1. Grundlagen der ebenen Kinematik

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1 Lage: Die Lage eines starren Körpers in der Ebene ist durch die Angabe von zwei Punkten A und P eindeutig festgelegt. Die Lage eines beliebigen Punktes P wird durch Polarkoordinaten bezüglich des Bezugspunktes A beschrieben: x P x A =r AP cos y P y A =r AP sin y y P r AP P x P =x A r AP cos y P =y A r AP sin y A A φ x x A x P Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-1

2 Der Abstand r AP der beiden Punkte ist zeitlich konstant. Die Lage des Körpers zu jedem Zeitpunkt ist durch Angabe der Ortskoordinaten x A und y A des Bezugspunktes A sowie des Winkels φ eindeutig festgelegt. Bemerkung: Der Bezugspunkt A kann auch außerhalb des starren Körpers gewählt werden. In diesem Fall wird der Bezugspunkt A durch eine gedachte starre Verbindung mit dem starren Körper verbunden. A r AP P Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-2

3 Geschwindigkeit: 1. Grundlagen der ebenen Kinematik Aus x P t =x A t r AP cos t, y P t =y A t r AP sin t folgt durch Ableiten nach der Zeit: v Px t =ẋ P t =ẋ A t r AP sin t t v Py t =ẏ P t =ẏ A t r AP cos t t Mit ẋ A =v Ax, ẏ A =v Ay und der Winkelgeschwindigkeit gilt: v Px =v Ax r AP sin =v Ax y P y A v Py =v Ay r AP cos =v Ay x P x A = Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-3

4 y v Py v Px y P v Ay P y P - y A v Px =v Ax y P y A v Py =v Ay x P x A A v Ax y A ω x P - x A x A x P x Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-4

5 Alle Punkte auf dem Körper haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit: Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom gewählten Bezugspunkt: Q P A γ φ ψ P B ψ A γ φ φ = =const. = = = = =const. = = Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-5

6 Wenn die Geschwindigkeitskomponenten v Ax und v Ay eines Bezugspunktes sowie die Winkelgeschwindigkeit ω bekannt sind, kann die Geschwindigkeit eines jeden Punktes des starren Körpers berechnet werden. Vektorielle Darstellung: Jeder Körperpunkt bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit = e z auf einer Kreisbahn um den Bezugspunkt A, der sich selbst mit der Geschwindigkeit v A bewegt. Daher gilt: Der Vektor r AP ändert nur seine Richtung, während seine Länge konstant bleibt. v P t =v A t t r AP t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-6

7 Translation: Wenn die Winkelgeschwindigkeit null ist, haben alle Punkte auf dem Körper die gleiche Geschwindigkeit wie der Bezugspunkt: =0 v P =v A Q P Q Die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Körper ändert ihre Richtung nicht. P Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-7

8 Rotation: Die Geschwindigkeit des Bezugspunktes ist null. Alle Punkte des Körpers bewegen sich auf Kreisbahnen um den ortsfesten Bezugspunkt A. A v A =0 v P = r AP P Q Q P Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-8

9 Beispiel: Punkt A bewegt sich mit der Geschwindigkeit v A entlang der x-achse. y v P y P P x A L α A ω v A x Punkt P bewegt sich mit der Geschwindigkeit v P entlang der y-achse. Bekannt ist die Geschwindigkeit v A. Gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit ω und die Geschwindigkeit v P. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik 3.1-9

10 Mit v Ax =v A und y A =0 folgt aus v Px =0 : 0=v A y P = v A y P = Mit v Ay =0 und x P =0 folgt: v A L sin v P =v Py = x A = v A x A y P = v A cot Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

11 Beschleunigung: 1. Grundlagen der ebenen Kinematik Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit. Für die Komponenten der Geschwindigkeit gilt: a Px =ẍ P = v Ax r AP sin r AP cos a Py =ÿ P = v Ay r AP cos r AP sin Mit v Ax =a Ax, v Ay =a Ay und = folgt: a Px =a Ax r AP sin 2 r AP cos a Py =a Ay r AP cos 2 r AP sin Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

12 Mit r AP cos =x P x A, r AP sin =y P y A gilt auch: a Px =a Ax y P y A 2 x P x A a Py =a Ay x P x A 2 y P y A Aus der vektoriellen Darstellung der Geschwindigkeit folgt: a P = v P = v A r AP ṙ AP =a A r AP r AP Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

13 Beispiel: Kurbeltrieb Die Kurbel OA dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um den Punkt O. Gesucht: Winkelgeschwindigkeit ω AK des Pleuels AK Geschwindigkeit und Beschleunigung des Kolbens K ω R A L K O Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

14 Koordinatensystem: y A R L O α β K x A v K x Gegeben: Gesucht: t = t AK, v K,a K Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

15 Kurbel OA: 1. Grundlagen der ebenen Kinematik Als Bezugspunkt wird Punkt O gewählt. Seine Geschwindigkeit ist null. Die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel ist ω. Damit lassen sich die Komponenten der Geschwindigkeit von Punkt A berechnen: Pleuel AK: v Ax = y A = R sin t v Ay = x A = R cos t Als Bezugspunkt wird Punkt A gewählt. Seine Geschwindigkeit wurde bereits ermittelt. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

16 Für die Geschwindigkeit von Punkt K gilt: v Kx =v Ax AK y K y A = R AK R sin t v Ky =v Ay AK x K x A = R cos t AK x K x A Die Winkelgeschwindigkeit wird aus der Bedingung ermittelt, dass die y-komponente der Geschwindigkeit von Punkt K null sein muss: 0= R cos t AK x K x A AK = R cos t x K x A Mit x K x A =L cos folgt: AK = R L cos t cos Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

17 Für die Geschwindigkeit des Kolbens folgt: v Kx = R sin t R cos t y K y A x K x A = R sin t cos t tan Der Winkel β kann aus dem Sinussatz ermittelt werden: sin t =sin R L sin = R L sin t cos = 1 sin 2 = 1 R L 2 sin 2 t tan = sin cos = R L sin t 1 R/ L 2 sin 2 t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

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19 Für die Beschleunigung des Kolbens folgt zunächst: Aus a Kx = v Kx = 2 R cos t sin t tan R cos t d dt sin =cos d dt = R L cos t cos 2 d dt d folgt: dt = R cos t L cos = AK R Damit gilt: a Kx = 2 sin cos t cos sin t R cos 2 t L cos 3 = 2 R cos t R sin 2 t L cos R cos 2 t L cos 3 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik des starren Körpers Dynamik

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