Aufgaben Fibonacci-Folgen 28. April 2006 Blatt 3 B. Werner SoSe 06

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1 25. August 2006 Aufgaben Fibonacci-Folgen 28. April 2006 Blatt 3 B. Werner SoSe 06 Präsenzaufgaben: Aufgabe P9: Man betrachte n Münzwürfe, wobei man mit Null Wappen und mit Eins Zahl codiere. Man erhält also eine Sequenz der Länge n aus Nullen und Einsen. Eine Tribonacci-Sequenz sei eine solche Sequenz ohne drei aufeinanderfolgende Einsen. Sei T n die Anzahl dieser Tribonacci- Sequenzen. Wieviele gibt es? Gesucht ist eine Rekursionsformel. Lösung: Man zeigt leicht: T 1 = 2, T 2 = 4, T 3 = 7. Wenn man die nächsten Folgenglieder ausrechnet, könnte es ein, dass man die rekursive Gesetzmäßigkeit erkennt. Es jedoch genauer, wenn man so argumentiert: Bei n Würfen ergibt der letzte eine Null oder eine Eins. Von ersterem gibt es T n 1 Möglichkeiten, in letzterem Fall mus man unterscheiden, ob das vorletzte Ergebnis eine Null ist (hiervon gibt es T n 2 Möglichkeiten) oder eine Eins. In diesem letzten Fall muss der vorvorletzte Wurf eine Null ergeben, wovon es T n 3 Möglichkeiten gibt, also insgesamt T n = T n 1 + T n 2 + T n 3, n 4, T 1 = 2, T 2 = 4, T 3 = 7. Es handelt sich um eine lineare Differenzengleichung dritter Ordnung. Aufgabe P10: In den Übungsaufgaben sollen Sie kubische Gleichungen näherungsweise lösen. Zu diesem Zwecke stelle ich Ihnen ein mächtiges Werkzeug vor, das Newtonverfahren. Wenn man eine Nullstelle z einer differenzierbaren Funktion f : IR IR sucht und eine Näherung für z in Form eines x 0 IR kennt, so kann man diese sehr häufig gemäß der Vorschrift allgemeiner durch die rekursiv definierte Folge x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ), x n = x n 1 f(x n 1) f (x n 1 ) annähern. Geben Sie eine geometrische Begründung dieses Verfahrens und berechnen Sie die positive Nullstelle der kubischen Gleichung x 3 + x = 0. Lösung: Siehe Applet Newtonverfahren (B. Werner). Entscheidende Idee ist, dass man an Stelle der Nullstelle der nichtlinearen Funktion f die einer Tangente in (x 0, f(x 0 )) bestimmt. 1

2 Startet man mit x 0 = 1, so erhält man x n : , , , , Aufgabe P11: (ab 2. Mai) Bekanntlich ist eine komplexe Zahl z vom Betrag eins von der Form z = cos(α) + i sin(α). Hierbei ist α der Winkel im Bogenmaß. Wenn wir S 1 einführen mit Winkeln aus [0, 1), bevorzugen wir z = cos(2πα) + i sin(2πα). Hierfür schreiben wir z =: E(α). Zeigen Sie E(α β) = E(α)E(β). Lösung: Es gilt E(α β) = (cos(2πα) + i sin(2πα))(cos(2πβ) + i sin(2πβ)), also nach den Rechenregeln für komplexe Zahlen E(α β) = cos(2πα) cos(2πβ) sin(2πα) sin(2πβ)+i(sin(2πα) cos(2πα)+sin(2πβ) cos 2πα)). Der Rest folgt aus Additionstheoremen und aus der Tatsache, dass Sinus und Kosinus 2π-periodisch bzw. x sin(2πx) 1-periodisch sind, woraus z.b. folgt. sin(2π(α + β)) = sin(2π((α + β) mod 1)) = sin(2π(α β)) Setze C 1 := {z C : z = 1} als Teilmenge von C. Zeigen Sie, dass C 1 mit der Multiplikation der komplexen Zahlen als Verknüpfung eine Gruppe ist. Lösung: Mit u, v C 1 gilt uv = u v = 1, d.h. C 1 ist ein Gruppoid. Das hätte man auch direkt mit Hilfe vom ersten Teil der Aufgabe sehen können, weil jedes z C 1 die Form z = E(α) mit α S 1 hat. Das neutrale Element ist 1 = E(0), das multiplikative Inverse von z = E(α) ist z = E( α). Aufgabe P12: (ab 2. Mai) 2

