randpunkt von M, so ist eine bei x zentrierte Standardkarte von M eine Karte ϕ von M mit im(ϕ) = H n und ϕ(x) = 0. Eine Karte ϕ von M beziehungsweise M heißt eine Standardkarte wenn es ein x M gibt so, dass ϕ eine bei x zentrierte Standardkarte von M ist. Beachte das eine bei einem inneren Punkt x M einer berandeten Mannigfaltigkeit M zentrierte Standardkarte ϕ von M streng genommen keine Karte von M ist, nach Lemma 21.(e) ist ϕ : dom(ϕ) R n aber zumindest ein Diffeomorphismus. Wir konstruieren jetzt unter anderem beliebig kleine Standardkarten, und wollen hierfür an ein aus den Grundvorlesungen bekanntes Beispiel erinnern. Wir behaupten das die Funktion { e 1/x, x > 0, f : R R; x 0, x

9 unendlich oft differenzierbar ist. Per vollständiger Induktion ergibt sich zunächst das f für jedes n N in R\{0} stets n-fach differenzierbar ist und das es ein Polynom p n R[x] mit f (n) (x) = p n(x) x 3n e 1/x für alle x > 0 gibt, für x < 0 ist dagegen f (n) (x) = 0. Für jedes n N ist dann aber auch ( ) lim f (n) p n (x) 1 (x) = lim x 0 x 0 x 3n e 1/x = lim x 3n p n e x = 0, x x und somit folgt das f unendlich oft differenzierbar mit f (n) (0) = 0 für alle n N ist. Lemma 2.36 (Konstruktion spezieller Diffeomorphismen) Seien n N mit n 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. (a) Sind a, b R mit a < b, so existiert ein monoton steigendes φ C (R) mit 0 φ(x) 1 für alle x R so, dass φ(x) = 0 für x a und φ(x) = 1 für x b gilt. (b) Seien 0 < ɛ < r gegeben. Dann existiert ein C -Diffeomorphismus φ : (0, r) R >0 mit φ(x) = x für alle 0 < x ɛ. (c) Seien z R n und 0 < ɛ < r. Dann existiert ein C -Diffeomorphismus ϕ : B r (z) R n mit den folgenden beiden Eigenschaften: 1. Für alle x B ɛ (z) gilt ϕ(x) = x z. 2. Für jedes u R n mit u = 1 ist ϕ(b r (z) (z + R 0 u)) = R 0 u. (d) Sind a, b R mit 0 < a < b und z R n so existiert ein φ C (R n ) mit 0 φ(x) 1 für alle x R n und φ(x) = 1 für alle x R n mit x z a sowie φ(x) = 0 für alle x R n mit x z b. (e) Sind x M und U eine offene Umgebung von x in M, so existiert eine bei x zentrierte Standardkarte ϕ von M mit so, dass dom(ϕ) kompakt ist. x dom(ϕ) dom(ϕ) U Beweis: (a) Wie eingangs festgehalten ist f : R R; x 13-9 { e 1 x, x > 0, 0, x 0

10 in C (R) ist. Damit ist auch g : R R; x f(x a)f(b x) in C (R) mit g(x) = 0 für x a oder x b und g(x) > 0 für a < x < b. Incbesondere ist c := b g(x) dx > 0, und wir definieren a φ : R R; x 1 c x g(t) dt. Dann ist φ C (R), für x a ist φ(x) = 0 für x b ist φ(x) = c 1 b g(t) dt = 1, a und wegen φ (x) = g(x) 0 für jedes x R ist φ monoton steigend, und somit auch 0 φ(x) 1 für jedes x R. (b) Wähle ein ɛ < a < r. Nach (a) existiert ein ψ C (R) mit 0 ψ(x) 1 für alle x R, ψ(x) = 0 für alle x R mit x ɛ und ψ(x) = 1 für alle x R mit x a. Setzen wir also Φ : ( r, r) R; x 1 + πψ(x) [ ( πx )] 1 + tan 2, 2r 2r so ist Φ C ( r, r) mit Φ(x) 1 für alle x ( r, r), Φ(x) = 1 für x ( r, ɛ] und Φ(x) (π/2r)(1 + tan 2 (πx/2r)) für x [a, r). Wir erhalten die C -Funktion φ : ( r, r) R; x x 0 Φ(t) dt. Wegen φ (x) = Φ(x) 1 für x ( r, r) ist φ streng monoton steigend, also ist das Bild I := φ(0, r) ein offenes Intervall und die Umkehrfunktion φ 1 : I (0, r) ist wieder C, d.h. φ : (0, r) I ist ein C -Diffeomorphismus. Weiter ist φ(0) = 0 und für x R mit 0 < x ɛ gilt φ(x) = x dt = x. Für x [a, r) haben wir dagegen 0 φ(x) = x 0 Φ(t) dt x a Φ(t) dt x a ( ( )) π πt 1 + tan 2 dt 2r 2r = tan ( πx ) tan 2r ( πa ), 2r also insbesondere lim x r φ(x) = und somit ist I = R >0. (c) Nach (b) gibt es einen C -Diffeomorphismus θ : (0, r) R >0 mit θ(x) = x für alle x (0, r) mit 0 < x ɛ. Wir erhalten die Funktion ϕ : B r (z) R n ; x { θ( x z ) x z x z, x z, 0, x = z. Es ist ϕ C (B r (z)\{z}) und da dür alle x B ɛ (z) stets θ( x z ) = x z und somit auch ϕ(x) = x z gilt, ist sogar ϕ C (B r (z)). Ist u R n mit u = 1, 13-10

