: G G G. eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,,e) eine Gruppe: (x,y) x y

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1 5 GRUPPEN 5 Gruppen Hier fehlt eine schöne Einleitung oder ein motivierendes Beispiel. Definition [5.1] Sei G eine nicht-leere Menge, e G ein (ausgezeichnetes) Element in G und : G G G eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,,e) eine Gruppe: (i) Für alle x, y, z G gilt: ( (x, y), z) = (x, (y, z)) (ii) Für alle x G gilt (x,e) = x (Assoziativität) (Ex. eines rechtseutralen Elements) (iii) Für alle x G existiert ein y G, sodass (x,y) = x (Existenz von rechtsinversen Elementen) Gilt zusätzlich: (iv) Für alle x, y G gilt (x, y) = (y, x). (Kommutivität) so nennen wir die Gruppe kommutativ. Anmerkung Da die bisher verwendete Abbildungsschreibweise im Umgang mit Gruppen recht umständlich ist, verwenden wir ab jetzt eine Infixschreibweise: (x,y) x y Betrachten wir kommutatve Gruppen, so verwenden wir oft + als Namen unserer Abbildung. Betrachten wir nicht-notwendigerweise-kommutative Gruppen so lassen wir oft das Verknüpfungssymbol weg und schreiben nur xy x y = (x,y) 5.1 Elementare Eigenschaften Bemerkung [5.2] Sei (G,,e) eine Gruppe und x,y X, sodass y rechtsinverses Element von x ist (x y = e), dann ist y auch linksinverses Element von x (y x = e). Beweis. Da y G existier für y ein rechtsneutrales Element z G (y z = e). Es ergibt sich y x (i) =(y x) e (ii) = (y x) (y z) (1) (iii) = y (x y) z (iv) = y e z (2) (v) = y z (vi) = e. (3) 15

2 5 GRUPPEN 5.1 Elementare Eigenschaften Dabei haben wir folgende Argumente verwendet: (i) Rechtsneutralität von e (ii) y z = e (iii) Assoziativität von (iv) x y = e (v) Rechtsneutralität von e (vi) y z = e Bemerkung [5.3] Sei (G,,e) eine Gruppe. Dann ist e auch ein linksneutrales Element, d.h. es gilt für alle x X auch e x = x. Beweis. Sei x X, dann gibt es ein y X mit x y = e. Es ergibt sich e x (i) = (x y) x (ii) = x (y x) (iii) = x e (iv) = x. Dabei haben wir folgende Argumente verwendet: (i) x y = e (ii) Assoziativität von (iii) Siehe [5.2] (iv) Rechtsneutralität von e Bemerkung [5.4] Sei (G,,e) eine Gruppe. Dann ist e das einzige (rechts-)neutrale Element. Mit anderen Worten: Sei ẽ ein weiteres (rechts-)neutrales Element, dann gilt e = ẽ. Beweis. In obiger Situation ergibt sich e (i) = e ẽ (ii) = ẽ. Wir verwendeten (i) Neutralität von ẽ. (ii) Neutralität von e. 16

3 5 GRUPPEN 5.1 Elementare Eigenschaften Bemerkung [5.5] Sei (G,,e) eine Gruppe und x G. Dann gibt es nur ein einziges zu x inverses Element. Mit anderen Worten: Seien y,z X mit x y = x z = e, dann gilt bereits y = z. Beweis. In obiger Situation ergibt sich y = (i) = e y (ii) = (x z) y (iii) = (z x) y (iv) = z (x y) (v) = z e (vi) = z. Wir argumentierten: (i) Neutralität von e (ii) x z = e (iii) Siehe [5.2] (iv) Assoziativität von (v) x y = e (vi) Neutralität von e Anmerkung Wir haben bisher gesehen, dass rechtsneutrale Elemente auch linksneutrale Elemente sind. Ausserdem gibt es nur ein eindeutiges Element mit dieser Eigenschaft. Wir nennen dieses Element e G das neutrale Element oder Einselement von G. Oft schreiben wir für dieses Element auch 1 e. Betrachten wir kommutatve Gruppen, so schreiben wir 0 e. Ausserdem haben wir gezeigt, dass rechtsinverse Elemente auch linksinvers sind und es zu einem Element x G nur ein eindeutiges Element y G mit diesen Eigenschaften sind. Wir nennen dieses Element das inverse Element von x und schreiben x 1 y. Insbesondere gilt (x 1 ) 1 = x. Bemerkung [5.6] Seien (G,,e) eine Gruppe und x,y,z G mit xy = xz. Dann gilt y = z. Diese Tatsache nennen wir auch Kürzungsregel. Beweis. Wir verknüpfen obige Gleichung mit x 1 G und erhalten x 1 x y = x 1 x z e y = e z y = z 17