3 Berechnen Sie für α = 0.2 und β := 0.95 den Abstand d(α, β) auf S 1. Lösung: d(α, β) = 0.25 Welche Winkel aus S 1 gehören zur 0.01-Umgebung von α = 0.001? Lösung: Alle Winkel von bis 0.011, also die Vereinigung der beiden Intervalle [0.991, 1) und [0, 0.011] als Teilmengen von S 1 = [0, 1). Übungsaufgaben: (Abgabe 9. Mai 2006) Aufgabe Ü7 Fasst man zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen F n und F n+1 zu einem Vektor (F n, F n+1 ) des IR 2 zusammen, so kann man die (lineare!) Abbildung A : IR 2 IR 2 betrachten, für die gilt. A(F n, F n+1 ) = (F n+1, F n+2 ) Man gebe eine Formel an für A(x, y) und bestimme die zugehörige 2 2-Matrix. Lösung: also wegen muss gelten. A(x, y) = (y, x + y), ( ) Fn A = F n+1 ( ) 0 1 A = 1 1 ( Fn+1 F n+2 Berechnen Sie (ohne stupide Matrizenmultiplikation) A 10. Hinweis: Die j-te Spalte einer Matrix A erhält man, indem man die zugehörige lineare Abbildung A auf den j-ten Einheitsvektor anwendet. Lösung: Es ist wohl doch am einfachsten, nacheinander ( ) 1 1 A 2 := A A =, 1 2 A 3 := A 2 A = A 4 := A 3 A = 3 ) ( ) 1 2, 2 3 ( )

4 zu berechnen und das Bildungsgesetz zu erkennen, woraus dann folgen würde. ( ) A n Fn 1 F = n F n F n+1 A 10 = ( 34 ) Man hätte auch geschickt nacheinander A 2, A 4 := A 2 A 2, A 8 := A 4 A 4 und A 10 := A 8 A 2 durch vier Matrixmultiplikationen berechnen können. Mein Hinweis war so gedacht: Die erste Spalte von A 10 ist A 10 (1, 0). Das muss das 10-te Paar der Folge 0, 1, 1, 2,..., also (F 9, F 10 ) = (34, 55) sein. Die zweite Spalte ist A 10 (0, 1), also das 10-te Paar der Folge 1, 1, 2, 3,.., also (F 10, F 11 ) = (55, 89). Daher gilt ( ) A 10 = Aufgabe Ü8: Tribonaccizahlenfolgen (a n ) n IN 0 sind Lösungen der linearen Differenzengleichung dritter Ordnung a n+1 = a n + a n 1 + a n 2, n 2. Werden a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 4 vorgegeben, so erhält man die Tribonaccifolge (T n ). Welcher Gleichung muss λ IR genügen, damit die geometrische Folge a n = λ n der Tribonacci-Rekursion genügt? Geben Sie die Lösung auf mindestens zwei Nachkommastellen an. Hinweis: Sie können die Cardanische Formeln (Wikipedia) für die Lösung kubischer Gleichungen benutzen oder diese einfach näherungsweise wie in P10 lösen. Lösung: Analog zum Skript für die Fibonacci-Rekursion ergibt sich zunächst λ n+1 = λ n + λ n 1 + λ n 2. Nun dividiere man beide Seiten durch λ n 2 und man erhält λ 3 = λ 2 + λ + 1. Zeichnerisch erhält man die (grobe) Näherung x 0 = 1.5. Numerisch erhält man λ =

5 Wogegen konvergiert der Quotient von zwei aufeinanderfolgender Folgengliedern? Hier genügt eine intuitive Lösung, die sich an der entsprechenden Aussage orientiert. F n+1 lim n F n Lösung: Der Grenzwert ist obiges λ = Wenn man beweisen will, muss man noch die beiden anderen komplexen (!) Lösungen von λ 3 = λ 2 + λ + 1 berechnen und ausnutzen, dass diese vom Betrag kleiner als Eins sind. = Φ Um wieviel Prozent ist T n+1 im Vergleich zu T n für große n gewachsen? Lösung: Um ca. 84%, da ja T n+1 T n T n λ 1 = Aufgabe Ü9: In Ergänzung zu Präsenzaufgabe P6 wird die dortige Frage verallgemeinert: Welcher Rekursionsformel genügt die Anzahl A n aller Summen bestehend aus Einsen und Dreien, die n IN ergeben, wobei die Reihenfolge beachtet werden soll. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Rekursionsformel A 10. Lösung: Es gibt A n 1 Summen, die mit Eins, A n 3 Summen, die mit Drei enden und n ergeben. Somit ergibt sich A n = A n 1 + A n 3, n 4, A 1 = 1, A 2 = 1, A 3 = 2, also also A 10 = 28. A n : 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60.. Können Sie ein Beispiel aus der Geometrie geben, das auf genau diese A n führt? Lösung: Es gebe Ziegelsteine der Länge 3 und Höhe 1, aus denen eine Mauer der Länge n gemauert werden soll! Wogegen konvergiert A n+1 A n? Hinweis: Auch hier ist eine intuitive Lösung gefragt, die sich an die entsprechende Aussage für Fibonacci-Zahlen bzw. an Ü7 orientiert. Sie sollten die Gleichung für den gesuchten Grenzwert aufstellen und diese näherungsweise lösen (wie in P10). 5

6 Lösung: Der Ansatz A n = λ n ergibt λ n+1 = λ n + λ n 2, woraus λ 3 = λ entsteht, deren einzige reelle Lösung λ 1 = ist. Es gilt A n+1 lim = n A n 6

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