Lernmodul 2 Topologie. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Topologie
|
|
|
- Rolf Breiner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Folie 1 von 71 Lernmodul 2 Topologie
2 Folie 2 von 71 Topologie Übersicht Topologie - Allgemeines Punktmengentopologie Nachbarschaft Beispiele zur Nachbarschaft Nähe, offene/geschlossene Menge Abschluß, Inneres, Grenze Zusammenhang topologische Transformationen Regularisierung topologische Relationen (Egenhofer) Algebraische Topologie Simplizes Teilsimplizes Simpliziale Komplexe
3 Folie 3 von 71 Topologie Motivation Die quantitative Beschreibung räumlicher Zusammenhänge (im Euklidischen Raum) ist Aufgabe der Vermessungskunde Räumliche Modellierungen müssen ebenso bestimmten strukturellen -topologischen- Zusammenhängen genügen (Beispiel: Sind zwei Grundstücke benachbart?) Wir betrachten die grundlegenden Konzepte der Topologie bzw. topologischer Räume
4 Folie 4 von 71 Topologie Allgemeines Wir unterscheiden zwei Ansätze der Topologie: Punktmengentopologie (analytische Topologie) Definition des topologischen Raumes durch das Konzept der Nachbarschaft auf einer Menge von Punkten Alle topologischen Eigenschaften lassen sich auf Nachbarschaft zurückführen Räumliche Beziehungen (Verbundenheit, Grenze,...) lassen sich durch die Terminologie der Punktmengentopologie ausdrücken Algebraische Topologie (geometrische Topologie) Theorie der simplizialen Komplexe: Mosaikzerlegung der Objekte in strukturell gleich gebaute Primitive
5 Folie 5 von 71 Punktmengentopologie Topologischer Raum Gegeben: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1: Jeder Punkt p S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines Punktes p S enthält eine Nachbarschaft von p.
6 Folie 6 von 71 Punktmengentopologie Beispiel I Die Nachbarschaft sei eine offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene (S = ) offene Kreisscheibe: Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nicht auf demselben liegen punktierte Linie: offen durchgezogene Linie: geschlossen ist ein topologischer Raum: T1 ist erfüllt: Jeder Punkt p Kreisscheibe als Nachbarschaft hat eine offene T2 ist erfüllt: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines p enthält eine Nachbarschaft von p.
7 Folie 7 von 71 Punktmengentopologie Beispiele II - V Die diskrete Topologie einer Punktmenge S: Nachbarschaften sind S und die Menge aller Teilmengen von S T1 und T2 sind erfüllt die kleinste Nachbarschaft von p S ist {p} ( Einzimmerappartment, daher der Name diskret ) Die indiskrete Topologie S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S T1 und T2 sind erfüllt Euklidische Räume aller Dimensionen; T1 und T2 sind z.b. erfüllt für die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S = der reellen Zahlen als Nachbarschaften die offenen Kugeln in S = als Nachbarschaften
8 Folie 8 von 71 Punktmengentopologie Beispiel VI Fahrtzeittopologie Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets. Sei (p,q) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen p und q. Annahme: Für alle p, q S gilt: (p,q) = (q,p) Symmetrie, keine Einbahnstraßen t-zone: die Menge aller Punkte, die von einem Ausgangspunkt aus in weniger als t Minuten erreichbar ist S mit der Menge aller t-zonen (für jeden Punkt!) ist eine Topologie.
9 Folie 9 von 71 Punktmengentopologie Abbildung zu Beispiel VI Ein-Stunden-Zone um Liége Quelle: Worboys (1995)
10 Folie 10 von 71 Punktmengentopologie Wo sind wir? Wir haben den Begriff der "Nachbarschaft" definiert Jetzt kommen mehrere auf den ersten Blick recht abstrakte Definitionen - alle beruhen auf dem Konzept der Nachbarschaft Zielbegriff: Der Rand oder die Grenze Teilziel: Offene und geschlossene Flächen Im folgenden gilt stets: S sei ein topologischer Raum X S; p, q S
11 Folie 11 von 71 Punktmengentopologie Nähe, Offen, Geschlossen p ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von p einen Punkt von X enthält. Beispiel: C = {(x,y) x² + y² < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. X ist offen, wenn jeder Punkt q eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.
