Einführung in die Algebra. Algebra I. Alfred Geroldinger. Franz Halter-Koch. und. und. basierend auf dem Skriptum von

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1 Einführung in die Algebra und Algebra I basierend auf dem Skriptum von Alfred Geroldinger und Franz Halter-Koch i

2 ii Vorbemerkungen Wir bezeichnen mit N = {0, 1, 2, 3,... } die Menge der natürlichen Zahlen und setzen N + = N \ {0}. Weiters bezeichnen wir mit Z (Q, R bzw. C) die Menge der ganzen (rationalen, reellen bzw. komplexen) Zahlen und erhalten N + N Z Q R C. Für eine Menge X, bezeichne X N { } die Anzahl der Elemente in X. P(X) = {A A X} ist die Potenzmenge von X. Ist Y eine weitere Menge so bezeichnen wir mit F(X, Y ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y. Für a, b Z, setzen wir [a, b] = {x Z a x b}, insbesondere ist [a, b] = falls a > b. Sei I eine nicht leere Menge und für jedes i I sei X i ein mathematisches Objekt. Dann können wir die X i s zu einem neuen mathematischen Objekt zusammenfassen: der Familie (X i ) i I. Zwei Familien (X i ) i I, (Y j ) j J sind genau dann gleich, wenn I = J und X i = Y i für alle i I = J. Beispiel: Ist I = [1, n] mit n N + so ist eine Familie mit Indexmenge I gerade ein n-tupel (x 1,..., x n ). Sei (X i ) i I eine Familie von Mengen. Dann sei i I die Menge aller Familien (x i ) i I mit x i X i für alle i I. Ist zum Beispiel I = [1, n] mit n N +, so ist i I X i = X 1 X n. Ist X i = X für jedes i I so ist die Abbildung X i F(I, X) i I X, f (f(i)) i I bijektiv. Schließlich seien X i = {x i I : x X i } i I X i = {x i I : x X i } i I Vereinigungsmenge Durchschnittsmenge Äquivalenzrelationen Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge von M M. Für a, b M schreibt man a b an Stelle von (a, b). Ein Relation auf M heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle a, b, c M gilt : (Reflexivität) a a. (Symmetrie) Aus a b folgt b a. (Transitivität) Aus a b und b c folgt a c.

3 iii Ist eine Äquivalenzrelation auf M und a M, so nennt man [a] = [a] = ā = {c M c a} M (Vorsicht: [a], ā sind gefährliche Bezeichnungen; [a], ā hängen nicht nur von a sondern auch von ab) die (Äquivalenz)klasse von a (in Bezug auf ), und jedes Element c [a] heißt ein Repräsentant der Klasse [a]. Wegen a a ist a [a] für alle a M. Dann gilt für alle a, b M : [a] = [b] [a] [b] a b. Beweis. [a] = [b] [a] [b] : sei [a] = [b]. Dann [a] [b] = [a] [a] = [a] und wegen a [a] folgt [a] [b]. [a] [b] a b: sei also [a] [b] und sei c [a] [b]. Dann gelten c a und c b. Wegen der Symmetrie folgt a c und c b. Aus der Transitivität folgt a b. a b [a] = [b]: es genügt a b [a] [b] zu zeigen (dann erhält man auch wegen der Symmetrie: a b b a [b] [a] und damit [a] = [b]). Sei also a b und c [a]. Dann gelten c a und a b. Die Transitivität zeigt c b, d.h. c [b]. Wir bezeichnen mit M/ = {[a] a M} die Menge der Äquivalenzklassen und nennen die Abbildung π = π : M M/, definiert durch π (a) = [a], die Äquivalenzklassenabbildung oder auch einfach die kanonische Abbildung. Diese hat folgende zwei Eigenschaften: (i) π ist surjektiv (nach Definition). (ii) Sind a, b M so gilt π(a) = π(b) a b (denn: π(a) = π(b) [a] = [b] a b). Nach Definition sind die Elemente von M/ Teilmengen von M. Dies kann für die Vorstellung ziemlich kompliziert werden. Denken Sie etwa an den Fall, dass wir auf M/ ebenfalls eine Äquivalenzrelation betrachten und die Menge (M/ )/ bilden. Dessen Elemente sind dann Mengen von Teilmengen von M, usw. Ich möchte hier eine Möglichkeit anbieten, mit den Elementen von M/ umzugehen, ohne genau wissen zu müssen, was sie sind. Sie basiert auf den beiden obigen Eigenschaften von π. Wir sagen a M repräsentiert oder beschreibt ein z M/, falls π(x) = z ist. Dann besagen diese Eigenschaften von π gerade: 1. jedes z M/ wird von einem a M repräsentiert (beschrieben). 