Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur

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1 David Blottière Patrick Schützdeller WS 6/7 Universität Paderborn Lineare Algebra I Lösung der Probeklausur Aufgabe : M i) M ist linear unabhängig. Seien a,b,c R mit Daraus folgt : Also gilt a = b = c =. a + b + c a + b + c = c = a + c =. =. ii) M ist ein Erzeugendensystem von R 3. < M > ist ein 3-dimensionaler (denn M ist linear unabhängig) R-Untervektorraum des 3-dimensionalen R-Vektorraumes R 3. Also < M >= R 3. iii) M ist ein Erzeugendensystem von R 3, das linear unabhängig ist. Also ist M eine Basis von R 3. M i) Da M ist M nicht linear unabhängig. Zum Beispiel : + + =. ii) M ist kein Erzeugendensystem von R 3. Wir haben < M >=,, und Also dim(< M >) =, und < M > R 3., ist linear unabhängig. iii) Aus i (oder ii) folgt : M ist keine Basis von R 3. M 3 i) M 3 ist nicht linear unabhängig. Wir nehmen an : M 3 ist linear unabhängig. Daraus folgt : dim(< M 3 >) = 4. Aber < M 3 > ist ein Untervektorraum von R 3. Also dim(< M 3 >) 3. Widerspruch.

2 ii) M 3 ist ein Erzeugendensystem von R 3. Wir bemerken : M M 3. Damit < M > < M 3 > R 3. Wir wissen auch, dass < M >= R 3. Also < M 3 >= R 3. iii) Aus i folgt : M 3 ist keine Basis von R 3. M 4 i) M 4 ist nicht linear unabhängig. M 4 ist ein Untervektorraum von R 3. Also M 4. Daraus folgt : M 4 ist nicht linear unabhängig. ii) M 4 ist ein Erzeugendensystem von R 3. Wir sehen, dass,, linear unabhängig ist. Also ist < M 4 > ein 3-dimensionaler R-Untervektorraum des 3-dimensionalen R-Vektorraumes R 3. Damit < M 4 >= R 3. iii) Aus i folgt : M 4 ist keine Basis von R 3. M 5 i) Wir sehen, dass M 5 linear unabhängig ist. ii) M 5 ist kein Erzeugendensystem von R 3. dim(< M 5 >) = 3. Also < M 5 > R 3. iii) Aus ii folgt : M 5 ist keine Basis von R 3. M 6 i) M 6 ist nicht linear unabhängig. Zum Beispiel : ii) M 6 ist kein Erzeugendensystem von R 3. Aus folgt : < M 6 >=. Also dim(< M 6 >) = 3. Damit < M 6 > R 3. =. iii) Aus ii folgt : M 6 ist keine Basis von R 3.

3 Aufgabe : (A) ist richtig. Begründung : Es gilt rkf = dim Im(f). Zusammen mit der Dimensionsformel erhält man also n = dim V = dim Ker(f) + dim Im(f) = dim Ker(f) }{{} = Damit ist Ker(f) ein n-dimensionaler Unterraum des n-dimensionalen Vektorraumes V und damit gilt : Ker(f) = V. (A) ist falsch. Gegenbeispiel : f : R R, ( ) x ( )( ) x = x. y y (A3) ist richtig. Begründung : Mit der Dimensionsformel folgt Damit ist Ker(f) = {} und die Abbildung f injektiv. (A4) ist falsch. Gegenbeispiel : f : R R,x. (A5) ist richtig. Begründung : Es sind zwei Richtungen zu zeigen. dimker(f) = } dimv {{} dim Im(f) =. }{{} =n =n Aus f injektiv folgt Ker(f) = {}. Mit der Dimensionsformel folgt m = n = dimker(f) +dim Im(f) = dim Im(f) }{{} = Damit folgt Im(f) = W und f ist somit auch surjektiv, also bijektiv und damit ein Isomorphismus. Falls f ein Isomorphismus ist, ist f sowohl injektiv als auch surjektiv. Da f surjektiv ist, gilt dim Im(f) = m und da f injektiv ist, folgt dim Ker(f) =. Mit der Dimensionsformel folgt n = dimv = dim Ker(f) + dimim(f) = m. }{{}}{{} = =m

4 Aufgabe 3 : Sei GS das folgende Gleichungssystem. (a )x y + z = a GS : ( a + 3)x + y z = + a (a )x + z = a. GS (a )x y + z = a Z Z (a )x = a Z Z + Z y = Z 3 Z 3 Z x + z = Z Z Z + Z 3 (a )x = a Z Z y = Z 3 Z 3 Wir unterscheiden zwei Fälle (Man kann nicht durch dividieren). a GS GS hat eine einzige Lösung : x =, y = und z =. x + z = Z Z x = Z (a ) Z y = Z 3 Z 3 a = GS x + z = = y = x y z R 3 : x y z ist eine Lösung von GS = + λ : λ R.