12 Folie 12 von 71 Punktmengentopologie Wichtige nahe Punkte Interessant sind die nahen Punkte, die nahe an X sind ohne zu X zu gehören bei der offenen Kreisscheibe die Punkte des Kreises beim offenen Intervall die Zahlen a, b Sie werden sehen, dass der Begriff der Grenze auf dem Begriff der Nähe aufbaut.
13 Folie 13 von 71 Punktmengentopologie Abschluß, Inneres, Grenze Der Abschluß von X ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten. Notation: X Beispiel: geschlossene Kreisscheibe C = {(x,y) x² + y² <= 1} Komplement von X: X Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X sind. Notation: X Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X sind. Notation: X Es gilt: X = X \ X (mengentheor. Differenz) Der "Rand" einer Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)
14 Folie 14 von 71 Punktmengentopologie Beispiele "Inneres",... Die Menge S Das Innere von S Abschluß von S Rand von S
15 Folie 15 von 71 Punktmengentopologie Zusammenhang Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder B enthält einen Punkt nahe an A oder beides. zusammenhängend nicht zusammenhängend
16 Folie 16 von 71 Punktmengentopologie Diskret und indiskret Übung 1: Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge X gleichzeitig offen und geschlossen. Übung 2: Zeigen Sie: In der indiskreten Topologie ist jede Menge X, die nicht leer und nicht gleich S ist, weder offen noch geschlossen.
17 Folie 17 von 71 Punktmengentopologie Topologische Abbildung Eine topologische Transformation (Homeomorphismus) ist ein >>Isomorphismus, der Nachbarschaften auf Nachbarschaften abbildet. Beispiel: Topologie des äquivalent Ausgangs- und Zielmenge einer topologischen Transformation sind topologisch äquivalent nicht äquivalent Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.
18 Folie 18 von 71 Punktmengentopologie Isomorphismus Ein Isomorphismus ist eine verknüpfungstreue, bijektive Abbildung: Wenn A verknüpft B gleich C, dann ist f(a) verknüpft f(b) gleich f(c). Beispiel: Wenn, dann Sei f eine Funktion von X nach Y. f: X Y f ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. f ist injektiv, wenn für alle y aus Y höchstens ein x aus X mit f(x) = y existiert. f ist surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert.
19 Folie 19 von 71 Punktmengentopologie Pfadzusammenhang Ein Pfad ist ein homeomorphes Bild einer geraden Kante. elastische Verformung Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt. Pfadzusammenhang
20 Folie 20 von 71 Punktmengentopologie Regularisierung X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben). Die Regularisierung von X ist der Abschluß ( ) des Inneren ( ) von X: reg(x) = X Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen)
21 Folie 21 von 71 Punktmengentopologie Topologische Relationen
22 Folie 22 von 71 Topologische Relationen Problemstellung Gesucht: Beziehung zwischen zwei Punktmengen X und Y (schneiden sich X und Y, liegt X in Y, usw.) Gegeben: Rand und Inneres beider Mengen ( bzw. ) Lösung: Wir bringen jeweils den Rand bzw. das Innere von X mit dem Rand und dem Inneren von Y zum Schnitt und betrachten die Schnittmengen
23 Folie 23 von 71 Topologische Relationen X disjunkt Y X disjunkt Y X disjunkt Y
24 Folie 24 von 71 Topologische Relationen X disjunkt Y Ø X disjunkt Y X disjunkt Y
25 Folie 25 von 71 Topologische Relationen X disjunkt Y Ø Ø X disjunkt Y X disjunkt Y
26 Folie 26 von 71 Topologische Relationen X disjunkt Y Ø Ø Ø X disjunkt Y X disjunkt Y
27 Folie 27 von 71 Topologische Relationen X disjunkt Y X disjunkt Y
28 Folie 28 von 71 Topologische Relationen X trifft Y X trifft Y X trifft Y
29 Folie 29 von 71 Topologische Relationen X trifft Y not Ø X trifft Y X trifft Y
30 Folie 30 von 71 Topologische Relationen X trifft Y not Ø Ø X trifft Y X trifft Y
31 Folie 31 von 71 Topologische Relationen X trifft Y not Ø Ø Ø X trifft Y X trifft Y
32 Folie 32 von 71 Topologische Relationen X trifft Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y X trifft Y
33 Folie 33 von 71 Topologische Relationen X gleich Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y X gleich Y X gleich Y
34 Folie 34 von 71 Topologische Relationen X gleich Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø X gleich Y X gleich Y
35 Folie 35 von 71 Topologische Relationen X gleich Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø X gleich Y X gleich Y
36 Folie 36 von 71 Topologische Relationen X gleich Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø X gleich Y X gleich Y