2. a,b M repräsentieren genau dann das gleiche Element, wenn a b gilt. In dieser Vorlesung werde ich immer diesen Umgang mit Äquivalenzklassen wählen, d.h. insbesondere nie die Definition der Elemente von M/ als Teilmengen von M zu verwenden. Doch bitte vergessen Sie nie, dass nach Definition die Elemente von M/ Teilmengen von M sind. Denn dies wird in der Literatur oft verwendet. Ein Beispiel: Sei M = Z (\{0}) = {(x, y) x, y Z, y 0}. Für a = (x, y), b = (u, v) M setzen wir a b xv = uy. Eine kurze Rechnung (siehe Proseminar) zeigt, dass eine Äquivalenzrelation auf M ist. Wir definieren nun eine bijektive Abbildung f : M/ Q. Sei dazu π : M M/ die kanonische Abbildung. Sei z M/. Wir müssen f(z) Q definieren. Wir wählen dazu einen Repräsentanten a = (x, y) M von z (also z = π(a)). Dann wollen wir f(z) = x/y Q setzen, haben aber dabei das folgende Problem: wenn wir einen anderen Repräsentanten b = (u, v) von z wählen, so liefert dies vielleicht ein anderes Ergebnis u/v x/y. Wir müssen also zeigen, dass dies nicht eintritt. Da aber a und b das gleiche Element (z) repräsentieren, gilt π(a) = π(b) also a b, d.h. xv = yu. Daraus folgt aber x/y = u/v. Also definiert die obige Vorschrift eine Abbildung f : M/ Q. Wir zeigen nun, dass f bijektiv ist und dazu zunächst die Injektivität von f. Seien z 1, z 2 M/ mit f(z 1 ) = f(z 2 ). Für i = 1, 2 sei a i = (x i, y i ) M ein Repräsentant von z i. Dann gilt nach Definition: x 1 /y 1 = f(z 1 ) = f(z 2 ) = x 2 /y 2. Also erhalten wir x 1 y 2 = y 1 x 2, d.h. a 1 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = a 2 und damit z 1 = z 2.

4 w iv Es bleibt die Surjektivität von f zu zeigen. Sei dazu q Q. Dann gibt es x, y Z mit y 0 und q = x/y. Setzt man z = π((x, y)) M/ so folgt f(z) = x/y = q. Also ist f surjektiv. Tatsächlich gilt folgendes: Wenn man die Mathematik auf der Mengenlehre aufbaut, so konstruiert man zunächst N, dann Z. Q wird dann definiert durch Q = M/. Dann ist obiges f die Identität. Diese Methode Abbildungen von M/ in eine Menge zu konstruieren kann wie folgt verallgemeinert werden: Universelle Eigenschaft von M/ : Seien M, N Mengen, eine Äquivalenzrelation auf M, π : M M/ die kanonische Abbildung und f : M N eine Abbildung. Es gelte für alle a, b M: a b f(a) = f(b). Dann gibt es genau eine Abbildung f : M/ N mit f π = f, d.h. das Diagramm von Abbildungen M [ N [ [] π f M/ f ist kommutativ. Es gelten weiters: f ist genau dann surjektiv, wenn f surjektiv ist. f ist genau dann injektiv, wenn für alle a, b M gilt: f(a) = f(b) a b. Beweis. Eindeutigkeit von f: seien f 1, f2 : M/ N zwei Abbildungen mit f 1 π = f = f 2 π. Sei z M/ und wähle einen Repräsentanten a M von z. Dann gilt f 1 (z) = f 1 (π(a)) = f 2 (π(a)) = f 2 (z). Es folgt f 1 = f 2. Existenz von f. Sei z M/ und seien a, b M Repräsentanten von z. Dann gilt a b und daher nach Voraussetzung f(a) = f(b). Daher können wir durch z f(a) (a Repräsentant von z) eine Abbildung f : M/ N definieren. Sei nun a M. Dann ist a Repräsentant von π(a). Also gilt ( f π)(a) = f(π(a)) = f(a). Es folgt f π = f. Ist f surjektiv so ist auch (π surjektiv) f = f π surjektiv. Sei nun f surjektiv und n N. Dann gibt es a M mit n = f(a). Es folgt f(π(a)) = f(a) = n. Also ist auch f surjektiv. Sei nun f injektiv und seien a, b M mit f(a) = f(b). Dann folgt f(π(a)) = f(a) = f(b) = f(π(b). Da f injektiv ist folgt π(a) = π(b) und daher a b. Schließlich gelte f(a) = f(b) a b für alle a, b M. Wir zeigen noch, dass dann f injektiv ist. Seien dazu z, w M/ mit f(z) = f(w). Es