Integralrechnung. integral12.pdf, Seite 1

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1 Integralrechnung Beispiel Zusammenhang WegGeschwindigkeit: Ist F (t) der zur Zeit t zurückgelegte Weg und v(t) die Geschwindigkeit, so ist v(t) = F (t) Geometrisch: Steigung der Tangente an der Kurve y = F (t). Frage: Wie kann umgekehrt F (t) bestimmt werden, wenn v(t) bekannt ist? integral2.pdf, Seite

2 Antworten. Ist v(t) = v zwischen t und t 2 konstant, so ist der in diesem Zeitraum zurückgelegte Weg gleich F (t 2 ) F (t ) = v (t 2 t ). (Weg = Zeit Geschwindigkeit) Geometrisch: Fläche unter der Kurve y = v(t) = v. 2. Weg gleich Fläche unter der Kurve y = v(t) gilt auch, wenn v(t) stückweise konstant ist (man setzt den Weg aus mehreren Teilstücken zusammen). integral2.pdf, Seite 2

3 Allgemeine Situation Weg gleich Fläche unter der Kurve y = v(t) (Annährung der Kurve durch stückweise konstante Funktion) integral2.pdf, Seite 3

4 Integralrechnung Zwei miteinander verwandte Grundaufgaben:. Umkehrung der Dierentialrechnung: Zu einer gegebenen stetigen Funktion f : D R ist eine Stammfunktion F : D R gesucht mit F (x) = f (x). (Anwendungen z. B. bei physikalischen Gleichungen: Geschwindigkeit Weg) 2. Berechnung der Fläche zwischen der xachse und dem Graphen der Funktion f (Vorläug nur, falls f (x) ). (Anwendungen z. B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik) integral2.pdf, Seite 4

5 Wahrscheinlichkeit als Fläche unter einer Kurve Der Inhalt der gelben Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Gröÿe zwischen a und b liegt. integral2.pdf, Seite 5

6 Zur. Grundaufgabe Eine auf D R dierenzierbare Funktion F heiÿt Stammfunktion von f : D R, wenn F (x) = f (x), also f die Ableitungsfunktion von F ist. Man schreibt F (x) = f (x) dx (Integral von f (x) dx). Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet. Satz Jede auf einem Intervall D stetige Funktion f besitzt eine Stammfunktion. Die Stammfunktion ist bis auf eine additive Konstante c R eindeutig bestimmt, d. h.: sind F und G Stammfunktionen von f, so ist G(x) = F (x) + c bzw. G(x) F (x) = c ist eine konstante Funktion. integral2.pdf, Seite 6

7 Bestimmung von Stammfunktionen (= integrieren) Bei vielen elementaren Funktionen lässt sich eine Stammfunktion durch Umkehrung der Ableitung direkt angeben. Beispiele: x α dx = x α+ + c falls α α+ dx = ln x + c (den Betrag erhält man durch eine x Fallunterscheidung x > und x < ) cos x dx = sin x + c sowie sin x dx = cos x + c e x dx = e x + c Linearität der Integration Die Summen- und Konstantenregel der Ableitung übertragen sich auf die Bildung von Stammfunktionen: ( a f (x) dx = a f (x) dx und f (x)+g(x)) dx = f (x) dx+ g(x) dx. integral2.pdf, Seite 7

8 Beispiele x 2 dx = x 3 + c, 3 x dx = x /2 dx = 2x 3/2 + c = x 3 + c, dx = x 2 dx = x + c = + x 2 x c, x 2 + 2x + 3 dx = x 3 + x 2 + 3x + c, 3 5 dx = 5 x 3 dx = 5 ( ) x 3 2 x 2 + c = 5 + c, 2x dx = 3 ln x c, x x 2 x 3 x 2x 2 sin x + 2 cos x + 3e x dx = cos x + 2 sin x + 3e x + c Bemerkung Die Anwendung der Linearität beschränkt sich auf Summen, Dierenzen und konstante Vielfache. Im Gegensatz zur Ableitung gibt es keine Integrationsregeln, mit denen Stammfunktionen für beliebige zusammengesetzte Funktionen bestimmt werden können. integral2.pdf, Seite 8

