Entwurf und Analyse von Datenstrukturen

Transkript

1 Entwurf und Analyse von Datenstrukturen Sommersemester Termin: 17. April 2013 Jan-Henrik Haunert ehem. Mathebau, Raum E27 Alexander Wolff ehem. Mathebau, Raum E29 Lehrstuhl für Informatik I Effiziente Algorithmen und wissensbasierte Systeme

2 Kursraum in Moodle

3 Modus des Seminars je ein Thema für zwei Studierende jede Gruppe hält Kurzvortrag am (max 5 min, 3 Folien) ausführlicher Vortrag an einem eigens für Euch reservierten Termin 45 min Vortrag danach Diskussion danach gemeinsame Lösung von Euch gestellter Übungsaufgaben Spätestens zwei Wochen vor Eurem Vortrag sendet Ihr Eure Folien an jan.haunert@uni-wuerzburg.de; Ihr habt dann noch Gelegenheit für Korrekturen. Am Ende des Semesters gebt Ihr eine schriftliche Ausarbeitung ab (10 Seiten mit der Formatvorlage im Moodle), die alle TeilnehmerInnen in digitaler Form erhalten. Ihr dürft höchstens zweimal fehlen.

4 Ein Beispiel aus dem Themenbereich Fensteranfragen in geographischen Informationssystemen (GIS) Gegeben: ein sehr großer Straßendatensatz

5 Ein Beispiel aus dem Themenbereich Fensteranfragen in geographischen Informationssystemen (GIS) Gegeben: ein sehr großer Straßendatensatz Nur Ausschnitt in Fenster soll gezeichnet werden. Ziel: Finde alle Linien, die (zu Teilen) in Fenster liegen.

6 Ein Beispiel aus dem Themenbereich Fensteranfragen in geographischen Informationssystemen (GIS) Naiver Ansatz: Speicher die Linien in einer Liste. Bei jedem Neuzeichnen gehe die ganze Liste durch.

7 Ein Beispiel aus dem Themenbereich Fensteranfragen in geographischen Informationssystemen (GIS) Naiver Ansatz: Speicher die Linien in einer Liste. Bei jedem Neuzeichnen gehe die ganze Liste durch. Besserer Ansatz: Speicher die Linien in einer speziellen räumlichen Datenstruktur. Bei jedem Neuzeichnen prozessiere eine Fensteranfrage.

8 Demo

9 Vortragsthemen B-Bäume van Emde Boas Trees Splay Trees Randomisierte Suchstrukturen Suffix Trees Binomiale Heaps Fibonacci Heaps Datenstrukturen für disjunkte Mengen Dynamische Datenstrukturen für minimale Spannbäume Highway Hierachies Orthogonale Bereichsanfragen Quadtrees Segment Trees Trapezoidale Karten Binäre Raumpartitionierungen

10 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen.

11 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor)

12 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h)

13 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h) balancierte binäre Suchbäume (hier: Rot-Schwarz-Baum) Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(log n)

14 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h) Problem: jeder Knoten enthält nur einen Schlüssel sehr viele Lese- und Schreibzugriffe nötig balancierte binäre Suchbäume (hier: Rot-Schwarz-Baum) Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(log n)

15 B-Bäume Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h) Problem: jeder Knoten enthält nur einen Schlüssel sehr viele Lese- und Schreibzugriffe nötig balancierte binäre Suchbäume (hier: Rot-Schwarz-Baum) Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(log n) B-Bäume speichern in jedem Knoten mehrere Schlüssel. Auf diese kann in einer Operation zugegriffen werden. Anzahl von Lese- und Schreibzugriffen wird gering gehalten.

16 van Emde Boas Trees Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h) balancierte binäre Suchbäume (hier: Rot-Schwarz-Baum) Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(log n) van Emde Boas Trees: Schlüssel sind Integer mit m Bit. Methoden der dynamischen Menge brauchen O(log m) Zeit.

17 Splay Trees Ihr kennt Datenstrukturen für dynamische Mengen. (Insert, Delete, Search, Minimum, Maximum, Predecessor, Successor) binäre Suchbäume Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(h) balancierte binäre Suchbäume (hier: Rot-Schwarz-Baum) Worst-Case-Laufzeit aller Operationen: O(log n) Splay Trees: Schlüssel, die häufig gesucht werden, wandern näher zur Wurzel und werden dadurch schneller gefunden.

18 Randomisierte Suchstrukturen Was passiert, wenn man die Elemente einer Menge in zufälliger Reihenfolge in einen binären Baum einfügt?