sei a ein Repräsentant von z und b einer von w. Dann gilt f(a) = f(z) = f(w) = f(b). Nach Voraussetzung folgt a b und damit z = w. Seien M eine Menge, eine Äquivalenzrelation auf M und π : M M/ die kanonische Abbildung. Eine Teilmenge P M heißt Repräsentantensystem für, wenn es zu jedem a M genau ein b P gibt mit a b. Aus der Mengenlehre folgt, dass es immer Repräsentantensysteme gibt. Für eine Teilmenge P M sind äquivalent: (i) P ist ein Repräsentantensystem für. (ii) π P : P M/ ist bijektiv. (man kann also sagen: P ist genau dann ein Repräsentantensystem, wenn jedes z M/ durch genau ein a P repräsentiert wird). Beweis. (i) (ii): Sei also P ein Repräsentantensystem. π P ist injektiv: Seien a, b P mit π(a) = π(b). Dann folgt a b. Also a, b P und a a, a b. Aus der Definition eines Repräsentantensystem folgt a = b. π P ist surjektiv: Sei z M/. Sei a M ein Repräsentant von z. Nach Voraussetzung gibt es ein b P mit b b. Dann π P (b) = π(b) = π(a) = z. Sei nun π P bijektiv. Wir zeigen, dass P ein Repräsentantensystem ist. Sei also a M. Da π P surjektiv ist, gibt es ein b P mit π(b) = π(a). Es folgt a b. Seien nun b 1, b 2 P mit b 1 a, b 2 a. Dann folgt b 1 b 2 und damit π(b 1 ) = π(b 2 ). Da π P injektiv ist, erhalten wir b 1 = b 2.

5 v Als Folgerung erhalten wir: ist P ein Repräsentantensystem von so gilt M/ = P. Partielle Ordnungen und das Zorn sche Lemma Sei wieder M eine Menge. Eine Relation auf M heißt partielle Ordnung (auf M), wenn für alle a, b, c M folgenden Eigenschaften erfüllt sind : (Reflexivität) a a. (Antisymmetrie) Aus a b und b a folgt a = b. (Transitivität) Aus a b und b c folgt a c. Ist eine partielle Ordnung auf M, so heißt (M, ) eine partiell geordnete Menge. Wichtiges Beispiel: es sei X eine Menge und M P(X). Für A, B M setze A B A B. Sei nun (M, ) eine partiell geordnete Menge und N M. Ein Element a M heißt maximales (bzw. minimales) Element von N, wenn a N und für alle x N gilt : Aus a x ( bzw. a x ) folgt a = x. obere bzw. untere Schranke von N falls x a bzw. a x für alle x N gilt. Vorsicht: ist a ein maximales (minimales) Element von N so muss a keine obere (untere) Schranke von N sein. Beispiel: Sei X = {1, 2}, M = P(X) und M sei durch die Inklusion partiell geordnet. Ist N = {{1}, {2}}, so sind {1} und {2} maximale und minmale Elemente von N und es gilt weder {1} {2} noch {2} {1}. Insbesondere zeigt dieses Beispiel, dass maximale (minimale) Elemente nicht eindeutig bestimmt sein müssen. Eine Teilmenge K einer partiell geordneten Menge (M, ) heißt eine Kette, falls für alle a, b K gilt: a b oder b a. Zorn sches Lemma. Sei M eine nichtleere partiell geordnete Menge. Wenn jede Kette in M eine obere Schranke in M besitzt, dann besitzt M ein maximales Element. Als Folgerung erhält man: Zorn sches Lemma, konkrete Form. Seien X eine Menge und M P(X) geordnet mittels der Inklusion. Gehört die Vereinigung jeder Kette in M wieder zu M, so besitzt M (bezüglich ) ein maximales Element. Beweis. Sei K eine Kette in M. Nach Voraussetzung ist dann O := A M. A K Dann gilt A O für alle A K, d.h. O ist eine obere Schranke von K. Also folgt die Behauptung aus dem Zorn schem Lemma. Basiseigenschaften ganzer Zahlen A. Algebraische Struktur Die Addition und Multiplkation in Z erfüllt die bekannten Gesetze: Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation, Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation, Distributivgesetz, es gibt die 0 (neutrales Element der Addition) und es gibt die 1 (neutrales Element der Multiplkation), d.h. Z ist ein kommutativer Ring. B. Anordnung Z ist in natürlicher Weise angeordnet: < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 <...

