UNTERSUCHUNG ZU BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN FIBONACCI-ZAHLEN UND DER MUSIK

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1 UNTERSUCHUNG ZU BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN FIBONACCI-ZAHLEN UND DER MUSIK Coria Brikma KLASSIFIZIERUNG VON KONSONANZGRADEN MIT HILFE VON FIBONACCI-ZAHLEN Im. Jahrhudert versuchte EULER die Kosoaz, de zetrale Begriff der Harmoielehre mathematisch auszudrücke. Als kosoat werde Itervalle bezeichet, die als wohlkliged empfude werde ud icht ach Auflösug i eie adere Klag dräge; im Gegesatz hierzu werde Itervalle, die spaugsvoll empfude werde, als dissoat bezeichet []. Als ei Kriterium für de Kosoazgrad gilt die Eifachheit der Proportioe. Dafür führte EULER seie gradus-suavitatis-fuktio Γ ei, die jedem Zahleverhältis y x mit x, y N x eie Wert Γ zuordet, der de Kosoazgrad des dem Zahleverhältis y etsprechede Itervalls agibt []. EULER beutzt zur Defiitio der Fuktio Γ, dass sich jede positive gaze Zahl a i der e e e Form a = p p... p () darstelle lässt, wobei p < p <... < p eie wachsede Primzahlfolge ist ud e, e,..., e positive gaze Zahle sid. x =, we y EULER setzt u Γ Γ( x y) x ei positiver gekürzter Bruch ist. y Mit x y = a ud a i o.a. Darstellugsweise lautet da seie gradus-suavitatis-fuktio : Γ( a) = + e ( p ) () k = k k I diese Fuktio setzte EULER die Frequezverhältisse der reie Stimmug ei ud kote somit de Kosoazgrad vo Frequezproportioe mit gaze, atürliche Zahle beschreibe; je kleier der Kosoazgrad, desto wohlkligeder ist das zugehörige Itervall. Es ergibt sich folgede Zuordug vo Frequezproportioe zu Kosoazgrade []:

2 Kosoazgrad Proportioe Itervall : Prime : Oktave : : : :6 : Oktave + Quite Oktave Quite Oktave + Quite Oktave : Quarte 6 : :9 7 : : :9 :6 : :9 Oktave + Terz Oktave + gr. Sekude gr. Sexte gr. Terz Oktave + gr. Sekude kl. Terz kl. Sexte gr. Sekude 9 :9 kl. Septime 0 : gr. Septime :6 kl. Sekude : Tritous Tabelle : Zuordug vo Frequezproportioe zu Kosoazgrade ach EULER Da sich Itervalle, wie obe aufgezeigt, durch Fiboacci-Zahle umschreibe lasse, ist es ahelieged zu versuche, eie Klassifizierug vo Itervalle etspreched ihrem Wohlklag mittels der Fiboacci-Zahle vorzuehme. Ausgegage bi ich vo der Tatsache, dass sich sämtliche Frequezverhältisse der chromatische Toleiter (reie Stimmug), wie obe gezeigt (siehe.7), als Verhältisse vo Produkte aus Fiboacci-Zahle darstelle lasse. Zwecks Zuordug der verschiedee Itervalle, gegebe i ihrer Darstellug durch Verhältisse aus Produkte aus Fiboacci-Zahle, zu verschiedee Kosoaz-Klasse, habe ich ach eier geeigete Fuktiosvorschrift gesucht. Ich habe festgestellt, dass dies gut möglich ist, we ma alle vorkommede Fiboacci- Zahle i ihre Primfaktore zerlegt, die wiederum Fiboacci-Zahle sid. Je größer die Summe der Azahle der im Zähler ud im Neer vorkommede Faktore ist, desto dissoater kligt ei Itervall. F sei also eie Fuktio, die die Mege P ( Mege der Frequezverhältisse ) i die Mege N der atürliche Zahle abbildet. Jedes Elemet vo P sei dabei als ei icht weiter j kürzbarer Bruch dargestellt. F bezeiche die Kosoazklasse, zu der das k Frequezverhältis k j gehört.

