Die Leistung von Quicksort

Transkript

1 De Lestung von Qucsort Jae Hee Lee Zusammenfassung Der Sorteralgorthmus Qucsort st als ens der effzenten Sorterverfahren beannt. In deser Ausarbetung werden wr sene Komplextät zuerst möglchst präzse schätzen und schleßlch se exat bestmmen. Enletung Se X ene n-menge mt ener gegebenen strten totalen Ordnung. Seen (a,a 2,...,a n ) ene Lste der Elemente von X, de n zufällger Rehenfolge aufgelstet snd. Gesucht st dann enen Algorthmus, der durch paarwesen Vergleche de natürlche Ordnung herstellt. 2 Der Algorthmus. Ist de zu sorterende Lste leer, dann stopp. 2. Nmm das erste Element a heraus und blde de Tellste L, welche Elemente lener als a enthält, und L +, welche Elemente größer als a enthält. 3. Sortere L,L Lefere das Ergebns (L,a,L + ) zurüc. 3 Bestmmung der Komplextät von Qucsort Wr möchten nun de durchschnttlche Anzahl der paarwesen Vergleche für Qucsort berechnen. Zunächst wrd ene untere Schrane für de Komplextät von Qucsort angegeben, de anhand des bnären Baumes zu fnden st. Defnton (Bnärer Baum). En Bnärer Baum st en Graph mt folgenden Egenschaften: Es gbt genau enen Knoten mt genau zwe Nachbarnoten. Er st de Wurzel des Graphen. Jeder Knoten hat entweder enen oder dre Nachbarnoten. Man bezechnet se als Blatt bzw. als nneren Knoten. Es gbt enen Zyel (geschlossener Pfad zwschen zwe verschedenen Knoten) und jeder Knoten st von der Wurzel errechbar.

2 De Höhe enes Knotens v st de Länge des Pfades von der Wurzel nach v. De Wurzel hat de Höhe 0 und deren beden Nachfoger haben de Höhe usw. Dann hat jeder Knoten, der en Blatt st, zwe Nachfolger n der nächsten Höhe und jeder Knoten, der ene Wurzel st, hat enen Vorgänger. Bemerung. Sorteren ener Lste mt n Elementen st äquvalent zum Suchen enes Elements aus der Menge der Permutatonen S n, das de natürlche Ordnung der Lste herstellt. Zu jedem Sorteralgorthmus gbt es enen entsprechenden bnären Baum. Herbe betrachte man de Wurzel des Baumes als de Menge S n, jeden anderen Knoten als ene Menge von Permutatonen und de beden Nachfoger enes Knotens als Telmenge deses Knotens, de sch als Antwort enes Elementenverglechs ergeben. Dann snd de Blätter deses Baumes jewels ene enelementge Menge, de de gesuchte Permutaton enthält und de Höhe enes Blattes st de Anzahl der Elementenvergleche, de man für das Fnden der zugehörgen Permutaton des Blattes gebraucht hat. (a,a 2,a 3,a 4 ) a 2 (a 2,a 4 ) 7 (a 3 ) a 2 a 3 3 () 4 (a 4 ) () 8 () 9 a 4 5 () 6 () Abbldung : En Bnärer Baum, der das Sorteren ener Lste (a, a 2, a 3, a 4) (3,, 4, 2) darstellt. De Wurzel st her de zu sorterende Lste. Rehenfolge der Reursonen wrd mt ungereste Zahlen nummerert. Jeder lne Nachfolger st de Tellste L von senem Vorgänger und entprechend jeder rechter Nachfolger st de Telste L 2 von senem Vorgänger. De Blätter snd her de leere Lsten, be den der zughörge Reursonsprozess stoppt. De Pvotelemente von jedem Reursonschrtt stehen jewels unter dem zugehörgen Knoten. 2

3 S 4 a < a 2 (234), (243), (324), (342) (234), (243), (324), (342) (324), (324), (423), (432) (423), (423), (432), (432) (423), (432), (234), (234) (243), (243), (342), (342) a < a 3 (324), (324), (423), (432) (423), (423), (432), (432) (234), (243) (342), (324) a < a 4 (342), (324) (234), (243) a 2 < a 4 (324) (342) Abbldung 2: Durch desen Baum wrd das Suchen ener passende Permutaton unter Qucsort dargestellt. Jeder Knoten st ene Telmenge von S 4. Ene Permutaton ( j l) n enem solchen Knoten st de Permutaton, de das. Element n de -te Stelle, das 2. Element n j-te Stelle, das 3. Element n -te und das 4. Element n l-te Stelle brngt. Be jedem Knoten wrd en Elementenverglech ausgeführt und de Permutatonen, de desen Verglech erfüllen, stehen weter m rechten Nachfolger des ursprünglchen Knotens und de desen Verglech ncht erfüllen stehen m lnen Nachfolger. Das Bespel von Abb., Sorteren der Lste (a, a 2, a 3, a 4) (3,, 4, 2), ann man her als Suchen der Permutaton (3 42) ntepreteren. Wr behaupten nun, dass de gesuchte untere Schrane für de durchschnttlche Zahl von Verglechn nlog n n + O(log n) st. (Das Landausche Symbol O wrd unten erlärt). De Behauptung st ene Folgerung von Proposton, deren Bewes wr nach Bewesen enger Lemmata lefern werden. 3