6 vi Diese Anordnung lässt sich auf Q und dann auf R fortsetzen. Q und R sind angeordnete Körper (vgl. Analysis-Skriptum). Die Ordnung induziert Absolutbetrag: für x R sei { x x 0 x = x x < 0 Es gelten die wohlbekannten Rechenregeln. C. Induktionsprinzip Es gelten die folgenden (im Rahmen einer axiomatischen Theorie äquivalenten) Aussagen : C1 (Prinzip vom kleinsten Element) Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes Element. C2 Jede nach oben (bzw. unten) beschränkte nichtleere Menge ganzer Zahlen besitzt ein größtes (bzw. kleinstes) Element. C3 (Prinzip der vollständigen Induktion) Sei B eine Menge natürlicher Zahlen, so dass gilt : Es gibt eine Zahl b 0 B (Induktionsanfang) Ist b B, so ist b + 1 B (Induktionsschritt) Dann ist {x N x b 0 } B. C4 (Prinzip der vollständigen Induktion, 2. Form) Sei B eine Menge natürlicher Zahlen, so dass für alle b N gilt : Ist {x N x < b} B, so folgt b B. Dann ist B = N.

7 KAPITEL 1 Elementare Zahlentheorie 1.1. Fundamentalsatz der Arithmetik, ggt und kgv Definition Seien a, b Z. Man sagt, a teilt b und schreibt a b, wenn es ein c Z gibt mit b = ac. Dann nennt man auch b ein Vielfaches von a und a einen Teiler von b. 2. Eine natürliche Zahl p N heißt Primzahl, wenn p > 1, und { a N a p } = {1, p}. Wir bezeichnen mit P die Menge der Primzahlen. Lemma (Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation). Seien a, b, c Z a, a a, a 0, und 0 a a = a b und b 0 a b. 3. a b a b 4. Aus a b und a c folgt a b + c, b c, bc, db (d Z beliebig). 5. Aus a b und b c folgt a c. 6. a b und b a a = b. 7. Sei a > 1 und p = min{q N q > 1 und q a }. Dann ist p P. Beweis. 1. a = a 1, also 1 a und a a. a0 = 0, also a 0. Wenn 0 a, so a = c0 mit einem c Z, also a = 0. Ist a = 0, so a a = Es gelte a b und b 0. Dann b = au mit u Z, also b = a u. Wegen b 0 ist auch u 0 und damit u 1. Also ist a = a u a 1 = a. 3. Gilt a b, so b = ua mit einem u Z. Also ist b = u a, daher a b. Gelte umgekehrt a b, also b = a u mit u Z. Seien ε, δ {±1} mit εa = a und b = δ b. Dann b = δ b = a δu = aεδu. Es folgt a b. 4. Gelte also a b und a c. Dann b = au, c = av mit u, v Z. Es folgen b + c = a(u + v), b c = a(u v), bc = a(auv), db = a(ud) also die Behauptungen. 5. Wir nehmen a b und b c an. Dann b = au, c = bv mit u, v Z. Es folgt c = bv = a(uv), also a c. 6. Gelte einmal a b und b a. Ist a = 0, so folgt aus 1. auch b = 0 und daher auch a = b. Analog schließt man im Fall b = 0. Seien jetzt a und b nicht Null. Dann folgt aus 2. a = b. Gilt umgekehrt a = b so gilt nach 1. a b und b a. Aus 3. folgen a b und b a. 7. Wegen a > 1 und a a (nach 2.) ist a T := {q N q > 1 und q a}. Also ist diese Menge nicht leer und besitzt ein Minimum. Dieses ist dann p. Wir zeigen, dass p prim ist. Wegen p T ist p > 1. Sei nun p in N mit p > 1 und p p. Wir müssen p = p zeigen. Aus 2. folgt p p. Wegen p p und p a folgt p a (5.). Wir erhalten p T und daher p p (p = min T ). Also p = p. 1

8 2 1. ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE Satz (Hauptsatz der Arithmetik). Sei a N +. Dann besitzt a eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Darstellung a = p 1... p n mit n N und p 1,..., p n P und dann gilt {p 1,..., p n } = { p P p a }. Beweis. Wir verwenden Induktion nach a. Wir nehmen daher an, dass sie für alle b N + mit b < a gilt. Isr a = 1, so ist die Aussage trivial (n = 0). Sei also a > 1. Nach Lemma ist p = min { q N q > 1, q a } P, und es sei a = pb mit b N. Wir zeigen zunächst, dass a eine Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt. Wegen p > 1 ist b < a. Nach Voraussetzung hat b eine Darstellung der Form b = p 2... p n mit p 2,..., p n P, und es ist a = pp 2... p n. