Mittelwert der x 17 Pearsonkorrelation korr(x, z) Rangkorrelation rs(x, z) 1 Varianz(y) Median(y) 324

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1 1. In der folgenden Tabelle sind drei Datenspalten gegeben: x y z Zu diesen Daten liegen folgende sieben Zahlen vor:, , ,16 Welche dieser Zahlen ist Mittelwert der x 17 Pearsonkorrelation korr(x, z).962 Rangkorrelation rs(x, z) 1 Varianz(y) Median(y) 324 Zahl an der richtigen Stelle eintragen! Zwei der Zahlen sind unbrauchbar! 1 1

2 2. Auf drei Produktionslinien A, B und C wird dasselbe Produkt montiert Die Hälfte der Produktion läuft über Linie A, 3 Prozent über B und der Rest über C Die Fehlerquote ist bei allen drei Produktionslinien unterschiedlich: Linie A:.5 Prozent Linie B: 1.5 Prozent Linie C: 3 Prozent Hinweis: Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar! a. Welcher Anteil der Gesamtproduktion ist in Ordnung? b. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein fehlerhaftes Stück von Linie A? c. Wie wahrscheinlich ist es, bei der zufälligen Entnahme eines produzierten Teiles ein auf B montiertes, gutes Stück zu finden d. Wie wahrscheinlicher ist es, dann ein Stück zu entnehmen, das weder von A produziert noch fehlerhaft ist? a. P(gut) =.5* * *.97 = % P(F) = % b. P(A f) = (.5*.5)/.13 = % c. P(B und gut) =.3*.985 = % d. P(B und gut) + P(C und gut) = *.97 = % 2

3 3. Betrachtet werden drei Zufallsgrößen mit den angegebenen Verteilungen: X : binomialverteilt mit den Parametern n = 22, p =.1 Y : stetig gleichverteilt auf I = [1, 6] U: normalverteilt N(3, 1.8) a. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit des offenen Intervalls ], 3[ b. Wie groß ist bei jeder dieser Verteilungen der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 1.7? c. Welcher Verteilung unterliegt ein Mittelwert von 1 genau wie U verteilten unabhängigen Zufallsgrößen und mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Mittelwert kleiner als 3? a. X: P({1, 2} = = Y: P( ], 3[ ) = 2*.2 =.4 Z: P( ], 3[ ) = Φ() - Φ((-3)/1.8) =.5 - Φ(-1.67) = =.4525 b. FX(1.7) = P({, 1} = =.3392 FY(1.7) =.7*.2 =.14 FU(1,7) = Φ( (1.7-3)/1.8) = Φ(-.72) = =.2358 c. Verteilung von M 1 : N(3,.18) P(M<3) =.5 3

4 4. a. Amerikaner wurden nach ihrer Zustimmung zum neuen Präsidenten befragt Aus 1 Antworten wurde ein Grad an Zustimmung von 76.3 Prozent bei einer Schwankungsbreite von plus/minus drei Prozentpunkten ermittelt. Welche Treffsicherheit hat dieses Konfidenzintervall? b. Lässt sich aus den 1 erhobenen Daten mit einer Sicherheit von 9 Prozent schließen, dass mehr als drei Viertel der Amerikaner dem neuen Präsidenten zustimmen? Führen Sie den geeigneten approximativen Test durch! *.237 a. a =.3 Aus a = u γ =. 3 folgt u γ = Φ( u γ ) =.9871 = γ = (1 α/2) α/2 =.129 α =.258 Treffsicherheit =Konfidenzniveau = 1 α =.9742 = 97.42% b. Approximativer Gauss-Test wobei σ o =.75 *.25 = H o : µ.75 H 1 :µ>.75 Mittelwert = t = 1 = Tabellenwert u.9 = H 1 nicht signifikant; NEIN Testgröße unkritisch, H o beibehalten, 4

5 5. In den Trinkwassersystemen zweier Städte (A) und (B) wurde der Nitratgehalt in Milligramm/Liter an 4 Tagen (A) bzw. an 45 Tagen (B) gemessen. A: Mittelwert 51, bei einer Stichprobenstandardabweichung von 12 B: Mittelwert 44, s = 16. a. Kann aus den Daten mit einer Sicherheit von 95 % geschlossen werden, dass in B der Grenzwert von 5 mg/l unterschritten wird? Geht das auch zum Testniveau.1? b. Lässt sich mit 95%iger Sicherheit schließen, dass B signifikant niedrigeren Nitratgehalt aufweist als A? Formulieren Sie immer genau die Null- und Alternativhypothese, geben Sie an, welcher Test durchzuführen ist, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist und führen Sie ihn durch. Setzen Sie dabei Normalverteilung und dort, wo es nötig ist, Varianzhomogenität voraus! a. Einproben-t-Test H 1 : µ B < t = = Testniveau.5: K = ], 1.68] H1 signifikant; Ja, Grenzwert wird unterschritten Testniveau.1: Tabellenwert größer als H1 nicht hochsignifikant; Nein b. Zweiproben-t Test H 1 : Nitratgehalt in B ist kleiner als in A H 1 : µ A >µ B Testgröße t = 4.62 = s = s K = [ 1.664, [ H 1 signifikant; JA 5

6 6. Verkaufszahlen von Autohändlern wurden in der Steiermark und in Wien bei zufällig ausgewählten Händlern erhoben und man erhielt folgende Anzahlen von im letzten Halbjahr verkauften Neuwagen: Steiermark ST Wien WIEN a. Lässt sich die Behauptung Die Steirischen Händler verkaufen weniger als die Wiener signifikant bestätigen? Testen Sie nichtparametrisch (aber so, als ob Sie eine große Probe hätten!) zum Testniveau α = 1 %. b. Wie groß darf die Rangsumme der ersten Probe höchstens sein, damit die Behauptung als signifikant bezeichnet werden kann? a. Rangsummentest H 1 : Lage WIEN > Lage ST (bzw. Lage Y > Lage X) Ränge ST: X WIEN: Y Rangsumme erste (X) Probe: rs = 32 rs E(W) t = Var(W) 1 1 E (W) = 6 (14) = 42 Var (W) = = t = = K = ], ] H 1 signifikant! 7 b. Maximal 33! 6