3 Für ei Frequezverhältis k j j ( j, k N; k ist positiver icht weiter kürzbarer Bruch) setze ich u i Alehug a EULERS Darstellug: j F = k F( jk), () j k = : a ist dabei eie atürliche Zahl, die sich somit (für a ) i der Form e e e a = p p... p, () darstelle lässt, wobei p < p <... < p eie wachsede Primzahlfolge ud e, e,..., e positive gaze Zahle sid. Die Fuktiosvorschrift für F lautet da: F( a) = e + e e, für a (6) ud F( ) = (7) Fuktioswerte vo F erhält ma somit, idem ma zuächst de Bruch, für de ma de zugehörige Fuktioswert bereche will, so weit wie möglich kürzt, da das Produkt aus dem Zähler ud dem Neer bildet; dieses i Primfaktore zerlegt ud die Vielfachheite der jeweilige Primfaktore addiert. Beispiel: Gesucht wird der Kosoazgrad der Quarte, die durch das Frequezverhältis vo beschriebe wird. Die Primfaktorzerlegug vo ist: = Nach Gleichug () gilt: F = F( ) = F( ) Mit Gleichug (6) erhält ma da für F(): F( ) = + = Somit lässt sich der Quarte die Kosoazklasse zuorde. Mit dieser Fuktiosvorschrift orde ich somit de verschiedee Itervalle auf der Basis vo Fiboacci-Zahle jeweils eie Kosoazklasse zu. Dabei ka mehrere Itervalle dieselbe Kosoazklasse zugeordet sei; sie gehöre da eier Kosoazklasse a. Ierhalb jeder dieser Fiboacci-Kosoazklasse orde ich u die zugehörige Itervalle ach folgeder Regel: Je kleier der Zahlewert für i mit i Itervalls mit dem Frequezverhältis k j. = jk ist, desto höher ist die Kosoaz des Mit dieser Regel ist es u möglich, jedem Itervall eie Fiboacci-Ordugszahl zuzuorde, wobei die Kosoaz der Itervalle mit steigeder Ordugszahl abimmt. Im Folgede werde ich mich auf de Umfag vo zwei Oktave beschräke. Die verschiedee Itervalle, die ierhalb vo zwei Oktave vorkomme, mit ihre Frequezverhältisse ud de zugehörige Fiboacci-Kosoaz-Klasse ud Fiboacci- Ordugszahle, so wie sie sich ach obige Vorschrifte ergebe, sid i der folgede Tabelle dargestellt.

4 Proportioe Itervall Fiboacci- Kosoazklasse Fiboacci- Ordugszahl Prime Oktave Oktave + Quite Oktave Quite Oktave + gr. Terz 6 gr. Sexte 7 Quarte gr. Terz 9 6 kl. Terz 0 0 Oktave + gr. Sexte 9 kl. Septime Oktave + Quarte 9 Oktave + gr. Sekude kl. Sexte Oktave + kl. Terz 6 Oktave + gr. Septime 7 Oktave + kl. Septime 9 gr. Sekude 9 6 Oktave + kl. Sexte 0 gr. Septime 6 kl. Sekude 6 Oktave + kl. Sekude 7 6 Oktave + Tritous 7 Tritous Tabelle : Kosoazklasse ach eier Zuordug mit Hilfe vo Fiboacci-Zahle Um eie Vergleich zwische meier Eiteilug ud der bisher gebräuchliche ach EULER [] übersichtlicher gestalte zu köe, orde ich auch de Itervalle mit ihre Kosoazgrade ach EULER Ordugszahle zu.