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit. Sei also a = q 1 q 2... q m eine weitere Darstellung von a als Produkt von Primzahlen. Wir zeigen p = q j für ein 1 j m. Wegen 1 < q 1 a ist p q 1. Ist p = q 1 sind wir fertig. Sei jetzt p < q 1. Wir betrachten die Zahl 0 < c = (q 1 p)q 2... q m = q 1... q m pq 2... q m = = a pq 2... q m = pb pq 2... q m = p(b q 2... q m ) < a. Wegen q 1 p < q 1 a ist nach Induktionsvoraussetzung q 1 p = r 1... r k mit k N und r 1,..., r k P, und c = r 1... r k q 2... q m. Wir überlegen uns p r i für alle i = 1,..., k. Angenommen p = r i für ein 1 i k. Dann p = r i q 1 p also auch p q 1 = q 1 p + p. Da q 1 prim ist folgt p = q 1, ein Widerspruch. Es ist c = (q 1 p)q 2... q m = r 1... r k q 2... q m. Aus der Induktionsvoraussetzung, angewandt auf c, folgt, dass {q 2,..., q m, r 1,..., r k } genau die Menge der primen Teiler von c ist. Wegen p c folgt p {q 2,..., q m, r 1,..., r k }. Aus p r i für alle i = 1,..., k erhalten wir p = q j für ein 2 j m. Wir können nun ohne Einschränkung annehmen, dass p = q 1 ist. Aus pq 2... q m = a = pb = pp 2... p n folgt dann q 2... q m = b = p Die Induktionsvoraussetzung für b zeigt n 1 = m 1, also n = m und nach Umnummerierung p j = q j für j = 2,..., n, also die Eindeutigkeit. Sei nun a = p 1... p n mit n N und p 1,..., p n P, und sei p P mit p a. Dann ist a = pb, und b = q 2... q m mit m N und q 2,..., q m P, also a = pq 2... q m und daher p {p 1,..., p n } wegen der Eindeutigkeit der Darstellung. Korollar Sei p N mit p 2. Dann ist p genau dann prim, wenn für alle a, b Z gilt: p ab p a oder p b. Beweis. : sei also p prim und seien a, b Z mit p ab. Wegen p x p x, können wir a, b N annehmen. Ist ab = 0 so a = 0 oder b = 0 und dann p a oder p b. Sei also ab 0, also a, b 1. Dann gibt es (1.1.3) n, m N und p 1,..., p n, q 1,..., q m P mit a = p 1... p n, b = q 1..., q m. Es folgt p ab = p 1... p n q 1... q m. Aus folgt p = p i für ein 1 i n oder p = q j für ein 1 j m. Also gilt p a oder p p. : Gelte also p ab p a oder p b für alle a, b Z. Wir zeigen, dass p prim ist. Nach Voraussetzung ist p > 1. Sei nun q N mit q p. Wir müssen q = 1 oder q = p zeigen. Wegen q p ist p = qx mit x Z. Insbesondere gilt p qx. Nach Voraussetzung ist p q oder p x. Gilt p q, so p q und q p also p = q. Ist andererseits p x, etwa x = py, y Z, so folgt p = qx = qpy, also 1 = qy. Es folgt q = 1. Definition und Satz Seien a Z \ {0} und p P. Dann gibt es eindeutig bestimmte k N und b Z \ {0} mit a = p k b und p b. k heißt der p-adische Exponent von a. Wir bezeichnen ihn mit v p (a). Es gilt v p (a) = max{l N p l a}. Ist a = p 1 p n mit n N und p 1,..., p n P so gilt v p (a) = {1 i n p i = p}. Es gilt v q (a) = 0 für fast alle q P und a = ε q P q vq(a)

9 1.1. FUNDAMENTALSATZ DER ARITHMETIK, GGT UND KGV 3 mit ε = sgn(a). Für b Z \ {0} gelten v p (ab) = v p (a) + v p (b) und a b v q (a) v q (b) für alle q P. Insbesondere: p a v p (a) > 0. Beweis. Existenz von k und b: sei E = {l N p l a}. Dann 0 E, also E. Wegen lim l p l = gibt es l 0 N mit p l > a für alle l l 0. Es folgt E {0,..., l 0 1}. Also besitzt E ein größtes Element k. Dann p k a, also a = p j b mit b Z. Angenommen p b, etwa b = pb. Dann a = p k pb = p k+1 b. Dann max E = k < k + 1 E, Widerspruch. Eindeutigkeit von k und b: sei also a = p k b = p l c mit k, l N, b, c Z \ {0} und p b, c. Wir können ohne Einschränkung k l annehmen. Dann folgt b = p l k b. Wegen p b folgt l k = 0, d.h. l = k und damit auch b = b. Seien a, b Z \ {0}. Wir zeigen v p (ab) = v p (a) + v p (b). Seien dazu a, b Z \ {0} mit a = p vp(a) a, b = p vp(b) b und p a, b. Aus folgt p a b. Wegen ab = p vp(a) p vp(b) a b = p vp(a)+vp(b) a b folgt die Behauptung. Sei nun a = p 1... p n mit n N und p 1,..., p n P. Dann folgt v p (a) = v p (p 1 ) v p (p n ). Sei 1 i n. Gilt p p i, so p p i = p 0 p i, also v p (p i ) = 0. Ist p = p i so gilt v p (p i ) = v p (p 1 1) = 1. Es folgt n v p (a) = v p (p i ) = 1 = {1 i n p i = p}. i=1 1 i n p i=p Insbesondere gilt v q (a) = 0 für alle q P \ {p 1, p n }, also für fast alle q P. Weiters gilt a = sgn(a) a = sgn(a)p 1 p n = sgn(a) q = sgn(a) q {p 1,,p m} q {p 1,,p n} q vq(a) = sgn(a) q P q v q(a) Sei nun b Z \ {0}. a b v q (a) v q (b) für alle q P: sei c Z mit b = ac. Dann Für q P folgt v q (b) = v q (ac) = v q (a) + v q (c) v q (a). Sei nun umgekehrt v q (a) v q (b) für alle q P. Setze für q P e q = v q (b) v q (a). Dann 0 e q v q (b). Wegen v q (b) = 0 für fast alle q P gilt auch e q = 0 für fast alle q P. Wir setzen Dann folgt Insbesondere gilt a b. b = sgn(b) q P c = sgn(b)sgn(a) q Pq e q. q v q (b) = sgn(b)sgn(a) q P q e q sgn(a) q P q v q(a) = ca. Bemerkung Für p P sei e p N und es gelte e p = 0 für fast alle p P. Dann gilt für jedes q P: v q (± p P p e p ) = e q.. Definition (Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches). Sei = A Z, und seien d, e N. 1. d heißt größter gemeinsamer Teiler von A, d = ggt(a), wenn gilt : Für alle a A ist d a. Ist g Z und g a für alle a A, so folgt g d. 2. e heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von A, e = kgv(a), wenn gilt : Für alle a A ist a e. Ist g Z und a g für alle a A, so folgt e g. 3. a, b Z heißen teilerfremd, wenn ggt{a, b} = 1. Man nennt dann auch a teilerfremd zu b oder b teilerfremd zu a.

10 4 1. ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE Ist A = {a 1,..., a n } mit n N, so schreiben wir auch ggt(a 1,..., a n ) an Stelle von ggt(a) und kgv(a 1,..., a n ) an Stelle von kgv(a). Bemerkungen Sei = A Z. Dann besitzt A höchstens einen größten gemeinsamen Teiler und höchstens ein kleinstes gemeinsames Vielfaches [ Beweis : Sind d und d größte gemeinsame Teiler von A, so folgt d d und d d, also d = d ; ebenso argumentiert man für das kleinste gemeinsame Vielfache ]. 2. Ist A = {0} so ist 0 ein größter gemeinsamer Teiler von A. Sei nun = A und A {0}. Dann ist A\{0} = und ein d N ist genau dann ein größter gemeinsamer Teiler von A falls d einer von A\{0} ist. Zur Bestimmung eines größten gemeinsamen Teiler kann, man sich also auf den Fall 0 / A beschränken. 3. Ist 0 A so ist 0 ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von A. Also kann sich auch im Fall des kleinstes gemeinsamen Vielfaches auf den Fall 0 / A beschränken. Satz (Existenzsatz für ggt und kgv). Sei = A Z. Dann besitzt A einen größten gemeinsamen Teiler. Ist A endlich, so besitzt A ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Es gelten ggt(a) = p P p min{vp(a) a A\{0}}, falls A {0} kgv(a) = p P p max{v p(a) a A}, falls 0 / A endlich. Beweis. Sei = A Z. Wir können 0 / A annehmen. Für jedes p P ist dann {v p (a) a A} eine nicht leere Teilmenge von N und besitzt daher ein Minimum. Wir nennen es m p. Dann gilt m p = 0 für fast alle p P. Denn sei a A. Dann gilt für jedes p P: 0 m p v p (a). Wegen v p (a) = 0 für fast alle p P folgt auch m p = 0 für fast alle p P. Wir setzen d = p P p m p N und zeigen, dass d ein größter gemeinsamer Teiler von A ist. Ist a A so folgt v p (d) = m p v p (a) für alle p P. Also gilt d a nach Sei nun d Z mit d a für alle p P. Für p P gilt dann v p (d ) v p (a) für alle a