9 Weitere Möglichkeiten zur Bestimmung von Integralen Integrationsregeln, die jeweils in speziellen Situationen angewendet werden können (wie Substitution, partielle Integration, Integration mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung) Integraltafeln Computeralgebraprogramme (wie Mathematica, Maple,...) Bemerkung In vielen Fällen lässt sich kein expliziter Ausdruck für die Stammfunktion angeben (z. B. für e x 2 dx). In solchen Fällen ist man auf numerische Integrationsverfahren angewiesen. integral2.pdf, Seite 9

10 Substitutionsregel und partielle Integration helfen in vielen Fällen, wenn keine Stammfunktion direkt bestimmt werden kann. Partielle Integration Idee: Umkehrung der Produktregel Ist F (x) = u(x) v(x), so folgt F (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) F (x) = F (x) dx = u (x) v(x) dx + u(x) v (x) dx u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx integral2.pdf, Seite

11 Anwendung Zur Berechnung von f (x) dx versucht man, f = u v so zu wählen, dass u durch Ableiten einfacher wird und v durch integrieren nicht komplizierter wird. Beispiel dx = Zur Berechnung von x cos x dx wähle u(x) = x und v (x) = cos x. Dann folgt }{{} x cos }{{} x }{{} x sin }{{} x }{{} sin }{{} x dx u v u v u v = x sin x + sin x dx = x sin x + cos x + c integral2.pdf, Seite

12 Beispiel 2 Mit zweimaliger partieller Integration erhält man F (x) = e }{{} x sin }{{} x dx = e x sin x e }{{} x cos }{{} x dx v (x) u (x) v (x) u 2 2 (x) = e x sin x e x cos x e x sin x dx = e x (sin x cos x) F (x) Auösen der Gleichung nach F (x) liefert die gesuchte Stammfunktion: F (x) = e x sin x dx = 2 ex (sin x cos x) + c integral2.pdf, Seite 2

13 Beispiel 3 Zur Bestimmung einer Stammfunktion von x 3 e x wird der linke Faktor x 3 durch dreimalige partielle Integration schrittweise vereinfacht: }{{} x 3 e }{{} x dx = x 3 e x }{{} 3x 2 e }{{} x dx u (x) v (x) u 2 (x) v (x) 2 x 3 e x 3x 2 e x + }{{} 6x u 3 (x) = (x 3 3x 2 ) e x + 6x e x e x }{{} v 3 (x) dx = (x 3 3x 2 + 6x 6) e x + c 6e x dx integral2.pdf, Seite 3

14 Substitutionsregel Idee: Umkehrung der Kettenregel Ist F eine Stammfunktion von f (d. h. F = f ) und g eine weitere dierenzierbare Funktion, so folgt (F g) (x) = F (g(x)) = f (g(x)) g (x). Hat also der Integrand die Form f (g(x)) g (x), so ist f (g(x)) g (x) dx = F (g(x)) + c = F g(x) + c. Beispiel x cos x 2 dx = 2 cos x 2 2x dx = 2 sin x 2 + c (mit y = g(x) = x 2 und f (y) = cos y, um die innere 2 Ableitung g (x) = 2x zu erhalten, wurde mit 2 erweitert) 2 integral2.pdf, Seite 4

15 Bemerkung Mit dem Dierential y = g(x) dy = g (x) dx liest sich die Substitutionsregel wie folgt: f (g(x)) g (x) dx = f (y) dy Im Beispiel Mit y = g(x) = x 2 dy = g (x) dx = 2x dx erhält man x cos x 2 dx = 2 cos x 2 2x dx = 2 cos y dy = sin y + c = sin x 2 + c 2 2 Im letzten Schritt erfolgt die Rücksubstitution, um die Stammfunktion als Funktion der ursprünglichen Variable x darzustellen. integral2.pdf, Seite 5

16 Weitere Beispiele Mit der Substitution y = 2x + dy = 2 dx erhält man sin(2x + ) dx = sin(2x + ) 2 dx = sin(y) dy 2 = cos(y) + c = cos(2x + ) + c Die Stammfunktion von tan x = sin x kann mit Hilfe der cos x Substitution y = cos x dy = sin x dx bestimmt werden: sin x tan x dx = cos x dx = ( sin x) dx cos x = dy = ln y +c = ln cos x +c y integral2.pdf, Seite 6

