1 Kurven und Kurvenintegrale
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- Sofia Glöckner
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1 Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analysis für Physiker SS 14 A 1 Kurven und Kurvenintegrale 1.1 Einschub: Koordinatentransformation Gegeben sei eine Funktion f : R n R. Dann ist die totale Ableitung Df(x) zwar unabhängig von der Wahl der Koordinaten, der Gradient f ( 1 f,..., n f) als Spaltenvektor hängt aber sehr wohl von der Wahl der Koordinaten ab. Ein besonders bedeutendes Beispiel ist die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten. Gegeben sei eine alte 1 Koordinate ξ, die in eine neue Koordinate x transformiert werden soll. Man verwendet dabei die Transformationsvorschrift x Aξ Darüber hinaus ist es im Fall einer Koordinatentransformation von Vorteil, wenn man auch von x auf ξ schließen kann, so dass die Inverse von A existieren muss. Aus diesem Grund fordern wir det(a) in der Standardbasis von x. Bemerkung: Sei Φ : U V eine Koordinatentransformation und Ψ die dazu inverse Funktion mit Φ Ψ(x) x. Dann gilt DΦ(Ψ(x))DΨ(x) 1 Satz 1.1 (Umrechnung von Differentialoperatoren) Unter der Koordinatentransformation Φ : U V errechnet sich der Gradient im Punkt x Φ(ξ) nach der Formel ξ DΦ(ξ) T x (1) Beispiel: Polarkoordinaten Gegeben sei eine Transformation Φ : ξ x. Die neue Koordinate sei x (x 1, x ) mit x R und die alte Koordinate sei ξ (r, φ) mit ξ R + [, π). Dann gilt x 1 r cos φ x r sin φ Zusätzlich ist die Umkehrtransformation Ψ von Interesse. Es gilt dabei Φ(Ψ(x)) x, so dass man für die einzelnen Koordinaten die Umrechnungsvorschrift r x 1 + x φ arg(x 1 + ix ) 1 Die Bezeichnung alt für eine Koordinate ist selbsverständlich mathematisch nicht exakt, wird im Folgenden aber dennoch aus Gründen der Anschaulichkeit verwendet werden. 1
2 erhält. Es gelten also die Transformationsvorschriften x(r, φ) r cos φ Φ(r, φ) ỹ(r, φ) r sin φ ( r(x, y) x + y ψ(x, y) φ(x, y) arg(x, φ) ) Dann sind die Jacobi-Matrizen der Koordinatentransformationen cos φ r sin φ DΦ(r, φ) sin φ r cos φ ( DΦ(r, φ) 1 cos φ sin φ x 1 r sin φ 1 r cos φ x +y y x +y y x +y x x +y ) Dψ(x, y) für (x, y) Φ(r, φ). Jetzt betrachten wir die Funktion f unter der Koordiantentransformation Φ: r g DΦ(r, φ) T x f φ y x f (DΦ(r, φ) T ) 1 r g e y r r g + 1 φ r e φ φ g Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten ergibt sich zu f e r r + 1 r e φ φ, e r r + 1 r e φ φ g ( r + 1 r r + 1 r φ)g 1. Kurven im R n Eine Kurve ist eine stetige Abbildung : R R n, t (t). Die Kurve wird nur durch einen Freiheitsgrad parametrisiert. Dies ist nützlich um eine Bewegung mit einer Zwangsbedingung darzustellen (z.b. schwingendes Pendel, die Bewegung des Pendelkopfs ist durch die Länge des Pendels eingeschränkt). Ergänzungen Ein Skalarfeld f : D R 3 R ordnet jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zu. Und ein Vektorfeld g : D R 3 R 3 ordnet jedem Punkt einen Vektor zu. Die Argumentfunktion arg gibt den Winkel zwischen dem Radiusvektor und der x-achse zurück.
