Grundbildung lineare Algebra und analytische Geometrie. Aufgabenblatt 1 (Abgabe am 9. April 2018)

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Gerhard Michel
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1 Dr Max Pitz SoSe 08 Grundbildung lineare Algebra und analytische Geometrie Aufgabenblatt (Abgabe am 9 April 08) Präsenzaufgaben (9/0 April 08): P: Gegeben seien die zwölf v,, v Vektoren einer Uhr () Was ist die Summe der zwölf Vektoren w = i= vi? Welches Rechengesetz für die Vektoraddition haben Sie hier benutzt? () Was ist die Summe der verbleibenden elf Vektoren, wenn der Vektor v 4 nach 4 Uhr herausgenommen wird? () Nehmen wir an, der v sei nun halbiert, also nur noch halb so lang wie alle anderen Vektoren Was ist dann [ die ] Summe über alle zwölf Vektoren? x (4) Es sei x = die Summe der ersten 6 Vektoren, also x = 6 i= vi Bestimmen Sie x x (5) Was ist x (sagen wir, die Uhr hat Radius )? v 0 v v v v v 9 v v 8 v 7 v 6 v 5 v 4 Lösung () Wir benutzen das Assoziativ- und Kommutativgesetz, um die Reihenfolge zu vertauschen Dann sieht man sofort: w = i= vi = 6 i= ( vi + vi+6) = 6 i= 0 = 0 () Ähnlich wie im ersten Fall sieht man, dass sich alle anderen Vektoren außer v 0 paarweise aufheben Die Antwort ist also v 0 () Die Antwort ist also v7 = v7 (4) Wir sehen: Die zweiten Komponenten von v und v 5 heben sich gegenseitig auf, wie auch die zweiten Komponenten von v und v 4 Also ist x die Summe der zweiten Komponenten von v und v 6, also x = 0 = (5) x = Summe der ersten Komponenten von v +v + +v 6 ist also = = + v Dies rechnet man leicht mit Pythagoras nach: Schreibe v = Man verdopple das Dreieck, dass von v und der x-achse erzeugt wird Alle Winkel haben 90 Da v die Länge hat, folgt das alle Seiten des Dreiecks die Länge haben Also v = Und es ist leicht einzusehen, dass v der Höhe des Dreiecks entspricht Für die Höhe h gilt nach Pythagoras, dass h + ( ) =, woraus sofort v = folgt v

2 v Hausaufgaben (Abgabe am 9 April 08, Besprechung 6/7 April 08): H: Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben über zwei-dimensionale Vektoren 4 () Zeichen Sie die Vektoren v =, w =, v w, w und v w gemeinsam in die Euklidische Ebene 0 () Zeichnen Sie die 5 Vektoren λ + µ mit λ =,, 0,, und µ = 0,, in die Ebene () Berechnen und zeichnen Sie die Vektoren v und w für welche die Formeln v w = v w = gelten und (++=6 Punkte) Lösung () Das Bild sollte in etwas so aussehen: v w = w v = 4 v w = 6 w = () Das Bild solte in etwas so aussehen:

3 v w v w v 0 w v w v w v 0 w 0 v w 0 v w 0 v 0 w v w v w v 0 w v w v w v 0 w () Am elegantesten geht es, wenn man den Ausdruck ( v w) ( v w) auf zwei verschiedene Weisen ausrechnet unter Benutzung der Assoziativ und Kommuativgesetze! Dann sieht man v = ( v w) ( v w) = + = 4 4 Wir erhalten v = und dann w = Anscheinend ist v genau der Mittelpunkt zwischen den beiden gegebenen Punkten Es ist aber auch nicht falsch, nur etwas mühsamer, einzelne Gleichungssysteme für die erste und die zweite Koordinate separat aufzustellen H: Betrachten Sie zwei nicht-parallele Vektoren v = [ v v ], w = [ w w ] im ersten Quadranten wie im Bild unten (wenn es Ihnen hilft, legen Sie konkrete, realistische Zahlen für v, v, w, w fest) () Zeichnen Sie die Punkte v w, 4 v 4 w, 4 v w, sowie v w ein 4 () Markieren Sie die Punkte v w, v w und einer weiteren Linearkombination λ v µ w mit λ + µ = Zeichnen Sie die Gerade aller Punkte λ v µ w mit λ + µ = Markieren Sie die dann Strecke aller Punkte λ v µ w mit λ + µ = und λ, µ 0 () Markieren Sie die Punkte v w und v w Welchen Strahl erzeugen die Linearkombinationen λ v λ w für λ 0? (++ = 6 Punkte)