17 Bemerkung und Beispiel Die Substitutionsregel kann auch in der umgekehrten Richtung angewandt werden, z. B. lässt sich sin x dx mittels der Substitution t = x x = t 2 dx = 2t dt und anschlieÿender partieller Integration (mit u(t) = 2t und v (t) = sin t) berechnen: sin x dx = sin t 2t dt = cos t 2t + = cos t 2t + 2 sin t = 2(sin t t cos t) + c = 2(sin x x cos x) + c 2 cos t dt integral2.pdf, Seite 7

18 Lineare Substitution Vergleichsweise einfach wird die Substitution, wenn die innere Funktion g linear ist, also g(x) = ax + b. Ist F eine Stammfunktion von f, so folgt mit y = ax + b dy = a dx dx = dy a f (ax +b) dx = f (y) dy = F (y)+c = F (ax +b)+c a a a Beispiele cos 3x dx = sin 3x + c für x R 3 e 2x+ dx = + c für x R 2 e2x+ x + 2 dx = 2 ( 2 x + 2) 3/2 + c für x sin(2 5x) dx = cos(2 5x) + c für x R 5 dx = ln 3x 2 für x R \ { } 2 3x integral2.pdf, Seite 8

19 Bestimmtes Integral (2. Grundaufgabe) Ist f : [a, b] R stetig mit f (x), so ist das bestimmte Integral b a f (x) dx deniert als der Flächeninhalt des Bereichs a x b und y f (x). integral2.pdf, Seite 9

20 Ohne die Bedingung f (x) Im allgemeinen Fall gehen Flächen unterhalb der xachse mit negativem Vorzeichen ein. integral2.pdf, Seite 2

21 Formale Denition des bestimmten Riemann-Integrals erfolgt als Grenzwert von Riemannschen Summen (wie Oberund Untersummen) integral2.pdf, Seite 2

22 Der Fundamentalsatz (oder Hauptsatz) der Dierential- und Integralrechnung stellt die Verbindung zwischen der. und der 2 Grundaufgabe her und erlaubt die Berechnung bestimmter Integrale mittels Stammfunktionen: Ist F auf dem Intervall [a, b] eine Stammfunktion von f, so gilt b a umgekehrt: Ist f stetig, so ist f (x) dx = F (b) F (a) = F (x) F (x) = eine Stammfunktion von f. x a f (t) dt b a integral2.pdf, Seite 22

23 Beispiele 3 x 2 dx = x 3 3 = = 9 = x dx = +x ln( + x 2 ) 2 = ln 5 ln = ln Die Stammfunktion wurde dabei mit der Substitution y = + x 2 bestimmt. π 2 sin x dx = cos x π = cos π + cos = + = 2 3x 2 dx = 2 (3x )3/2 = / /2 = 6 Bemerkung 2 = Die Integrationskonstante c hat keinen Einuss auf das Ergebnis, da sie sich bei F (b) F (a) weghebt. Daher kann zur Berechnung eines bestimmten Intergrals eine Stammfunktion mit irgendeinem c gewählt werden. integral2.pdf, Seite 23

24 Bestimmte Integrale und Substitution Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals mit Hilfe einer Substitution gibt es zwei mögliche Wege:. Man löst zunächst das entsprechende unbestimmte Integral inklusive der Rücksubstitution und setzt im letzten Schritt die Grenzen in die Stammfunktion ein. Beispiel: 4 x dx = x 9 + x 2 = = 5 3 = 2. 2 Dabei wurde die Stammfunktion durch die Substitution y = 9 + x 2 dy = 2x dx bestimmt: x dx = dy = 9 + x 2 2 y 2 2 y = 9 + x 2 integral2.pdf, Seite 24

25 Substitution bestimmter Integrale 2. Alternativ kann auf die Rücksubstitution von y zu x verzichtet werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass sich die Integrationsgrenzen entsprechend ändern: Mit y = g(x) gilt b a f (g(x)) g (x) dx = g(b) g(a) f (y) dy Im Beispiel erhält man mit g(x) = 9 + x 2 g (x) = 2x 4 x dx = 9 + x 2 2 = dy = y 2 2 y g(x) g (x) dx = g(4) g() = 25 9 = 2 y dy integral2.pdf, Seite 25

26 Bemerkung und Denition Ist a > b, so setzt man b a f (x) dx = f (x) dx, a b d. h. Flächen oberhalb der xachse werden negativ und Flächen unterhalb der xachse positiv gezählt. Auÿerdem deniert man a a f (x) dx =. In diesen Fällen behält der Fundamentalsatz seine Gültigkeit. Beispiel 2 x 2 dx = 2 x 2 dx = 3 x 3 2 = = 7 3 integral2.pdf, Seite 26