3 Gradient: angewandt auf ein Skalarfeld, was in diesem Fall ein Gradientenfeld (Vektorfeld) liefert: grad f f grad f : D R 3 f f x f Laplace: ordnet einem Skalarfeld f C die Divergenz seines Gradientenfeldes zu: f div (grad f) ( f) Divergenz: ordnet einem Vektorfeld ein Skalarfeld zu. f x 1 + f x + div g g g 1 + g 1 x + g 1 Rotation: ordnet einem Vektorfeld ein neues Vektorfeld zu. Bemerkungen rot g : D R 3 g 3 x g g rot g g 1 g3 g g1 x f : D R f x 3 auf diese Weise definiert gelten die Operatoren nur in kartesischen Koordinaten. die Rotation beschreibt die Wirbeldichte des Vektorfeldes und die Divergenz die Quelldichte Definition 1.1 (Tangentialvektor) Der Tangentialvektor T für eine Kurve ist gegeben durch d dt (t) (t). Falls (t) gilt, dann ist der Tangentialeinheitsvektor. (t) (t) Definition 1. (Eigenschaften von Kurven) Eine Kurve heißt geschlossen, wenn (t ) (t 1 ). Die Länge einer Kurve L wird durch L t1 t (t) dt definiert. Die Bogenlänge, d.h. das entlang der Kurve zurückgelegte Wegstück s zum Zeitpunkt t ist gegeben durch s(t) t t (t ) dt. 3
4 Die Krümmung der Kurve kann durch κ(s) dt (s) ds berechnet werden mit dem Tangentialeinheitsvektor T (s). Das begleitende Dreibein ( T (t), N(t), B(t)) der Kurve (t) setzt sich aus dem Tangenteneinheitsvektor, dem Hauptnormaleneinheitsvektor N(t) B(t) T (t) N(t) zusammen. T (t) T und dem Binormaleneinheitsvektor Bemerkung: Ist eine Kurve durch t (x(t), y(t)) R gegeben, dann berechnet sich die Krümmung aus ẋÿ ẍẏ κ(t) (ẋ + ẏ ) Kochrezept: Transformation nach Bogenlänge 1. Bogenlänge berechnen: t t (t ) dt. nach t auflösen: s(t) umgestellt zu t f(s(t)) 3. in Kurve einsetzen: : s (f(s)) 1.4 Beispiel: Bogenlänge eines Pendels Ein ideales Pendel der Länge l schwingt in einer Ebene. Die Bewegung des Pendels erfolgt auf einer Kurve charakterisiert durch den Winkel ϕ an der Pendelaufhängung l sin ϕ (ϕ). l cos ϕ Wir transformieren dies nun nach der Bogenlänge s. Dazu berechnen wir zunächst l cos ϕ (ϕ). l sin ϕ s(ϕ) ϕ s l ϕ ϕ ϕ (ϕ ) dϕ l cos ϕ + l sin ϕ dϕ ldϕ lϕ Damit erhalten wir (s) (s) l sin s l l cos s. l 4
5 1.5 Beispiel: Krümmung einer Raumkurve Parametrisieren Sie die Raumkurve (t) 1 et (cos(t), sin(t), ), t R, auf Bogenlänge, bezeichnet mit (s), und berechnen Sie dafür die Krümmung κ(s). Lösung (t) 1 cos(t) sin(t) et sin(t) + cos(t) 1 et (cos(t) sin(t)) + (sin(t) + cos(t)) + e t Also ist z. B. s(t) t (t ) dt t et dt e t. Mit t(s) ln(s) ist also t auf Bogenlänge parametrisiert, s >. Wir berechnen nun den Tangentialeinheitsvektor T (s) d (s) 1 cos ln s sin ln s sin ln s + cos ln s ds und erhalten damit für die Krümmung κ(s) dt ds 1 sin ln s cos ln s s cos ln s sin ln s Kurvenintegrale Definition.1 (Gradientenfeld) Eine Funktion F : R n R n heißt Gradientenfeld, wenn sie sich als Gradient einer skalaren Funktion Φ : R n R darstellen lässt F (x) : Φ(x). In der Physik hat man es bei der Berechnung von Arbeit mit einem Wegintegral zu tun (Arbeit Ausgeübte Kraft entlang des Weges). Anstelle über Ortsvariablen zu integrieren unter Berücksichtigung der Kurve, können wir auch die Kurve parametrisieren (z.b. nach der Zeit oder einer anderen Größe) und stattdessen darüber integrieren. Die Transformation lautet folgendermaßen: Definition. (Kurvenintegral von F entlang ) F (r) dr t1 s. t F ((t)) (t)dt. () Man beachte, dass es sich hierbei jeweils um Skalarprodukte zwischen F und dr bzw. (t) handelt. 5
6 Satz.1 (Wegunabhängigkeit) Ist F ein Gradientenfeld des skalaren Potentials Φ, so gilt, dass das Integral von F über einen Weg nur von den Endpunkten abhängt und der Weg dazwischen irrelevant ist F (r)dr t1 t F ((t)) (t)dt Φ((t 1 )) Φ((t )). Man bezeichnet F dann auch als wegunabhängig. Damit gilt für geschlossene Kurven F (r)dr. In der Physik bezeichnet man solche Kraftfelder F auch als konservative Kraftfelder, Φ nennt man das zu F gehörige Potential/ Potentielle Energie..1 Beispiel: Wegintegral Wir überprüfen die Gültigkeit des Satzes an dem Beispiel mit dem Pendel und berechnen die Arbeit um das Pendel von ϕ auf ϕ π auszulenken. Die Parametrisierung der Kurve lautet l sin ϕ (ϕ). l cos ϕ Auf das Pendel der Masse m wirkt die Gravitationskraft F mg und damit berechnen wir das Wegintegral F (r)dr π π π mgl Natürlich hätte man dies auch schneller mit und haben können. F ((ϕ)) (ϕ)dϕ l cos ϕ dϕ mg l sin ϕ mgl sin ϕdϕ Φ mgl cos ϕ F (r)dr Φ(( π )) Φ(()) mgl + mgl 1 mgl 6
Dies ist nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit dem Randwertproblem x(t 0 ) = x 0 und x(t 1 ) = x 1.
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