Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik

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1 Gunter Ochs Juli 0 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immel ohne Galantie auf Fehreleiheit Sei f ln a Berechnen Sie die und die Ableitung f und f Mit der Produktregel erhält man f ln + ln + und f ln + + ln + b Geben Sie die Gleichung für die Tangente T sowie für das Taylorpolynom Ordnung T an der Stelle 0 an Mit f ln 0, f ln + und f ln + ist T f 0 + f und T T + f c Prüfen Sie, ob der Grenzwert lim f eistiert und berechnen Sie ihn gegebenenfalls Mit g g ist f g 0 Mit der Regel von l'hospital erhält man g lim f lim g f g f a Bestimmen Sie alle und partiellen Ableitungen der Funktion f, y sin y y ln + Mit der Kettenregel für den ersten Summanden sin y erhält man die partiellen Ableitungen f cos y y +, f y cos y y ln, f sin y + y + 6, f y f y sin y y und f yy sin y ln b Geben Sie die Gleichung für die Tangentialebene an der Stelle 0 ; y 0 ; an Mit f; sin 0 ln , f ; cos und f y ; cos 0 ln 0 erhält man T, y f; + f ; + f y ; y + y y + c Bestimmen Sie an der Stelle 0 ; y 0 ; die Richtungsableitung in Richtung des Vektors v 0, 6 0, 8 5 Nach b ist der Gradient grad f; f; f y; woraus man die Richtungsableitung grad f;, v 0, 6 0, 8 0, 6 + 0, 8, erhält Bemerkung: Die ursprüngliche Fassung der Aufgabe enthielt einen kleinen Tippfehler Mit v 5 wäre die Lösung 5 0, d In Richtung welches Vektors ist an der Stelle 0 ; y 0 ; die Steigung am gröÿten Die gröÿte Steigung ist in Richtung des Gradientenvektors,

2 Bestimmen Sie alle lokalen Etrema der Funktion f, y y y + y Kandidaten sind die Nullstellen des Gradienten: grad f, y f f y y y Aus der Gleichung folgt y, dies eingesetzt in die Gleichung ergibt + 0, mit der Gleichung erhält man daraus wiederum y Somit ist der einzige Kandidat für ein lokales Maimum oder Minimum y Um zu entscheiden, ob es sich um ein Maimum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt, werden die partiellen Ableitungen benötigt, die in der HesseMatri zusammengefasst werden: f f H f y ist unabhängig von, y Aus det H f y f yy f > 0 folgt, dass ein lokales Etremum vorliegt Wegen f < 0 handelt es sich um ein lokales Maimum Der zugehörige Funktionswert ist f; a Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung t + t Mit Trennung der Variablen: d dt t + t d t + t dt d t + t dt y dy y/ + c + / + c Das Integral auf der rechten Seite wurde dabei mit der Substitution y + t dy t dt gelöst Die Lösung der DGL erhält man durch Umstellen nach Kehrwert bilden und Multiplikation mit : t mit c c R beliebig + / +c + / +c b Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung t + t Es handelt sich um eine lineare homogene DGL der Form + pt 0 mit nichtkonstantem Koezienten pt t + t Nach a ist P t + / Stammfunktion von pt Die Lösungsformel liefert damit die allgemeine Lösung der DGL: t c e P t c e + / mit c R beliebig c Finden Sie jeweils eine spezielle Lösung mit 0 In die Lösung aus a eingesetzt erhält man 0 / +c +c + c c, d h das AWP hat die Lösung + / Mit der Lösung aus b folgt 0 c e +0 / c e / c e / e 0, 77, d h t e / e + / e + / ist Lösung des AWP

3 5 a Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung + + t Man löst zunächst die homogene DGL mit der charakteristischen Gleichung λ + λ + 0 λ ± ± 0 Da λ die einzige Lösung ist, liegt der Fall der Lösungsformel vor: h t c + c t e t ist allgemeine Lösung der homogenen DGL Für eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL macht man den Ähnlichkeitsansatz s t αt + β st α und st 0 Eingesetzt erhält man 0 + α + αt + β t, Koezentenvergleich ergibt die Gleichungen α α und α + β 0 β α Somit ist s t t und die allgemeine Lösung t s t + h t t + c + c t e t mit c, c R beliebig b Besitzt die Gleichung aus a eine Lösung t mit lim t t 0? Unabhängiig von der Wahl von c und c gilt lim t h t 0 Es folgt lim t t lim t s t, d h es gibt keine Lösung, für die dieser Grenzwert 0 ist 6 Sei f für 0 < und f 0 sonst a Rechnen Sie nach, dass f Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Dazu muss zum Einen gelten f 0 für alle, was erfüllt ist, da > 0 > 0 für alle > 0 Die zweite Bedingung ist f d : f d 0 / d / Bemerkung: Da bei 0 eine Polstelle hat, handelt es sich um ein uneigentliches Integral, was aber hier kein Problem darstellt b Sie X eine Zufallsvariable mit Dichte f Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P 9 X / /9 f d / /9 9 6 und P X > / f d / d / c Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X aus b EX f d 0 / d / 0 0 Mit EX f d 0 / d 5 5/ erhält man die Varianz V X EX EX