27 Eigenschaften des bestimmten Integrals ( ) s f (x) + t g(x) b a dx = s b f (x) dx + t b a a g(x) dx für s, t R (Linearität) c f (x) dx = b f (x) dx + c f (x) dx für beliebige a, b, c a a b Ist a < b und f (x) für alle x [a, b], so ist b a f (x) dx (Positivität) allgemeiner: Ist a < b und f (x) g(x) für alle x [a, b], so ist b f (x) dx b g(x) dx a a (Monotonie) Folgerung: Ist m f (x) M für alle x [a, b], so gilt m (b a) b a f (x) dx M (b a) integral2.pdf, Seite 27

28 . Mittelwertsatz der Integralrechnung Ist a < b und f stetig auf [a, b], so gibt es ein ξ [a, b] mit b a f (x) dx = f (ξ) (b a) b f (x) dx = f (ξ), b a a d. h. der Mittelwert der Funktion f (x) dx wird in b a a (mindestens) einem Punkt ξ als Funktionswert angenommen. Bemerkung Der Mittelwertsatz der Integralrechnung entspricht dem Mittelwertsatz der Dierentialrechnung angewandt auf eine Stammfunktion F (x). b integral2.pdf, Seite 28

29 Beispiele Der Mittelwert der Funktion f (x) = x 2 im Intervall [; 2] ist 2 x 2 dx = x 2 3 = (23 3 ) = 8 = Der Mittelwert ist Funktionswert an der Stelle 4 x =, 5. 3 Der Mittelwert der Cosinusfunktion im Intervall [ π; ] π 2 ist π/2 π cos x dx = π/2 π sin x π/2 = (sin π π sin ( )) π 2 2 π/2 = π ( ( )) = 2, 637 π Dieser Funktionswert wird an 2 Stellen x ±, 88 angenommen. 2 integral2.pdf, Seite 29

30 Numerische Integration mit der Trapezregel Approximation des Integrals durch Trapezächen: xi+ x i f (x) dx p 2 ( ) f (x i ) + f (x i+ ). Andere Verfahren wie die Simpsonregel berücksichtigen auch die Krümmung der Kurve. integral2.pdf, Seite 3

31 Uneigentliche Integrale. Fall: Eine Integrationsgrenze ist ±. Man setzt falls der Grenzwert existiert. a b f (x) dx = lim f (x) dx, b a In diesem Fall sagt man, dass das uneigentliche Integral existiert bzw. konvergiert, die Funktion f ist dann auf dem Intervall [a, ) uneigentlich integrierbar. Analog werden b f (x) dx = lim a b a und f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx deniert. f (x) dx integral2.pdf, Seite 3

32 Beispiele ) dx = lim x b ( 2 x b ( = lim b + ) = b ( ) dx = x lim b ln x b = lim b (ln b ) = ) cos x dx = lim b (sin x = lim b (sin b ) existiert nicht, d. h. das Integral ist divergent dx = dx + dx +x 2 +x 2 +x 2 arctan lim a arctan a + lim b arctan b arctan = π 2 + π 2 = π e x 2 dx = π ist nicht mit elementaren Mitteln berechenbar. b integral2.pdf, Seite 32

33 2. Fall Die Funktion ist auf (a, b) stetig, aber an einer Integrationsgrenze a oder b nicht deniert. Dann setzt man bzw. b a b a γ f (x) dx = lim f (x) dx, γ b a b f (x) dx = lim f (x) dx, γ a+ γ Ist f an beiden Grenzen nicht deniert bzw. nicht stetig, so setzt man (auch falls eine der beiden Grenzen ± ist) b a f (x) dx = c für ein beliebiges c (a, b). a f (x) dx + b c f (x) dx integral2.pdf, Seite 33

34 Beispiele ( x dx = lim γ + 2 ) ( ) x = lim γ γ = 2 x 2 dx = lim γ + ( x γ γ ) = lim γ + dx = dx + dx x 2 x 2 x 2 ( ) + = γ lim a +(arcsin arcsin a) + lim b (arcsin b arcsin ) = arcsin arcsin( ) = π 2 + π 2 = π Bemerkungen Bei beidseitig uneigentlichen Intergralen müssen immer beide Grenzwerte getrennt betrachtet werden. Es sind auch Kombinationen der Fälle, 2 und 3 (siehe nächste Seite) möglich. integral2.pdf, Seite 34