19 Randomisierte Suchstrukturen Was passiert, wenn man die Elemente einer Menge in zufälliger Reihenfolge in einen binären Baum einfügt? die erwartete Höhe ist O(log n)

20 Randomisierte Suchstrukturen Was passiert, wenn man die Elemente einer Menge in zufälliger Reihenfolge in einen binären Baum einfügt? die erwartete Höhe ist O(log n) Verwendung in Datenstrukturen für dynamische Mengen randomisierte Laufzeitanalyse erforderlich Zufall hilft!

21 Suffix Trees Suche einer Zeichenkette S innerhalb einer zweiten Zeichenkette P. Mit Suffix Trees in O( S ) Zeit möglich.

22 Binomiale Heaps Ihr kennt Heaps eignen sich für Prioritätsschlangen (ExtractMaximum und Insert in O(log n) Zeit; BuildHeap in O(n) Zeit)

25 Binomiale Heaps Ihr kennt Heaps eignen sich für Prioritätsschlangen (ExtractMaximum und Insert in O(log n) Zeit; BuildHeap in O(n) Zeit) Zwei binomiale Heaps können in O(log n) Zeit vereinigt werden!

26 Fibonacci Heaps

27 Fibonacci Heaps Der Schlüssel eines Elements bzw. seine Priorität erhöht sich.

28 Fibonacci Heaps Der Schlüssel eines Elements bzw. seine Priorität erhöht sich. Fibonacci Heaps erlauben, den Schlüssel eines Elements in O(1) armortisierter Zeit zu erhöhen/verringern! Wichtigste Anwendung: Dijkstras Algorithmus für das Kürzeste-Wege-Problem

29 Datenstrukturen für disjunkte Mengen Gegeben: n Elemente, die jeweils zu einer von k Mengen gehören Anfrage: Zu welcher Menge gehört ein gegebenes Element? Operation: Vereinige zwei spezifizierte Mengen zu einer Menge

30 Datenstrukturen für disjunkte Mengen Gegeben: n Elemente, die jeweils zu einer von k Mengen gehören Anfrage: Zu welcher Menge gehört ein gegebenes Element? Operation: Vereinige zwei spezifizierte Mengen zu einer Menge passende Datenstruktur gesucht! Anwendung: z.b. Kruskals Alg. für minimale Spannbäume

31 Datenstrukturen für disjunkte Mengen Gegeben: n Elemente, die jeweils zu einer von k Mengen gehören Anfrage: Zu welcher Menge gehört ein gegebenes Element? Operation: Vereinige zwei spezifizierte Mengen zu einer Menge passende Datenstruktur gesucht! Anwendung: z.b. Kruskals Alg. für minimale Spannbäume die Lösung ist einfach! Schwierigkeit steckt in der (amortisierten) Laufzeitanalyse

32 Dynamische Datenstrukturen für minimale Spannbäume Gegeben: Graph mit Kantengewichten

33 Dynamische Datenstrukturen für minimale Spannbäume Gegeben: Graph mit Kantengewichten Gesucht: Minimaler (bzw. leichtester) Spannbaum

34 Dynamische Datenstrukturen für minimale Spannbäume Gegeben: Graph mit Kantengewichten Gesucht: Minimaler (bzw. leichtester) Spannbaum Problem: Aktualisierung des Spannbaums bei Änderung von Gewichten

35 Highway Hierarchies Finde kürzesten Weg von s V nach t V in Graph G = (V, E).

36 Highway Hierarchies Finde kürzesten Weg von s V nach t V in Graph G = (V, E). Algorithmus von Dijkstra löst Problem

37 Highway Hierarchies Finde kürzesten Weg von s V nach t V in Graph G = (V, E). Algorithmus von Dijkstra löst Problem Beschleunigung durch Ausnutzung der Struktur des Graphen: Manche Kanten sind in vielen kürzesten Wegen enthalten.

38 Orthogonale Bereichsanfragen Gegeben: eine große Punktemenge P in R k und ein Suchbereich [x 1 : x 1 ] [x 2 : x 2 ]... [x k : x k ]. Gesucht: die Punkte aus P, die im Suchbereich liegen

39 Orthogonale Bereichsanfragen Gegeben: eine große Punktemenge P in R k und ein Suchbereich [x 1 : x 1 ] [x 2 : x 2 ]... [x k : x k ]. Gesucht: die Punkte aus P, die im Suchbereich liegen x 2 x 2 x 1 x 1