11 so gilt für alle t > 0 auch ϕ(z + tu) = θ(t)u, es ist also ϕ(z + (0, r)u) = R >0 u und wegen ϕ(z) = 0 auch ϕ(z + [0, r)u) = R 0 u. Weiter folgt das ϕ bijektiv mit der Umkehrfunktion { z + θ 1 ( x ) x ϕ 1 : R n B r (z); x x, x 0, z, x = 0 ist und analog zur Überlegung für ϕ folgt das ϕ 1 C (R n ) ist. Damit ist ϕ ein C -Diffeomorphismus und alles ist bewiesen. (d) Nach (a) existiert ein ψ C (R) mit 0 ψ(x) 1 für alle x R, ψ(x) = 0 für x R mit x a und ψ(x) = 1 für x R mit x b. Setze dann φ : R n R; x 1 ψ( x z ). Sei x R n. Dann ist 0 φ(x) 1, im Fall x z a ist φ(x) = 1 und im Fall x z b haben wir φ(0) = 0. Weiter ist φ C (R n \{z}) und da φ auf B a (z) konstant gleich Eins ist, ist sogar φ C (R n ). (e) Nach Lemma 28.(a) ist M lokalkompakt, und nach Satz 14.(b) existiert eine offene Umgebung V von x in M mit x V V U so, dass V kompakt ist. Ist x M, so setze H := H n und wähle eine Karte ψ von V M, also auch von M, mit x dom(ψ) und ist x M so setze H := R n und wähle eine Karte ψ von V, also auch von M, wieder mit x dom(ψ). Setze z := ψ(x) H. Da das Bild im(ψ) offen in H ist existiert ein r > 0 mit B r (z) H im(ψ). Nach (d) existiert ein C -Diffeomorphismus θ : B r (z) R n mit θ(z) = 0 und θ(b r (z) (z + R 0 u)) = R 0 u für jedes u R n mit u = 1. Im Fall x M ist z = ψ(x) H n und somit auch θ(b r (z) H n ) = u S n 1 H n ϕ(b r (z) (z + R 0 u)) = u S n 1 H n R 0 u = H n, in beiden Fällen gilt also θ(b r (z) H) = H. Nach Lemma 20.(a,d) ist ϕ := (θ B r (z) H) (ψ ψ 1 (B r (z) H)) eine bei x zentrierte Standardkarte von M mit dom(ϕ) V, also auch dom(ϕ) V U und insbesondere ist dom(ϕ) nach Satz 12.(c) kompakt. Wir definieren nun die Partitionen der Eins einer berandeten oder unberandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Definition 2.29 (Partitionen der Eins) Seien n N mit n 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. (a) Seien (A i ) i I und (B j ) j J zwei Familien von Teilmengen von M. Wir nennen (A i ) i I eine Verfeinerung von (B j ) j J wenn es für jedes i I ein j J mit A i B j gibt und eine Verfeinerung mit derselben Indexmenge wenn J = I ist und A i B i für jedes i I gilt

12 (b) Eine Familie (A i ) i I von Teilmengen von M heißt lokalendlich, wenn es für jeden Punkt x M eine offene Umgebung U von x in M mit gibt. (c) Ist f : M R stetig, so heißt der Träger von f. {i I : U A i } < supp(f) := {x M : f(x) 0} (d) Eine Partition der Eins ist eine Familie Φ = (φ i ) i I in C (M) mit φ i (x) 0 für alle x M und i I so, dass die Familie der Träger (supp(φ i )) i I lokalendlich ist, und für jedes x M stets i I φ i(x) = 1 gilt. (f) Eine Partition der Eins Φ = (φ i ) i I heißt einer Familie (A j ) j J untergeordnet wenn die Familie (supp(φ i )) i I eine Verfeinerung der Familie (A j ) j J ist und sie heißt der Familie mit derselben Indexmenge untergeordnet wenn J = I ist und supp(φ i ) A i für jedes i I gilt. Ist (φ i ) i I eine Familie in C (M) und ist die Familie (supp(φ i )) i I der Träger lokalendlich, so gibt es für jedes x M eine offene Umgebung U von x in M für die die Menge J := {i I supp(φ i ) U } endlich ist und damit ist ( ) ( ) φ i U = φ i U C (U) i I i E eine Summe mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Summanden. Nach Lemma 34.(b) erhalten wir eine C -Funktion i I φ i C (M). Wir wollen die folgenden drei Grundtatsachen über die Existenz von Partitionen der Eins beweisen. 1. Zu jeder offenen Überdeckung von M gibt es eine untergeordnete Partition der Eins. 2. Zu jeder offenen Überdeckung von M gibt es eine mit derselben Indexmenge untergeordnete Partition der Eins. 3. Sind A M in M abgeschlossen und U M in M offen mit A U, so existiert eine Funktion φ C (M) mit 0 φ(x) 1 für alle x M so, dass φ A = 1 und supp(φ) U gelten