4 Defnton 2. Seen f und g Funtonen auf N und c R. Das Landausche Symbol O(f) bezechnet Funton g mt 0 g(n) f(n) c n N Proposton. Se N de Anzahl der Blätter enes Baumes. Dann st de durchschnttlche Höhe der Blätter mndestens log 2 N nlog n n + O(log n). Korrolar. De durchschnttlche Anzahl der paarwesen Vergleche für Qucsort st Lemma. Es glt nlog n n + O(log n). nlog n n + log n! nlog n n + (log(n + ) + 2 2log 2), und daraus folgt log n! nlog n n + O(log n) Bewes. Da y log x ene monoton stegende Funton auf R st, glt Daraus folgt: und somt + n + n log(x)dx log( + ) +2 + n n log(x)dx log( + ) n log(x)dx log( + ) log(n!) log(x)dx +2 + n+ 2 log(x)dx log(x)dx De untere Schrane st das, was wr haben wollten. Für de ober Schrane glt n+ dx n+ log(n + ) log(n) x dx n n n, n da x ene monoton fallende Funton st. Somt glt und Ensetzen n de obere Schrane lefert nlog(n + ) nlog(n) + log(n!) log(n + ) + nlog(n) n 2log(2) + 2 Lemma 2. Es gbt zwe Blätter von maxmaler Höhe, de denselben Vorgänger haben. Bewes. Se v en Blatt von maxmaler Höhe h. Dann hat sen Vorgänger v de Höhe h. Da v en nnerer Knoten st, hat er zwe Nachfolger der Höhe h. 4

5 Lemma 3. Es se en Baum mt N Blättern gegeben. Se h de maxmale Höhe des Baumes. Seen v und v 2 de zwe Blätter der höhe h mt denselben Vorgänger. Hat der Baum en Blatt der Höhe h α mt α >, nenne es v α, so fndet man enen anderen Baum mt derselben Blätteranzahl, der nedrgere durschnttlche Höhe von Blättern hat. Bewes. Se p de Blätteranzahl des Baumes und d de durchschnttlche Höhe der Blätter und d deselbe ohne de Blätter v α,v und v 2. Dann glt: d d (p 3) + 2h + (h α) p d (p 3) + 3h α p > d (p 3) + 3h (2α ) p d (p 3) + (h ) + 2(h α + ) p De Zele (4) st de durchschnttlche Höhe der Blätter vom neuen Baum, der durch Anhängen der Blätter v und v 2 an das Blatt v α entsteht. Bemerung. Führt man den obgen Prozess weter bs der Höhenuntersched von zwe belebgen Blättern lener glech ens wrd, so haben wr enen Baum T, be dem de durchschnttlche Höhe der Blätter mnmal st. Her haben de Blätter de Höhe m oder m+, für en m N 0. Der Baum T hat dann en Blatt der Höhe lener m und somt gbt es 2 m Knoten der Höhe m. (Per Induton: Für m0 st das Blatt der Höhe m gerade de Wurzel. Gelte de Behauptung für m. Da jeder Knoten der Höhe m zwe Nachfolger hat, gbt es 2 2 m Blätter der Höhe m.) Lemma 4. Se p de Anzahl der nneren Knoten n der Höhe m und se N de Gesamtanzahl der Blätter. Dann glt: N 2 m + p, 0 p < 2 m Bewes. Da de nneren Knoten der Höhe m jewels zwe Nachfolger haben, gbt es 2p Blätter n der Höhe m +. Außerdem gbt es 2 m p n der Höhe m. Also gbt es nsgesamt 2 m p Blätter. Lemma 5. log 2 (2 m + p) m + 2p/(2 m + p), 0 p < 2 m Bewes. Ohne weteres önnen wr annmmt, dass p R st. Setze p 2 m θ mt 0 θ <. Dann glt: log 2 (2 m + p) m + 2p 2 m + p log 2 (2 m + 2 m θ) m + 2 2m θ 2 m + 2 m θ log 2 (2 m ( + θ)) m + 2θ + θ log 2 ( + θ) 2θ + θ f(θ) : log 2 ( + θ) 2θ +θ 0 () (2) (3) (4) 5