37 Folie 37 von 71 Topologische Relationen X gleich Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y X gleich Y
38 Folie 38 von 71 Topologische Relationen X innerhalb Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y X innerhalb Y X innerhalb Y
39 Folie 39 von 71 Topologische Relationen X innerhalb Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø X innerhalb Y X innerhalb Y
40 Folie 40 von 71 Topologische Relationen X innerhalb Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø X innerhalb Y X innerhalb Y
41 Folie 41 von 71 Topologische Relationen X innerhalb Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø X innerhalb Y X innerhalb Y
42 Folie 42 von 71 Topologische Relationen X innerhalb Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y X innerhalb Y
43 Folie 43 von 71 Topologische Relationen Y innerhalb X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Y innerhalb X Y innerhalb X
44 Folie 44 von 71 Topologische Relationen Y innerhalb X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø Y innerhalb X Y innerhalb X
45 Folie 45 von 71 Topologische Relationen Y innerhalb X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Y innerhalb X Y innerhalb X
46 Folie 46 von 71 Topologische Relationen Y innerhalb X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø Y innerhalb X Y innerhalb X
47 Folie 47 von 71 Topologische Relationen Y innerhalb X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X Y innerhalb X
48 Folie 48 von 71 Topologische Relationen X überdeckt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X X überdeckt Y X überdeckt Y
49 Folie 49 von 71 Topologische Relationen X überdeckt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø X überdeckt Y X überdeckt Y
50 Folie 50 von 71 Topologische Relationen X überdeckt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø X überdeckt Y X überdeckt Y
51 Folie 51 von 71 Topologische Relationen X überdeckt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø X überdeckt Y X überdeckt Y
52 Folie 52 von 71 Topologische Relationen X überdeckt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y X überdeckt Y
53 Folie 53 von 71 Topologische Relationen Y überdeckt X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y Y überdeckt X Y überdeckt X
54 Folie 54 von 71 Topologische Relationen Y überdeckt X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø Y überdeckt X Y überdeckt X
55 Folie 55 von 71 Topologische Relationen Y überdeckt X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø Y überdeckt X Y überdeckt X
56 Folie 56 von 71 Topologische Relationen Y überdeckt X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Y überdeckt X Y überdeckt X
57 Folie 57 von 71 Topologische Relationen Y überdeckt X not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X Y überdeckt X
58 Folie 58 von 71 Topologische Relationen X überlappt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X X überlappt Y X überlappt Y
59 Folie 59 von 71 Topologische Relationen X überlappt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X not Ø X überlappt Y X überlappt Y
60 Folie 60 von 71 Topologische Relationen X überlappt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X not Ø not Ø X überlappt Y X überlappt Y
61 Folie 61 von 71 Topologische Relationen X überlappt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X not Ø not Ø not Ø X überlappt Y X überlappt Y
62 Folie 62 von 71 Topologische Relationen X überlappt Y not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X not Ø not Ø not Ø not Ø X überlappt Y X überlappt Y
63 Folie 63 von 71 Topologische Relationen Zusammenfassung I X disjunkt Y X trifft Y X gleich Y X innerhalb Y X überdeckt Y X überlappt Y
64 Folie 64 von 71 Topologische Relationen Zusammenfassung II not Ø Ø Ø Ø X trifft Y not Ø not Ø Ø Ø X gleich Y Ø not Ø not Ø Ø X innerhalb Y Ø not Ø Ø not Ø Y innerhalb X not Ø not Ø Ø not Ø X überdeckt Y not Ø not Ø not Ø Ø Y überdeckt X not Ø not Ø not Ø not Ø X überlappt Y
65 Folie 65 von 71 Topologie Algebraische Topologie
66 Folie 66 von 71 Algebraische Topologie Motivation In Kapitel 4 wurde die Geometrie räumlicher Objekte durch eine Vektor-Struktur (Punkt, Kante, Polygon) repräsentiert. Grundlegendes, theoretisches Modell dieser Darstellung ist die Notation der simplizialen Komplexe Objekte werden durch simpliziale Komplexe modelliert Simpliziale Komplexe bestehen aus strukturell gleichgebauten Primitiven (Simplexe) Simpliziale Komplexe eignen sich gut zur Modellierung topologischer Zusammenhänge: Belegung von Komplexen mit Attributen Belegung der Primitive mit Attributen