5 Da bei EULER ierhalb eier Kosoazklasse alle Itervalle gleichberechtigt sid, ka ma hier die Itervalle icht eifach durchumeriere. Daher orde ich Itervalle, bei dee keie eideutige Zuordug möglich ist, so viele Ordugszahle zu, wie Itervalle zu der etsprechede Kosoazklasse gehöre; d.h. gehöre eier Kosoazklasse z.b. Itervalle a, so erhält jedes dieser drei Itervalle drei aufeiaderfolgede Ordugszahle. Diese Ordugszahle ee ich Euler-Ordugszahle. Proportioe Itervall Kosoazgrad ach EULER Euler- Ordugszahl Prime Oktave Oktave + Quite Oktave,, Quite Quarte Oktave + gr. Terz Oktave + Quarte gr. Sexte gr. Terz Oktave + gr. Sekude kl. Terz Oktave + gr. Sexte kl. Sexte gr. Sekude kl. Septime Oktave + kl. Terz Oktave + gr. Septime Oktave + kl. Sexte 6 7, 7, 7 9,0, 9,0, 9,0,,,,,,,,,,,,, 9 6,7,,9 6,7,,9 6,7,,9 6,7,,9 Oktave + kl. 0 0 Septime gr. Septime 6 kl. Sekude Oktave + kl. Sekude 6 Oktave + Tritous Tritous Tabelle : Zuteilug vo Ordugszahle für EULERS Darstellug der Kosoazgrade

6 I der folgede Tabelle 6 werde die verschiedee Itervalle mit ihre Frequezverhältisse ud de zugehörige Fiboacci-Ordugszahle sowie Euler- Ordugszahle dargestellt. I dieser Tabelle habe ich für die eizele Itervalle die Ordugszahle, bei dee die Fiboacci-Ordugszahl mit eier der zugehörige Euler-Ordugszahle übereistimmt, fett geschriebe, diejeige, die ur um de Wert voeiader abweiche, fett ud kursiv ud diejeige, die um de Wert voeiader abweiche kursiv. Proportioe Itervall Fiboacci- Ordugszahl Euler- Ordugszahl Prime Oktave Oktave + Quite, Oktave, Quite Oktave + gr. Terz 6 7, gr. Sexte 7 9,0, Quarte 6 gr. Terz 9 9,0, 6 kl. Terz 0,,, 0 Oktave + gr. Sexte,,, 9 kl. Septime 6,7,,9 Oktave + Quarte 7, 9 Oktave + gr. Sekude 9,0, kl. Sexte,,, Oktave + kl. Terz 6 6,7,,9 Oktave + gr. Septime 7 6,7,,9 Oktave + kl. Septime 0 9 gr. Sekude 9,,, 6 Oktave + kl. Sexte 0 6,7,,9 gr. Septime 6 kl. Sekude Oktave + kl. Sekude 6 Oktave + Tritous Tritous Tabelle 6: Vergleich zwische de Fiboacci-Ordugszahle ud de Euler- Ordugszahle

7 Es ist zu erkee, dass meie Eiteilug auf der Grudlage vo Fiboacci-Zahle sich icht wesetlich vo der durch EULER vorgeommee Eiteilug uterscheidet. der Werte stimme exakt überei, weitere weise ur eie Abweichug um de Wert auf ud weitere weiche ur um de Wert voeiader ab, so dass ur vier Werte eie größere Abweichug voeiader aufweise, als um de Wert. Welche der beide Eiteiluge u das meschliche Harmoieempfide eher trifft, hägt vo jedem eizele Idividuum ab, sowie vo der Kultur aus der es stammt ud vo viele adere Faktore. I jedem Fall stellt meie Eiteilug ach de Fiboacci-Zahle eie Alterative zu EULERS Eiteilug dar, vor allem da sie auf Zahle beruht, die, wie gezeigt, ohehi eie große Bedeutug i der Musik habe. Ei wesetlicher Vorzug meier Eiteilug ist, dass hier die Itervalle icht ur i Kosoazklasse eigeteilt werde, soder darüber hiaus auch i eier eideutige Reihefolge ach Kosoaz streg geordet werde, währed bei EULERS System ur eie Klasseeiteilug vorgeomme wird. 6 QUELLEN [] Armbrust, Asgar: Vom Bambusrohr zur Orgelpfeife, MNU Jahrgag, Heft 999 (S. 76-). [] Baptist, Peter: Phythagoras ud kei Ede?, Leipzig 997. [] Brockhaus Riema: Musik Lexiko, Maiz 990. [] dtv-atlas zur Musik, Müche 99. [] Kuchlig, Horst: Physik Formel ud Gesetze, Leipzig 976. [6] Microsoft QuickShelf 99, Meyers Lexiko. [7] Sheldrake, Rupert: Das Gedächtis der Natur (S. 0-), Müche 990.