A. Also gilt v p (d ) m p für alle p P. Wiederum aus folgt d d. Sei nun A Z endlich und ohne Einschränkung 0 / A. Dann ist für jedes p P die Menge {v p (a) a A} eine nicht leere und endliche Teilmenge von N, besitzt daher ein Maximum. Wir nennen es M p. Wir zeigen M p = 0 für fast alle p P. Sei dazu b = a A a. Dann gilt a b für alle a A. Für p P und a A folgt dann v p (a) v p (b). Also erhalten wir M p v p (b). Wegen v p (b) = 0 für fast alle p P gilt auch M p = 0 für fast alle p P. Genau wie im Fall des ggt s zeigt man nun, dass p P p M p ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von A ist. Beispiel Wir bestimmen ggt(740, 150, 250). Zunächst berechnet man 740 = , 150 = , 250 =

11 1.1. FUNDAMENTALSATZ DER ARITHMETIK, GGT UND KGV 5 Es folgen min{v 2 (740), v 2 (150), v 2 (250)} = 1 min{v 3 (740), v 3 (150), v 3 (250)} = 0 min{v 5 (740), v 5 (150), v 5 (250)} = 1 min{v 37 (740), v 37 (150), v 37 (250)} = 0 min{v p (740), v p (150), v p (250)} = 0 für p P \ {2, 3, 5, 37}. Also gilt ggt(740, 150, 250) = = 10. Man sieht, dass die Formel in Satz genau die Methode ist, mit der man den ggt in der Schule berechnet. Diese Methode hat aber den Nachtei, dass man die Primfaktorzerlegung der beteiligten Zahlen kennen muss. Diese kann für große Zahlen mühsam oder sogar unmöglich zu berechnen sein. Wir brauchen daher eine andere Methode. Satz (Hauptsatz über der Euklidischen Algorithmus). 1. (Satz von der Division mit Rest) Seien a Z und b N +. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r Z mit a = bq + r und r [0, b 1]. Ist a 0, so ist auch q (Euklidischer Algorithmus) Seien a, b N +, und seien die Folgen (r i ) i 1 und (q i ) i 0 in N rekursiv definiert durch r 1 = a, r 0 = b, und für i 0 durch r i+1 = q i+1 = 0, falls r i = 0, und r i 1 = q i r i + r i+1 mit q i, r i+1 N und r i+1 < r i (gemäß 1. ). Dann existiert ein n N mit r n > 0, r n+1 = 0, und dann ist ggt(a, b) = r n. 3. (Algorithmus von Berlekamp) Seien a, b N +, und seien n N, r 1,..., r n, q 0,..., q n N wie in 2. Die Folgen (x i ) i [0,n] und (y i ) i [0,n] in Z seien rekursiv definiert durch x 0 = 0, y 0 = 1, x 1 = 1, y 1 = q 0, x i+1 = x i 1 q i x i und y i+1 = y i 1 q i y i für i [1, n 1] Dann folgt r i = ax i + by i für alle i [0, n]. Insbesondere ist ggt(a, b) = r n = ax n + by n. 4. (Kennzeichnung des ggt als Vielfachsumme) Seien a, b Z und d N. Dann gilt : d = ggt(a, b) [ d a, d b, und es gibt x, y Z mit d = ax + by ]. 5. Seien a, b Z und d N. Dann ist ggt(da, db) = d ggt(a, b) und [ ( a d = ggt(a, b) d a, d b, ggt d, d) b ] = 1. Beweis. 1. Existenz. Die Menge T = {x Z a bx 0} ist nach oben beschränkt, und es sei q = max(t ) Z und r = a bq N. Wäre r b, so folgte a b(q + 1) = r b 0 im Widerspruch zur Maximalität von T. Im Falle a 0 ist 0 T und daher q 0. Eindeutigkeit. Seien q, q, r, r N mit a = bq + r = bq + r und r, r < b. Dann folgt b q q = r r < b, also q = q und r = r. 2. Wäre r n > 0 für alle n N, so folgte r 0 > r 1 > r 2 >..., ein Widerspruch. Wir zeigen: 1) r n a und r n b ; 2) Ist g Z mit g a und g b, so folgt g r n. 1) Wir zeigen r n r i für alle i [ 1, n] (wegen a = r 1, b = r 0 folgt die Behauptung). Angenommen, das sei falsch, und es sei i [ 1, n] maximal mit r n r i. Dann i < n und es gelten r n r i+1 und r i r i+2 (im Fall i = n 1 ist ja r i+2 = 0). Wegen r i = q i+1 r i+1 + r i+2 folgt r n r i ein Widerspruch. 2) Angenommen, es gebe ein g Z mit g a, g b und g r n. Ist dann i [ 1, n] minimal mit g r i, so ist i 1 wegen g a = r 1, b = r 0. Dann gelten g r i 1, g r i 2, und wegen r i = r i 2 q i 1 r i 1 folgt g r i, ein Widerspruch.