35 3. Fall Die Funktion hat eine Denitionslücke in einem Punkt c im Inneren des Integrationsintervalls. In diesem Fall (a < c < b) zerlegt man das Intervall [a, b] in zwei Teile [a, c) und (c, b] und berechnet die uneigentlichen Integrale von a bis c sowie von c bis b. Beispiel f (x) = x /3 hat einen Pol in x =. Es folgt 8 x /3 dx = x /3 dx + 8 x /3 dx = 3 2 x 2/ x 2/3 8 3 = lim γ 2/3 γ ( ) 2/ /3 lim γ + 2 = = 5. 3 γ 2/3 2 integral2.pdf, Seite 35

36 Das Majorantenkriterium ermöglicht es in Fällen, in denen keine Stammfunktion gefunden werden kann, die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals nachzuweisen: Existiert das uneigentliche Integral b g(x) dx < und ist a f (x) g(x) für alle x (a, b), so ist auch f (x) auf (a, b) (bzw. [a, b) oder (a, b]) uneigentlich integrierbar. Ist umgekehrt f (x) g(x) und divergiert b a divergiert auch b f (x) dx. a g(x) dx, so integral2.pdf, Seite 36

37 Beispiel Mit f (x) = sin x x 3/2 für x (, ) ist f (x) = sin x x x x sowie f (x) x 3/2, wobei die uneigentlichen Integrale dx x = 2 und dx x 3/2 = 2 existieren. Es folgt, dass f auf (, ) uneigentlich integrierbar ist. integral2.pdf, Seite 37

38 Die Gammafunktion Für festes x deniert man Γ(x) = t x e t dt Dieses uneigentliche Integral konvergiert für alle x >. Für x (; ] erkennt man dies durch Betrachtung der Majoranten g (t) = t x und g 2 (t) = e t. Mit f (t) = t x e t ist dann f (t) = f (t) g (t) für t (; ] sowie f (t) g 2 (t) für t [; ), wobei die Integrale g (t) dt und g 2 (t) dt konvergieren, woraus nach dem Majorantenkriterium die Konvergenz von f (t) dt folgt. Im Fall x > kann die Konvergenz auf ähnliche Weise gezeigt werden, d. h. Γ(x) ist deniert für alle x (; ). Man kann zeigen (mit Hilfe partieller Integration), dass gilt Γ(x + ) = x Γ(x). Zusammen mit Γ() = e t dt = folgt daraus (durch vollständige Induktion), dass Γ(n + ) = n! für alle n N. integral2.pdf, Seite 38

39 Integral unstetiger Funktionen Das Intergral b f (x) dx kann in vielen Fällen auch deniert a werden, wenn der Integrand f (x) nicht stetig ist, z. B. bei endlich vielen Sprungstellen. Eine allgemeinere Dention als das hier behandelte RiemannIntegral ist das LebesgueIntegral. Im Fall stetiger Funktionen liefern Riemann- und LebesgueIntegral das selbe Ergebnis. integral2.pdf, Seite 39

40 Fourier-Reihen Betrachtet werden periodische Funktionen f : R R (zunächst) mit Periode 2π, d. h. f (x + 2π) = f (x) für alle x. Das Ziel ist eine Darstellung von f (x) durch Sinus- und Cosinusfunktionen, genauer eine Approximation durch trigonometrische Polynome der Form F n (x) = a n ( ) 2 + a k cos kx + b k sin kx k= = a 2 +a cos x+b sin x+a 2 cos 2x+b 2 sin 2x+...+a n cos nx+b n sin nx Anwendungen in der Signalverarbeitung, JPEG- und MP3Kodierung,... Bemerkung Statt einer periodischen Funktion kann auch eine beliebige (stückweise) stetige Funktion f : [ π; π) R betrachtet werden, die dann periodisch auf R fortgesetzt werden kann. integral2.pdf, Seite 4

