Aufgabe 5: Grundlagen Wahr keit, Satz von Bayes und Binomialverteilung

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1 Klausur: Statistik Jürge Meisel Zugelassee Hilfsmittel: icht progr. Tascherecher Bearbeitugszeit: 60 Miute Amerkug zur Bearbeitug: Die Klausur besteht aus isgesamt 6 Aufgabe. Sie müsse ur 5 davo bearbeite. Bitte wähle Sie 5 Aufgabe aus ud streiche Sie die icht bearbeitete Aufgabe auf dem Aufgabeblatt. Aufgabe 1: Mittelwerte ud Streumaße Aufgabe : Preisidizes ud Korrelatio Aufgabe 3: Kozetratiosprozesse Aufgabe 4: Lieare Regressio Aufgabe 5: Grudlage Wahr keit, Satz vo Bayes ud Biomialverteilug Aufgabe 6: Normalverteilug Teilbereich Statistik 1.) Mittelwerte ud Streumaße Die Firma MediCare stellt mediziische Geräte her. I der folgede Tabelle sid die Ausgabe für die Garatieleistuge i de vergagee Jahre dargestellt: Jahr Garatieleistug (i Taused Euro) a) Ermittel Sie das arithmetische Mittel der Garatieleistug. Mittelwert: ,7 b) Bereche Sie die Variaz ud die Stadardabweichug der Garatieleistug. Variaz: ,7 15,1 3,9 10

2 c) Wie viele Werte liege ierhalb des Bereichs x s? Gebe Sie dieses Ergebis auch als Prozetateil aller Werte a. Amerkug: s ist die Stadardabweichug. Im Itervall [7,8 ; 15,6] liege isgesamt 7 Werte; d.h. 70 % der Werte sid im -Itervall. d) Bestimme Sie u och de Media der Garatieleistug, die Quartile q 1 ud q 3 ud bereche Sie de Abstad zwische de Quartile. 1 11,5 x x x x x x0,5 x5 x6 x0,5 x M Media: Quartile 1: p 0,5 1 0,5 10 0, x x x x x 0,75 1 0, , Quartile 3: p Der Quartilabstad beträgt 6..) Preisidizes ud Korrelatio Familie Wizig leistet sich leistet sich folgede Produkte ud Ausgabe. Folgede Übersicht wurde erstellt: Preis 08 Umsatz 08 Preis 1 Verbrauch 1 Chips 1,00 / Tüte 50,00,50 / Tüte 70 Tüte Erdüsse 7,00 / kg 4,00 6,00 / kg 8 kg Bier,50 / ltr. 550,00 4,50 / ltr. 0 ltr. a) Bereche Sie de Preisidex ach Laspeyres. L P p q,550 6, 006 4, q i 0i p 0i 0i 1, 798 b) Wie groß ist der durchschittliche jährliche Preisastieg i %, we der Preisidex ach Laspeyres zugrude gelegt wird? g 4 1,798 1, ,71 %

3 c) Ei Ladwirt möchte feststelle, ob ei Zusammehag zwische Blütebegi ud Ertebegi vo helle Süßkirsche besteht. Im Jahre 1 machte er a 5 Bäume folgede Beobachtuge: Baum Blütebegi Ertebegi Apfel Bire Mirabelle Pfirsich Zitroe Bereche Sie de geeigete Korrelatioskoeffiziete. Baum Blütebegi Ertebegi Rag Blüte Rag Erte Rag- Dif. Rag- Qudr. Apfel Bire Mirabelle Pfirsich Zitroe r S 1 6 i1 d i 1 => r S , ) Kozetratiosprozesse Gegebe sei folgede Eikommesverteilug: Eikommesklasse Azahl Persoe Kum. Persoe Klassemitte Eikommessumme Kum. EK-Summe

4 Achsetitel a) Bestimme Sie die Lorezkurve ud de Gii-Koeffiziet , , , , , , ,00 0,00 0,00 100,00 150,00 180,00 0,00 kum. Persoe 0,00 100,00 150,00 180,00 0,00 kum. Summe EK 0, , , , ,00 Gii Kozetratiosfläche K maximale Kozetratiosfläche K max Gii , 48333

5 b) Ermittel Sie de Ateil der 5 % reichste Eikommesbezieher am Gesamteikomme. Die 5 % reichste Eikommesbezieher vereiige isgesamt 5.000,00 auf sich. Das bedeutet, dass 5 % der Eikommesbezieher 6,1 % des Gesamteikommes erhalte.