4 5 GRUPPEN 5.2 Untergruppen und Nebenklassen 5.2 Untergruppen und Nebenklassen Definition [5.7] Sei (G,,e) eine Gruppe und H G eine nichtleere Teilmenge. Gilt für alle x,y H x y 1 H, so nennen wir H eine Untergruppen von G und schreiben auch H G. Bemerkung [5.8] Sei (G,,e) eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann gilt e H und es ist (H,,e) mit der auf H eingeschränkten Verknüpfung selbst eine Gruppe. Beweis. Wir zeigen zunächst e H. Da H gibt es ein x H. Also gilt, da H Untergruppe, e = x x 1 H. Wir rechnen die Gruppenaxiome (in verschiedener Reihenfolge) nach: (iii) Inverse Elmente Sei x H, dann existiert x 1 G. Wir müssen zeigen x 1 H. Da H Untergruppe ist, gilt mit e H x 1 = ex 1 H (0) Wohldefiniertheit der Verknüpfung Seien x,y H. Wir wollen zeigen: xy H. Da x H ist auch x 1 H. Also gilt (x 1 ) 1 y = xy H. (i) Assoziativität Es gilt für alle x,y,z H x(yz) = (xy)z, da dies dies in G der Fall ist und H G gilt. (ii) (Rechts-)Neutrales Element Es ist e H. Für alle x H gilt in der Tat xe = x, da dies in G gilt. (iv) Kommutativität Ist G eine kommutative Gruppe, so ist auch H eine kommutatve Gruppe. Seien x,y H, dann gilt xy = yx in G, also auch in H. Bemerkung [5.9] Sei und (G,,e) eine Gruppe und H G eine Teilmenge mit e H und ist (H,,e) mit der von auf H eingeschränkten Verknüpfung eine Gruppe, dann ist H eine Untergruppe von G. Beweis. Diesen Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe. Beispiel [5.10] Sei (G,, e) eine Gruppe. Dann ist die Teilmenge {e} eine Untergruppe von G. Wir nennen diese die triviale (Unter-)Gruppe. 18

5 5 GRUPPEN 5.2 Untergruppen und Nebenklassen Beispiel [5.11] Sei (G,,e) eine Gruppe und x G. Dann definieren wir für n Z x x... x falls n > 0 x n e falls n = 0 x 1 x 1... x 1 falls n < 0 Dann betrachte die Teilmenge H {x n n Z}. H ist eine Untergruppe von G. Wir nennen diese, die von x erzeugte Untergruppe. Definition [5.12] Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann definieren wir eine Relation auf G via x H y : x 1 y H Bemerkung [5.13] Die Relation aus [5.12] ist eine Äquivalenzrelation. Beweis. (i) Reflexivität Sei x G. Dann ist x 1 x = e H. Also x H x und damit H reflexiv. (ii) Symmetrie Seien x,y G mit x H y, d.h. x 1 y H. Dann gilt wegen [5.8,(iii)] (x 1 y) 1 H. Wir zeigen: (x 1 y) 1 = y 1 x. Berechne dazu (x 1 y)(y 1 x) = x 1 (yy 1 )x = x 1 x = e. Also gilt y H x. (iii) Transitivität Seien x,y,z G mit x H y und y H z. Das bedeutet x 1 y H und y 1 z H. Dann ist H (x 1 y)(y 1 z) = x 1 (yy 1 )z = x 1 z, also x H z. 19