41 Satz Mit den FourierKoezienten a k = π π π f (x) cos kx dx und b k = π erhält man die FourierPolynome k= π π F n (x) = a n ( ) 2 + a k cos kx + b k sin kx f (x) sin kx dx für f (x). Diese sind dadurch charakterisiert, dass der mittlere quadratische Fehler ( π 2dx f (x) F π n (x)) der Approximation den kleinstmöglichen Wert unter allen trigonimetrischen Polynomen vom Grad n annimmt. Darüber hinaus gilt lim n π π ( f (x) F n (x)) 2dx =. integral2.pdf, Seite 4

42 Beispiel { für x [ π; ) Für f (x) = erhält man für x [, π) ( a k = ( π π cos kx) dx + ) π cos kx dx = ( sin + sin( kπ) + sin kπ sin ) = k π für alle k sowie ( b k = ( π π sin kx) dx + ) π sin kx dx = ( π k (cos cos( kπ)) + ( cos kπ + cos ) k = 4 k π für k ungerade und b k = für k gerade. Es folgt (für ungerade n) F n (x) = 4 (sin x + π sin 3x + sin 5x sin nx) 3 5 n integral2.pdf, Seite 42

43 Fourierpolynome F, F 3, F 5, F 7 und F 3 für f (x) = { für x [ π; ) für x [, π) integral2.pdf, Seite 43

44 Die FourierReihe Für jedes feste x, in dem f (x) stetig ist, erhält man mit n f (x) = lim n F n (x) = 2 a + ( ) a k cos kx + b k sin kx k= Im letzten Beispiel ist f (x) = 4 (sin x + π sin 3x + sin 5x + sin 7x +...) Bemerkung Im Fall einer periodischen Funktion mit Periode 2π kann über ein beliebiges Intervall der Länge 2π integriert werden. Man erhält also die gleichen Ergebnisse, wenn man z. B. 2π... anstatt π... π betrachtet. integral2.pdf, Seite 44

45 Weitere Bemerkungen Wie auch die Taylorreihe ist die Fourierreihe eine Funktionenreihe, d. h. eine gegebene Funktion f (x) wird durch bestimmte Grundbausteine (hier sin/cosfunktionen) dargestellt. Während Taylorpolynome eine lokale Approxiamtion in einer Umgebung des Entwicklungspunktes x liefern, ist die Approxmation durch trigonometrische Fourier-Polynome global auf dem gesamten Periodenintervall. Eine Verallgemeinerung der Fourierreihen ist die Fouriertransformation, durch die nichtperiodische Funktionen mit Hilfe der Sinus- und CosinusFunktion dargestellt werden können. integral2.pdf, Seite 45

46 Eigenschaften der Fourierkoezienten a k und b k Der konstante Term a der Fourierreihe ist der Mittelwert 2 der Funktion f (x) im Intervall [ π; π]. Ist f eine gerade Funktion (d. h. f ( x) = f (x) für alle x), so ist für alle k π b k = und a k = 2 f (x) cos kx dx π Ist f eine ungerade Funktion (d. h. f ( x) = f (x) für alle x), so ist für alle k π a k = und b k = 2 f (x) sin kx dx π integral2.pdf, Seite 46

47 Beispiel f (x) = x für x [ π; π) ist eine ungerade Funktion. Man erhält a k = und mit partieller Integration und linearer Substitution y = kx π x sin kx dx = k x cos kx π = π k cos kπ + + k 2 sin kx + k π π cos kx dx = π ( )k+ k + (da cos kπ =, falls k gerade und =, falls k ungerade) Es folgt b k = 2 π π ( )k+ k f (x) = x = k= 2 ( ) k+ k = 2 ( )k+ k sin kx und somit = 2 sin x sin 2x + 2 sin 3x sin 4x + 2 sin 5x sin 6x ± für alle x ( π; π) integral2.pdf, Seite 47

48 Fourierpolynome F, F 2, F 3, F 4 und F 5 von f (x) = x Die Approximation ndet nur auf dem Intervall ( π; π) statt. Auÿerhalb werden die Fourierpolynome periodisch fortgesetzt und ergeben für n eine Sägezahnkurve. integral2.pdf, Seite 48

49 Funktionen mit Periode T > beliebig In diesem Fall erhält man ( ) f (x) = a + a 2 k cos kωx + b k sin kωx k= mit ω = 2π T und und a k = 2 T b k = 2 T T T f (x) cos kωx dx für k f (x) sin kωx dx für k integral2.pdf, Seite 49