6 4.) Lieare Regressio ud Korrelatio Die Firma MediCare möchte die Ausgabe für Qualität i Bezug zu de Ausgabe für Garatieleistuge utersuche. Die otwedige Date sid der folgede Tabelle zu etehme: Jahr Ausgabe für Qualität Garatieleistug (i Taused Euro) Summe x*y x a) Zeiche Sie die Datepukte i ei Koordiatesystem.

7 b) Ermittel Sie die Regressiosgerade y b0 b1x. Asatz: y b0 b1x b b 1 1 x y x y 0 y 1 i i x y i i x y xy i1 i1 1 x xi x xi x i1 i1 b x b b ,4 11,7 87,8 1, ,16 66, 4 y 5, 43 1,3 x 11, 7 1,3 10, 4 5, 43 c) Welche Ausgabe für Qualität sid zu tätige, damit die Garatieleistuge bei ca..500,00 liege?,5 5, 431,3 x x 17,37 Es müsse ca ,00 für die Qualität ivestiert werde, damit ma eie Garatieleistug vo.500,00 erwarte darf. d) Erörter Sie zwei mögliche Kosequeze der Geschäftsführug vo MediCare aufgrud der uter b) berechete Regressiosgerade. (1) Mehr Ivestitio i die Produktiosfaktore, () Mehr Ivestitio i Forschug ud Etwicklug, damit die Qualität der Produkte steigt. (3) Prozessoptimierug

8 Teilbereich Stochastik 5.) Grudlage Wahr keit, Satz vo Bayes ud Biomialverteilug Ei Taxiuterehmer beschäftigt zwei Fahrer. Der Chef fährt 50 %, Fahrer A 30 % ud Fahrer B % der Fahrte. Bei 8 % der Fahrte verursacht der Chef, bei 10 % der Fahrer A ud bei 1 % der Fahrer B eie Schade. a) Mit welcher (totale) Wahrscheilichkeit fahre die drei ihre Toure ohe Schäde? P( schadesfrei ) 0,50,9 0,30,90 0,,88 P( schadesfrei ) 0,906 90,6 % b) Es wurde a eiem der Fahrzeuge ei Schade festgestellt. Mit welcher Wahrscheilichkeit hat ih Chef persölich verursacht? PSchade 0,50,08 ( Chef ) 0, 455 4,55 % 0,094 c) Wie groß darf der Schadesprozetwert bei Fahrer B höchstes sei, we die Gesamtwahrscheilichkeit für eie Schade auf eier Tour auf höchstes 8 % sike soll? Asatz : 0,50,08 0,30,1 0, x 0,08 0,50,08 0,30,1 0, x 0,08 0,07 0, x 0,08 0, x 0,01 x 0,05 5 %

9 6.) Normalverteilug Bei Trasporte der Firma EiEiEi werde im Normalfall 6 % der Eier beschädigt. Ei Geschäft bekommt eie Lieferug vo Eier. a) Zeige Sie, dass der Erwartugswert 90 ud die Variaz 84,6 betrage ,06 90 ud ,06 0,94 84,6 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass b) midestes 100 Eier beschädigt sid? P X P X , ,86 0, Umrechug : z 1,09 84,6 c) höchstes 90 Eier beschädigt sid? P X ,09 0,5 mit Umrechug : z 0 84,6 d) Wie viele Eier dürfe höchstes beschädigt sei, we bei eier Lieferug mit eier Wahrscheilichkeit vo mid. 97 % isgesamt Eier eiwadfrei ageliefert werde solle? Erwartugswert ud Variaz müsse u vo Eier berechet werde, da die Gesamtmege ubekat ist: Tabelle z 0,97 z 1, ,94 1, , ,94 0, Es dürfe vo isgesamt 1.54 Eier höchstes 74 Eier beschädigt sei, damit ma mit eier Wahrscheilichkeit vo 97 % eie Lieferug vo uversehrte Eier bekommt.