4 7 In einer Urne benden sich rote und 6 grüne Kugeln a Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich unter ohne Zurücklegen gezogenen Kugeln mindestens rote benden? Angabe einer Formel genügt Mit der hypergeometrischen Verteilung: Von N 9 Kugeln, darunter K mit der Eigenschaft rot, werden n ausgewählt Die 6 k k Wahrscheinlichkeit für k gezogene rote Kugeln ist damit Hk ; ; 9 9 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl X der gezogenen roten Kugheln mindestens zwei beträgt, ist somit 6 6 P X P X + P X da mehr als K rote Kugeln nicht möglich sind b Jetzt werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen, d h in jedem Zug ist die Wahrscheinlichkeit für rot und für grün Die Zufallsvariable X gebe die Zahl der roten Kugeln bei 8 Ziehungen an i Welcher Verteilung genügt X? Hier liegt eine Binomialverteilung vor, da bei jeder der n 8 Ziehungen die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel gleich ist und zwar p ii Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X EX n p 8 8, V X n p p Formeln für die Binomilaverteilung und σ X V X iii Geben Sie eine Formel an für die Wahrscheinlichkeit P X < P X < P X 0 + P X + P X 8 k0 k k iv Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zahl der roten Kugeln, wenn Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden EX 8 und V X 6 vgl ii 8 Die Zahl X der innerhalb einer Stunde in einer Telefonzentrale eingehenden Anrufe sei Poissonverteilt mit Erwartungswert 6 a Geben Sie Varianz und Standardabweichung von X an Bei einer PoissonVerteilung sind Erwartungswert und Varianz gleich dem Parameter λ, d h es ist V X λ EX 6 Die Standardabweichung ist σ X V X 6 b Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes mit Stetigkeitskorrektur näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten i P X > 600 P X > 600, 5 Φ 600,5 λ λ Φ 600,5 6 Φ,5 Φ 0, 98 Φ0, 98 0, 865 8, 65 %, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet ii P 60 X 60 P 69, 5 < X < 60, 5 Φ Φ 60,5 6 8 k 69,5 6 Φ0, Φ 0, Φ0, Φ 0, Φ0, 0, 587 7, % iii P 60 < X < 60 P 60, 5 < X < 69, 5 Φ Φ 69,5 6 60,5 6 Φ0, 8 Φ 0, 8 Φ0, 8 Φ 0, 8 Φ0, 8 0, 57, 8 %

5 9 Gegeben sei eine Stichprobe mit den Werten 0, 0,,, 5 und 7 a Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median und die beiden Quartile 0, und 0, Mit n 6 ist n 0, 5 Z Damit liegt der Median 0,5 + + zwischen dem und dem Wert der geordneten Urliste Die Quartile berechnet man durch n0,, 5 aufgerundet 0, 0 und n0, 75, 5 aufgerundet 5 0, b Berechnen Sie die empirische Varianz s, die Standardabweichung s, die Spannweite sowie den Interquartilsabstand s s s 8 Der Interquartilsabstand ist 0,75 0, und die Spannweite c Für die zweidimensionale Stichprobe k ; y k mit den Wertepaaren 0; 0, 0;, ;, ;, 5; und 7; 0 bestimmen Sie bitte die empirische Kovarianz und den Korrelationskoezienten s y 6 5 k k y k y und r y sy s s y / , 05 Hinweis: Die Werte entsprechen der eindimensionalen Stichprobe oben, für die Mittelwert und Varianz s in a bzw b berechnet wurden Für die ywerte gilt y 0 und s y braucht nicht nachgerechnet zu werden d Bestimmen Sie eine Regressionsgerade für die zweidimensionale Stichprobe aus c y a + b mit a sy /5 s 8 0 und b y a Bei einem normalverteilten Merkmal mit Erwartungswert µ und Varianz σ ergibt eine Stichprobe vom Umfang n 8 ein arithmetisches Mittel 5, 6 und eine empirische Varianz s a Testen Sie anhand der Stichprobe unter der Annahme, dass die Varianz σ unbekannt ist, zum Signikanzniveau α 5 % die Alternative H : µ > 5 gegen die Nullhypothese H 0 : µ 5 Durchzuführen ist ein ttest, die Teststatistik ist t n 8 µ s 5, 6 5 0, 6, 8 Da es sich um einen einseitigen Test handelt, ist t mit dem αquantil t 7; 0,95, 7 der tverteilung mit n 7 Freiheitsgraden zu vergleichen Wegen t > t 7; 0,95 wird H 0 verworfen und H angenommen b Was würde sich ändern, wenn stattdessen ein zweiseitiger Test mit der Alternative H : µ 5 durchgeführt würde? Hier ist t aus a mit dem α Quantil t7; 0,975, der tverteilung zu vergleichen Wegen t < t 7; 0,975 wird jetzt H 0 beibehalten und H abgelehnt c Würden sich die Ergebnisse in a und b ändern, wenn σ als bekannt vorausgesetzt würde? In diesem Fall ist ein GauÿTest durchzuführen Die Teststatistik z n µ, 8 σ hat den gleichen Wert wie in a Zu vergleichen ist sie jetzt mit den entsprechenden Quantilen z 0,95, 65 und z 0,975, 96 der Standardnormnalverteilung Wegen z > z 0,95 und z < z 0,975 wären die Entscheidungen jeweils die gleichen wie in a und b, d h bei einem einseitigen Test würde H angenommen, während bei einem zweiseitigen Test H 0 beibehalten würde d Geben Sie unter der Annahme, dass die Varianz unbekannt ist ein zweiseitiges Kondenzintervall für µ zum Vertrauensniveau α 95 % an s Das Intervall hat die Form [ c; + c] mit c n t 7; 0,975 9,, 0, 7 Somit ist I [, 9; 6, ]