6 5 GRUPPEN 5.3 Der Satz von Lagrange Bemerkung [5.14] Sei G eine Gruppe,H G eine Untergruppe und x G. Dann ist die Äquivalenzklasse von x bzgl. der in [5.12] definierten Äquivalenzrelation gegeben durch [x] = xh {xh h H}. Beweis. Sei y [x], also x 1 y H. Es gibt also ein h H mit x 1 y = h. Verknüpfen wir diese Gleichung mit x, so erhalten wir xx 1 y = y = xh. Also ist x xh. Sei y xh, also gibt es ein h H mit y = xh. Verknüpfen wir diese Gleichung mit x 1, so erhalten wir x 1 y = x 1 xh = h H. Es ist demnach x H y und y [x]. Anmerkung Wir bezeichneten die Menge aller Äquivalnzklassen mit G / H. Wir schreiben nun einfacher G/H G / H = { [x] x G }. 5.3 Der Satz von Lagrange Definition [5.15] Seien G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Ist G/H eine endliche Menge, so nennen wir die Mächtigkeit diese Menge den Index von H in G und schreiben Definition [5.16] (G : H) # ( ) G/H Sei (G,, e) eine Gruppe. Wir nennen diese Gruppe endlich (oder endliche Gruppe), falss G (als Menge) nur endlich viele Elemente besitzt. Gegebenenfalls nennen wir #(G) die Ordnung von G. Definition [5.17] Sei (G,,e) eine Gruppe und x G. Dann definieren wir ord(x) # ( {x n n Z} ) Bemerkung [5.18] Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt ( G : {e} ) = #(G). 20

7 5 GRUPPEN 5.3 Der Satz von Lagrange Beweis. Wir untersuchen die Gestalt der Äquivalenzklassen [x]. Ist y [x], so ist x 1 y {e}, also x 1 y = e. Verknüpfen wir diese Gleichung mit x, so erhalten wir y = x. Also gilt [x] = {x} und ( ) ( {[x] } ) ( {{x} } ) G : {e} = # x G = # x X = #(G). Satz [5.19] (Lagrange) Sei G eine endliche Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann gilt #(G) = #(H) (G : H). Insbesondere wird die Ordnung der Gruppe von der Ordnung jeden Untergruppe geteilt. Beweis. Da H eine Äquivalenzrelation auf G ist, ist nach [3.9] G/H eine Partition von G. Da G endlich ist, exisieren endlich viele Elemente x 1,x 2,...,x n, mit G/H = { [x 1 ],[x 2 ],...,[x n ] } und für alle i,j {1,2,...,n} mit i j gilt [x i ] [x j ] =. (1) Schritt 1 Wir zeigen zunächst, dass alle Äquivalenzklassen die gleiche Mächtigkeit haben. Dazu genügt es, zu zeigen, dass für alle i {1,2,...,n} gilt # ( [x i ] ) = # ( [e] ). Es ist [e] = {eh h H} = {h h H} = H. Um zu zeigen, dass [e] = H und [x i ] die selbe Mächtigkeit haben, konstruieren wir eine bijektive Abbildung. Betrachte f : H x i H = [x i ] h x i h. Hätten wir gezeigt, dass dies Abbildung bijektiv, also injektiv und surjektiv, ist, so helfen uns folgende Argumente (i) f ist genau dann injektiv, wenn #(f (H)) = #(H) gilt. 21

8 5 GRUPPEN 5.3 Der Satz von Lagrange (ii) Ist f injektiv, so gilt #(x i H) #(H). (iii) Ist f surjektiv, so gilt #(x i H) #(H). (Den Nachweis dieser Eigenschaften überlassen wir als Übungsaufgabe.) Aus (ii) und (iii) folgt schließlich die Gleichmächtigkeit aller Äquivalenzklassen. Betrachten wir also die Abbildung f und weisen die Injektivität sowie die Surjektivität nach. (inj.) Seien h, h H mit f (h) = f ( h). Dies bedeutet gerade xh = x h. Durch anwenden der Kürzungsregel erhalten wir h = h. Also ist f injektiv. (surj.) Sei y x i H, dann gibt es ein h H mit y = x i h. Damit ist h aber gerade ein Urbild von y. Also ist f surjektiv. Schließlich ist f eine Bijektion und alle Äquivalenzklassen besitzen die selbe Mächtigkeit. (2) Schritt 2 Wir zeigen nun #(G) = #(H) (G : H). Nach obiger Argumentation ist { [x 1 ],[x 2 ],...,[x n ] } eine Partition von G. Wir verwenden diese Erkenntnis, um die Menge G abzuzählen. Es ist n #(G) = # [x i ] i=1 (i) = n i=1 # ( [x i ] ) (ii) = Dabei verwendeten wir die Argumente (i) Für alle i j gilt [x i ] [x j ] = (ii) Für alle i gilt [x i ] = [e] (iii) Es ist # ( [e] ) = #(H) n i=1 # ( [e] ) (iii) = Ausserdem ist m = (G : H). Damit ist alles gezeigt. n #(H) = m #(H). i=1 22