4 4 v w Lösung () Das erste Bild sollte in etwas so aussehen: v w v w v 4 v 4 w v w 4 v 4 w w v w () Man sieht ziemlich schnell, dass es sich um die Gerade durch v und w handelt Falls beide λ, µ 0, so handelt es sich um die Strecke zwischen v und w Warum ist das so? Die beste Erklärung ist folgende: Jeder Punkt der Form λ v ( λ) w lässt sich schreiben als w λ( v w) Da v w die Richtung von w nach v beschreibt, folgt also, dass das λ misst, wie weit vom Aufpunkt w aus wir uns in Richtung v w bewegt haben () Es gilt offensichtlich λ v λ w = λ( v w), also reden wir über die Gerade / den Strahl durch den Punkt v w H: Wenn ein Parallelogram die drei Ecken (, ), (4, ) und (, ) besitzt, welche möglichen vierten Ecken gibt es? Versuchen Sie Ihre Antwort genau zu begründen Zeichnen Sie mindestens zwei

5 5 der möglichen [ Ecken ] (Bonus: Wie kann man die neuen Ecken elegant als Linearkombination von a =, 4 b = und c = ausdrücken?) ( Punkte + Bonus) Lösung Es gibt drei weitere mögliche Ecken Denn wann immer wir eine Parallelogram haben, und drei der Ecken, sagen wir A, B, C, auswählen, so ist eine Seite des entstehenden Dreiecks ABC eine Diagonale des Parallelograms, während die anderen zwei Seiten des Dreiecks aus Seiten des Parallelograms sein müssen In unserem konkreten Fall A = (, ), B = (4, ) und C = (, ) gibt es also drei Möglichkeiten, welche der Seiten die Diagonale sein soll, und dann ist es nicht schwer, den jeweils anderen Punkte an der Mitte der Diagonale zu Punktspiegeln Bonus: Die Endpunkte sind 4 b c a =, 4 4 a b c = a c b =, und 0, (Idee: Wähle Aufpunkt (zb A), plus Vektor in die geeignete Richtung (zb B C) H4: Vervollständigen Sie den Beweis aus der Vorlesung, dass (R n, ) eine abelsche Gruppe ist (5 Punkte) Hinweis: Achten Sie an jeder Stelle in Ihrem Beweis darauf, ob Sie oder + verwenden, und welche Buchstaben Vektorpfeile über sich haben müssen und welche nicht! Lösung Wie in der Vorlesung angesprochen müssen die folgenden Dinge überprüft werden: () Wohldefiniert: Klar nach Definition von () Assoziativ: Es seien v, w, x R n beliebig Dann gilt w + x v ( w x) = v w n + x n v + w = v n + w n v + (w + x ) v n + (w n + x n) x = ( v w) x (v + w ) + x (v n + w n) + x n Wobei wir in der Mitte einmal das Assoziativgesetz für (R, +) benutzt haben (Wenn man das einmal verstanden hat, darf man sagen: Das Assoziativgesetz für (R n, ) folgt direkt aus dem Assoziativgesetz für (R, +)) () 0 = (0,, 0) ist (beidseitiges darauf kann verzichtet werden, da kommutativ) neutrales Element: Sei v R n beliebig Dann gilt v 0 = v + 0 v n + 0 v v n v (4) Inverse Elemente (beidseitiges darauf kann verzichtet werden, da kommutativ): Sei v R n beliebig Wir behaupten, dass ( ) v das inverse Element von v ist Und

6 6 tatsächlich, es gilt v v 0 v ( ) v = v n v n (5) Kommutativ: Es seien v, w R n beliebig Dann gilt v w = v + w v n + w n w + v w n + v n w v Wobei wir in der Mitte einmal das Kommutativgesetz für (R, +) benutzt haben (Wenn man das einmal verstanden hat, darf man sagen: Das Kommutativgesetz für (R n, ) folgt direkt aus dem Kommutativgesetz für (R, +)) (Bemerkung: Kommutativität wurde schon in der Vorlesung gemacht!

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