12 6 1. ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE 3. Induktion nach i. Für i = 0 und i = 1 rechnet man die Behauptung direkt nach.sei also i 1 und die Behauptung für i 1 und i gezeigt. Dann folgt r i+1 = r i 1 q i r i = ax i 1 + by i 1 q i (ax i + by i ) = a(x i 1 q i x i ) + b(y i 1 q i y i ) = ax i+1 + by i Ist a = 0, so folgt ggt(0, b) = b, und die Behauptung ist klar. Ist b = 0, so argumentiert man genauso. Sei also a 0 und b 0. : Ist d = ggt(a, b), so ist d a, d b, und d = ggt( a, b ). Nach 3. gibt es x, y Z mit d = a x + b y, und mit x = sgn(a)x und y = sgn(b)y folgt die Behauptung. : Ist g Z mit g a und g b, so folgt auch g ax + by = d. 5. Sei c = ggt(a, b). Nach 4. ist dann c a, c b, und es gibt x, y Z mit c = ax + by. Dann folgt dc da, dc db und dc = dax + day. Also ist (wieder nach 4. ) dc = ggt(da, db). Ist d a und d b, so folgt daher ( a ggt(a, b) = d ggt d, b. d) Beispiel Wir wollen d = ggt(740, 150) und x, y Z mit d = 740x + 150y berechnen. Wir dividieren mit Rest und erhalten: 740 = = = Also ist 10 der letzte nicht verschwindende Rest. Daher ist 10 = ggt(740, 150). Liest man diese Gleichungen ßurück, so erhält man: 10 = = 150 ( ) = Satz Seien n N und a, b, a 1,..., a n Z. 1. Sei c Z und d = ggt(a, c). Dann gilt : c ab c db. Insbesondere folgt : Ist c ab und c teilerfremd zu a, so folgt c b. 2. Ist ggt(a i, b) = 1 für alle i [1, n], so ist auch ggt(a 1... a n, b) = 1. Beweis. 1. : Offensichtlich. : Nach Satz gibt es x, y Z mit d = ax + cy, und es gibt ein z Z mit ab = cz. Daher folgt db = c(zx + by), also c db. 2. Wir nehmen an, es sei d = ggt(a 1... a n, b) > 1 und p P mit p d. Dann folgt p b und p a 1... a n, also p a i für ein i [1, n] nach 1.1.4, im Widerspruch zu ggt(a i, b) = 1. Definition und Satz (Satz von der reduzierten Bruchdarstellung). Jedes r Q hat eine eindeutige Darstellung r = p mit p Z, q N und ggt(p, q) = 1. q Man nennt p den reduzierten Zähler und q den reduzierten Nenner von r. Beweis. Sei r Q. Nach Definition von Q gibt es p 1 Z und q 1 N mit r = p 1 q 1, und es sei d = ggt(p 1, q 1 ), p = p 1 d und q = q 1 d, also r = p q (nach Satz ). Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei also r = p q = p q mit p, p Z, q, q N und ggt(p, q) = ggt(p, q ) = 1. und ggt(p, q) = 1

13 1.1. FUNDAMENTALSATZ DER ARITHMETIK, GGT UND KGV 7 Dann folgt pq = p q, also q pq und q p q. Aus Satz folgt q q und q q, also q = q und daher auch p = p. Satz Sei x Q, n N + und x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 mit a 0,..., a n 1 Z. Dann folgt x Z. Insbesondere gilt : Aus x n Z folgt x Z. Beweis. Nach gibt es p Z und q N mit ggt(p, q) = 1 und x = p q, also pn + qa n 1 p n q n 1 a 1 p + q n a 0 = 0, und daher q p n. Nach Satz ist aber ggt(q, p n ) = 1, also q = 1 und x Z.