5 Aufgabe 4 : Wir definieren B,C M 3 (R) durch 3 3 B := 3 und C := Aus der Vorlesung folgt : M B,C Id = C B. Wir bestimmen C.. Z Z Z Z - - Z 3 Z 3 Z Z Z Z Z - Z 3 Z 3 Z Damit C = Z Z Z Z Z 3 Z 3 Z Z Z Z Z 3 Z 3 Z 3 Z Z Z Z Z Z 3 Z 3. Wir berechnen C B um M B,C Id M B,C Id = 4 5. zu bestimmen.

6 Aufgabe 5 : Es sind zwei Richtungen zu zeigen. Es sei v < v,v >. Man kann v also als Linearkombination der Vektoren v und v schreiben, d. h. Wendet man nun ϕ 3 auf v an, so erhält man v = a v + a v mit a,a K. ϕ 3 (v) = ϕ 3 (a v + a v ) = a ϕ 3 (v ) +a }{{} ϕ 3 (v ) =. }{{} = = Es sei v V mit ϕ 3 (v) =. Da (v,v,v 3 ) eine nummerierte Basis von V ist kann man v in eindeutiger Weise als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben, d. h. Damit gilt v = a v + a v + a 3 v 3 mit a,a,a 3 K. = ϕ 3 (v) = ϕ 3 (a v + a v + a 3 v 3 ) = a ϕ 3 (v ) +a }{{} ϕ 3 (v ) +a }{{} 3 ϕ 3 (v 3 ) = a }{{} 3. = = = Man kann v also als Linearkombination der Vektoren v und v schreiben. Daraus folgt aber, dass v im Unterraum < v,v > liegt.

7 Aufgabe 6 : Wir machen einen Ringschluß. a) b) Es sei v Im(f), d. h. v = f(w) für ein w V. Damit gilt f(v) = f(f(w)) = (f f)(w) =. Damit ist jeder Vektor v Im(f) im Kern von f enthalten. Daraus folgt Im(f) Ker(f). b) c) Wir nehmen an, es gilt Im(f) Ker(f). Damit gilt insbesondere dim Im(f) dim Ker(f). Mit der Dimensionsformel dimker(f) + dim Im(f) = dimv = n folgt damit dim Ker(f) n und dim Im(f) n. Wir definieren m = n dim Ker(f) = dim Im(f). Es gilt offensichtlich m n Es sei nun (v,...,v m ) eine nummerierte Basis von Im(f). Nach dem Basisergänzungssatz existieren nun (n m) Vektoren v m+,...,w n m, so dass (v,...,v n m ) eine nummerierte Basis von Ker(f) ist. Ebenfalls mit dem Basisergänzungssatz erhält man m Vektoren w,...,w m, so dass B = (v,...,v n m,w,...,w m ) eine nummerierte Basis von V ist. Wir bestimmen nun M B,B f. Diese erhält man indem man die Bilder der Basisvektoren unter f als Linearkombinationen der Basisvektoren schreibt. Es gilt : f(v ) = v + + v n m + w + + w m. f(v n m ) = v + + v n m + w + + w m f(w ) = a v + + a m v m + v m+ + + v n m + w + + w m. f(w m ) = a m v + Damit erhält man die Matrix + a mm v m + v m+ + + v n m + w + + w m M B,B f = ( ) A mit A = (a ij ) M m (K). Wie oben gezeigt, gilt m n. c) a) Es sei f bezüglich einer nummerierten Basis B dargestellt als ( ) M B,B A f = mit A M m (K) und m n. stellt man nun f f bezüglich der Basis B dar, so erhält man M B,B f f = (M B,B f ) = ( ) A Da m n B,B gilt, folgt (Mf ) =. Damit ist f f die Nullabbildung.

8 Aufgabe 7 : det(a) := det = det = ( ) 3+4 det = det 3 3 ( ( = ( ) 3+ det 3 = 4. Z Z Z 3 Z Z 3Z 3 Z 3 Z 3 Z 4 Z 4 Z Z Z Z + Z 3 Z 3 Z 3 )) (Entwicklung nach der vierten Spalte) (Entwicklung nach der ersten Spalte)