6 Wr zegen, dass de Funton f m Enhetsnterval nur ncht-postve Werte annehmen. Es glt: ( f (θ) log 2 ) 2θ log( + θ) +θ log 2 +θ 2(+θ) 2θ (+θ) 2 ( log 2 2 +θ ) +θ und f (θ) 0 log 2 2 +θ 0 θ 0 : log 4 st de enzge Nullstelle von f [0,] Es glt außerdem f(0) f() 0 und f (0) log 2 2 < 0. Daraus folgt, dass f (θ) < 0 st für θ [0,log 4 ), denn gbt es en θ [0,log 4 ) mt f (θ) 0, so gbt es nach dem Zwschenwertsatz en θ mt f(θ ) 0, was der Tatsache wdersprcht, dass es nur ene Nullstelle von f gbt. Da f (θ 0 ) folglch en globales Maxmum st, snd de Randpunte en solcher. Da se aber bede glech Null snd, st f(θ) 0 für θ [0,] und somt folgt de Behauptung. Bewes von Proposton. Nach Lemma 4 und dessen Bewes st de durchschnttlche Höhe der Blätter (2 m p)m + 2p(m + ) N Mt Lemma 5 folgt dann de Behauptung. m + 2p 2 m + p Nun geben wr de Komplextät von Qucsort an. Davor muss allerdngs en Lemma bewesen werden. Lemma 6. Es se f : [; ] R ene monoton fallende Funton mt f 0. Dann st de Folge der Dfferenzen n n+ a n : f() f(x)dx beschränt mt Bewes. Da f monoton fällt, glt 0 a n f(). also f() + f()dx + f(x)dx a n ( n f() + + f(x)dx f( + )dx f( + ), ) 0 6

7 und a n ( n f() + ) n f(x)dx (f() f( + )) f() f(0). Korrolar. Es glt n < log(n) + O() Bewes. De Funton /x st monoton fallend. Nach Lemma 6 glt n log(n + ) < Es glt außerdem Daraus folgt exp(log(n + ) log n) n + n 2, log(n + ) log n + log 2 für n N Also n < log(n + ) + log n + log 2 + log n + O() Proposton 2. De durchschnttlche Anzahl der Elementenvergleche von Qucsort st 2nlog n + O(n) Bewes. Se q n de durchschnttlche Anzahl Vergleche, de für das Sorteren ener Lste mt n Elementen benötgt wrd. Dann haben wr q n n + n (q + q n ) (5) n n + n q mt q 0 0. (6) n 0 Se Q(t) q n t n n 0 ene erzeugende Funton der Folge (q n ) n N. Multplzeren der Glechung (5) mt nt n und Summeren über n lefert 7

8 n 0 nq n t n n 0 n(n )t n + 2 n 0 ( n ) q t n (7) Der erste Term st tq (t). Der zwete Term st de Taylorrehe von 2t 2 /( t) 3. Denn es glt: Durch zwefaches Dfferenzeren erhält man n 0 n 0 t n t n(n )t n 2 2 ( t) 3 Schleßlch st der letzte Term 2tQ(t)/( t), denn es glt: 0 (t/ t)q(t) t j+ q t q t +j+ j0 j0 0 m0 m0 0 j0 0 q t +j+ m q t +(m )+ 0 (Cauchy-Produt) m q t m+ Setze n : m + 0 n q t n n q t n n 0 n0 0 Setzt man se alle n de Glechung (7) en, so erhält man ene Dfferentalglechung. Ordnung: tq (t) Um dese zu lösen, betrachte man zuerst Integraton beder Seten lefert denn Q(0) 0. Somt haben wr 2t2 ( t) 3 + 2t ( t) Q(t) ( ( t) 2 Q(t) ) ( t) 2 Q (t) 2( t)q(t) 2t ( t). ( t) 2 Q(t) 2(t + log( t)), Q(t) 2(t + log( t)) ( t) 2 8

9 Es glt: t + log( t) ( ) t + ( t) t + t t 2 und ( t) 2 ( ) t j t (j ) j j0 t j (j + )t j j0 Daher st und somt Q(t) m0 m0 n2 t (j + )t j 2 j0 m 0 m+2 2 n 2 m m + 3 n + t m+2 0 j0 j t+2+j t m+2 Setze n : m + 2 t n 2 n0 n 2 q n n n + n ( n n 2(n + ) 4n n + ) 2n t n Weterhn glt nach dem Korrolar von Lemma 6 q n 2(n + )(log n + O()) 4n 2nlog n + O(n) 9

10 Lteratur [] P. J. Cameron: Combnatorcs: Topcs, Technques, Algorthms, Cambrdge Unversty Press (994), S.65 - S.67 und S.72 - S.73 [2] K. Köngsberger: Analyss, Sprnger (2003), S.22 - S.222 0