40 Orthogonale Bereichsanfragen Gegeben: eine große Punktemenge P in R k und ein Suchbereich [x 1 : x 1 ] [x 2 : x 2 ]... [x k : x k ]. Gesucht: die Punkte aus P, die im Suchbereich liegen x 2 x 2 x 1 x 1 Ziel: Datenstruktur mit wenig Speicherbedarf mit schneller Beantwortung der Anfrage

41 Orthogonale Bereichsanfragen Gegeben: eine große Punktemenge P in R k und ein Suchbereich [x 1 : x 1 ] [x 2 : x 2 ]... [x k : x k ]. Gesucht: die Punkte aus P, die im Suchbereich liegen x 2 x 2 x 1 x 1 Ziel: Datenstruktur mit wenig Speicherbedarf mit schneller Beantwortung der Anfrage

42 Orthogonale Bereichsanfragen Gegeben: eine große Punktemenge P in R k und ein Suchbereich [x 1 : x 1 ] [x 2 : x 2 ]... [x k : x k ]. Gesucht: die Punkte aus P, die im Suchbereich liegen x 2 x 2 x 1 x 1 Ziel: Datenstruktur mit wenig Speicherbedarf mit schneller Beantwortung der Anfrage Kd-Bäume Bereichsbäume

43 Quadtrees

44 Quadtrees Allrounder unter den räumlichen Datenstrukturen

45 Quadtrees Allrounder unter den räumlichen Datenstrukturen Quadtrees zerlegen die Ebene rekursiv in vier Teile

50 Quadtrees Allrounder unter den räumlichen Datenstrukturen Quadtrees zerlegen die Ebene rekursiv in vier Teile In der Praxis gut für Bereichsanfragen theoretische Ergebnisse schlechter als für Kd-Bäume und Bereichsbäume

51 Quadtrees Allrounder unter den räumlichen Datenstrukturen Quadtrees zerlegen die Ebene rekursiv in vier Teile In der Praxis gut für Bereichsanfragen theoretische Ergebnisse schlechter als für Kd-Bäume und Bereichsbäume Mögliche Verwendung: Dreiecksvermaschung für finite Elemente (z.b. wie verteilen sich Kräfte in einem Werkstück?)

52 Segment Trees

53 Trapezoidale Karten Gegeben: eine Zerlegung der Ebene in Polygone ein Punkt P in der Ebene

54 Trapezoidale Karten Gegeben: eine Zerlegung der Ebene in Polygone ein Punkt P in der Ebene

55 Trapezoidale Karten Gegeben: eine Zerlegung der Ebene in Polygone ein Punkt P in der Ebene in welchem Polygon liegt P?

56 Trapezoidale Karten Gegeben: eine Zerlegung der Ebene in Polygone ein Punkt P in der Ebene in welchem Polygon liegt P? zur einfacheren Lösung werden Polygone in Trapeze zerlegt daraus wird Datenstruktur aufgebaut (randomisiert!)

57 Binäre Raumpartitionierungen Gegeben: eine Menge von Objekten im Raum ein (virtueller) Kamerapunkt Aufgabe: In welcher Reihenfolge sind Objekte nacheinander zu zeichnen, damit Verdeckungen korrekt sind?

58 Binäre Raumpartitionierungen Gegeben: eine Menge von Objekten im Raum ein (virtueller) Kamerapunkt Aufgabe: In welcher Reihenfolge sind Objekte nacheinander zu zeichnen, damit Verdeckungen korrekt sind? Wie werden Zyklen aufgelöst?

59 Binäre Raumpartitionierungen Gegeben: eine Menge von Objekten im Raum ein (virtueller) Kamerapunkt Aufgabe: In welcher Reihenfolge sind Objekte nacheinander zu zeichnen, damit Verdeckungen korrekt sind? Wie werden Zyklen aufgelöst? binäre Raumpartitionierungen bieten effiziente Lösung randomisierte Laufzeitanalyse!

60 Terminplan (bei 9 Themen) Termin: Organisatorisches, Einführung Kurzvorträge: Worum geht es im Thema? Tag der Arbeit frei Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag Vortrag 10

61 Literatur Cormen, Leiserson, Rivest & Stein (2009). Introduction to Algorithms, dritte Auflage, MIT Press. de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars (2008). Computational Geometry: Algorithms and Applications, dritte Auflage, Springer-Verlag.

62 Literatur Cormen, Leiserson, Rivest & Stein (2009). Introduction to Algorithms, dritte Auflage, MIT Press. de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars (2008). Computational Geometry: Algorithms and Applications, dritte Auflage, Springer-Verlag. Motwani & Raghavan (1995). Randomized Algorithms. Cambridge University Press.