67 Folie 67 von 71 Algebraische Topologie Anwendungen Geländemodell (Triangulation) Computergraphik Eisberge...
68 Folie 68 von 71 Algebraische Topologie Simplizes Ein 0-Simplex ist ein Punkt Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder
69 Folie 69 von 71 Algebraische Topologie Teilsimplizes Ein Knoten ist Teilsimplex einer Kante Eine Kante ist Teilsimplex eines Dreiecks Ein Dreieck ist Teilsimplex eines Tetraeders Der Teilsimplex T eines Simplex S ist ein Simplex, dessen Knoten alle in S vorkommen. Der Rand eines Simplex ist die Menge aller Teilsimplizes.
70 Folie 70 von 71 Algebraische Topologie Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes falsch: Korrektur:
71 Folie 71 von 71 Topologie Literatur Worboys, Michael F.: GIS: A Computing Perspective. Taylor & Francis Inc., London 1995
Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen
Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten
Lernmodul 2 Geometr.-topol. Datenstrukturen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Geometr.-topol. Datenstrukturen
Folie 1 von 27 Lernmodul 2 Geometr.-topol. Datenstrukturen Folie 2 von 27 Geometr.-topol. Datenstrukturen Übersicht Überblick/Motivation Fokus Geometrisch-topologische Datenstrukturen Spaghetti Spaghetti
Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund
Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer
Kapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Kapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Kapitel 2 MENGENLEHRE
Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung
Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,
2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
Mathematik für Ökonomen 1
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen
Mengen, Funktionen und Logik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7
Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum
Etwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann
Etwas Topologie Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Literatur Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3 17 Definition. Ein topologischer
Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Einführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,
Mathematik I. Zusammenhängende Räume
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 21 Die beiden nächsten Vorlesungen kann man unter dem Aspekt sehen, welche topologischen Eigenenschaften die reellen Zahlen gegenüber
Logik, Mengen und Abbildungen
Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen
Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2
TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des
Mathematik 1, Teil B
FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre
Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
Technische Universität München
Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,
Mengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.
Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.
4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2
4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige
Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen
Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes
1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
Mathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 32 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines
WS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Topologische Begriffe
Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mengen und Abbildungen
1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine
1 Einleitung. 1.1 Motivation. 6 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 1
6 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung Einleitung. Motivation.. Name of the game Geometer bezeichnet klassisch einen Landvermesser (heute ist eher Geodät gebräuchlich. Die klassische Differentialgeometrie
ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht
. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation
Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin
Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Hinweise viii x Kapitel 1 MATRIZEN 1 1. Matrizenkalkül 1 2. Zeilenreduktion
Theoretische Informatik
Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN
KAPITEL 1 DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das heutzutage
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
Grundlagen der Mathematik
Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.
ALGEBRAISCHE VARIETÄTEN. gute Funktionen auf den offenen Mengen von V definieren. Dabei orientieren wir uns an folgenden Gegebenheiten: (1) Die
ALGEBRAISCHE VARIETÄTEN MARCO WEHNER UND MAXIMILIAN KREMER 1. Strukturgarben Sei V k n. Wir wollen nur gute Funktionen auf den offenen Mengen von V definieren. Dabei orientieren wir uns an folgenden Gegebenheiten:
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
1.4 Äquivalenzrelationen
8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres,
Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge
1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten
w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
Grundlagen der Mengenlehre
mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
Analysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen
ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen
Diskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16
Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre
8.1 Grundbegriffe der Mengen-Topologie
Die Menge der möglichen Handlungsalternativen eines Entscheidungsproblems wird Entscheidungsraum genannt. Die Entscheidungsräume vieler ökonomischer Entscheidungsprobleme sind Teilmengen des R n. In diesem
1 Mengen. 1.1 Definition
1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene
Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie
Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende
Lineare Algebra I. Auswahlaxiom befragen. (Wer schon im Internet danach sucht, sollte das auch mal mit dem Begriff
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 2 Prof. Dr. Markus Schweighofer 11.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 2.1: Behauptung:
Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen
Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:
Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)
Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden
Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte)
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 007/08 Lösungsblatt 7
Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
Kapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 25 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,
Vorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
Topologie. Vorlesungsskript Carsten Schultz. Fachbereich Mathematik TU Berlin
Topologie Vorlesungsskript Carsten Schultz Fachbereich Mathematik TU Berlin Berlin, Wintersemester 2008/2009 Inhaltsverzeichnis 1 Räume und Homöomorphie 5 Metrische Räume............................ 5
Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 19 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
Abbildungseigenschaften
Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert
Diskrete Mathematik für Informatiker
Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung
Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
Vorlesung. Funktionen/Abbildungen
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A}
Transformationen Notizen zu Transformationen und Permutationen Ist A eine Menge, so ist die Menge T (A) = {f : A A} bezüglich der Komposition (Hintereinanderausführung) als Operation und der identischen
Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V
Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,
Strukturelle Rekursion und Induktion
Kapitel 2 Strukturelle Rekursion und Induktion Rekursion ist eine konstruktive Technik für die Beschreibung unendlicher Mengen (und damit insbesondere für die Beschreibung unendliche Funktionen). Induktion
WS 2016/17 Torsten Schreiber
104 Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet die Rechtseindeutigkeit einer Relation? Was weiß man von einer surjektiven Funktion? Wann ist eine Funktion total / partiell? Welche
Vorlesungsmanuskript zu. Topologie. Werner Balser Institut für Angewandte Analysis. Wintersemester 2008/09
Vorlesungsmanuskript zu Topologie Werner Balser Institut für Angewandte Analysis Wintersemester 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1 Topologische Räume 5 1.1 Normierte und metrische Räume................................
Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen
Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.
Thema: Klassifikation von 1-Mannigfaltigkeiten (mit Beweis) und von abgeschlossenen 2-Mannigfaltigkeiten (ohne Beweis)
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Thema: Klassifikation von 1-Mannigfaltigkeiten (mit Beweis) und von abgeschlossenen 2-Mannigfaltigkeiten (ohne Beweis) Ausarbeitung im Rahmen des Seminars Einführung
1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
![1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:](/thumbs/53/30982501.jpg "1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:")
Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere
Kapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
Spickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
Das Voronoi Diagramm. 1. Definition. 2. Eigenschaften. 3. Größe und Speicherung. 4. Konstruktion. 5. Verwendung
Das Voronoi Diagramm 1. Definition 2. Eigenschaften 3. Größe und Speicherung 4. Konstruktion 5. Verwendung Das Voronoi- Diagramm Voronoi Regionen Euklidische Distanz: d(p,q) = (px-qx)^2+(py-qy)^2 Das Voronoi-Diagramm
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)
Theoretische Informatik
Mathematische Grundlagen Patrick Horster Universität Klagenfurt Informatik Systemsicherheit WS-2007-Anhang-1 Allgemeines In diesem einführenden Kapitel werden zunächst elementare Grundlagen kurz aufgezeigt,
Prädikate sind Funktionen. Prädikatenlogik. Quantoren. n stellige Prädikate. n stellige Prädikate:
Aussagenlogik: Aussagen Ausssageformen Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen sind Sätze die entweder wahr oder falsch sind sind Sätze mit Variablen, die beim Ersetzen dieser Variablen durch Elemente
Skript zur Vorlesung Topologie I
Skript zur Vorlesung Topologie I Carsten Lange, Heike Siebert Richard-Sebastian Kroll Faszikel 1 Fehler und Kommentare bitte an clange@math.fu-berlin.de Stand: 15. Juni 2010 Fachbereich Mathematik und
Stichwortliste zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Gabriela Weitze-Schmithüsen. Saarbrücken, Sommersemester 2016
Stichwortliste zur Vorlesung Lineare Algebra II Gabriela Weitze-Schmithüsen Saarbrücken, Sommersemester 2016 Kapitel I Jordansche Normalform Ziel: Wir möchten Matrizen bis aus Ähnlichkeit klassifizieren.
Halbgruppen, Gruppen, Ringe
Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die
Einführung in die Graphentheorie. Monika König
Einführung in die Graphentheorie Monika König 8. 11. 2011 1 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln 1.1-1.3 des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe
Tropische Kurven zählen. Enumerative Geometrie. Alg. Geometrie. Beispiel Strategie. Geometrie. Kurven Multiplizität Correspondence Theorem Ergebnisse
Alg. Ebene e Hannah Markwig Technische Universität Kaiserslautern 6. Juli 2006 Alg. Inhalt 1 () 2 3 Der Algorithmus zum Zählen ebener 4 Der Algorithmus Alg. Algebraische Geometrische Objekte sind Nullstellengebilde
Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen)
DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Christian Eisentraut, M.Sc. Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 0/3) Übungsblatt 8 (Relationen
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie
Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann