Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Transkript

1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg

2 Rechenregeln für Grenzwerte Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n) a c (a n > 0, a > 0, c R) (c an ) c a (c > 0) 6.1. Eigenschaften und Beispiele 6.2. Konvergenz und Grenzwert 6.3. Reihen 12. DGLs 115

3 Testfrage: Folge Euler Eulers Folge: e n = ( n ) n lim n en = e Damit ergibt sich: Der Grenzwert lim n g n der Folge ( g n = ) 2n n (Eulersche Zahl) Antwort: A B C D E ist e, da die Folge den gleichen Grenzwert wie (e n) und (e n) haben muss. ist 2e. Der Grund ist das Logarithmusgesetz. ist e 2. Der Grund ist das Potenzgesetz. ist eine andere reelle Zahl, als die obigen, die man noch bestimmen muss. ist unendlich. Die Folge divergiert, weil 2n sehr viel schneller wächst als n

4 Testfrage: Folge Euler Eulers Folge: e n = ( n ) n lim n en = e Damit ergibt sich: Der Grenzwert lim n g n der Folge ( g n = ) 2n n (Eulersche Zahl) Antwort: A B C D E ist e, da die Folge den gleichen Grenzwert wie (e n) und (e n) haben muss. ist 2e. Der Grund ist das Logarithmusgesetz. ist e 2. Der Grund ist das Potenzgesetz. ist eine andere reelle Zahl, als die obigen, die man noch bestimmen muss. ist unendlich. Die Folge divergiert, weil 2n sehr viel schneller wächst als n

5 Definition der Reihe Gegeben: (a n) unendliche Folge in R Dann heißt (s n) mit eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen Beispiel: n a i n N 0 i=0 (a n) geometrische Folge (s n) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a i=0 n Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 6.1. Eigenschaften und Beispiele 6.2. Konvergenz und Grenzwert 6.3. Reihen 12. DGLs 116

6

7 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: 63 1 q 64 s n = a i = a 0 1 q = , i= Eigenschaften und Beispiele 6.2. Konvergenz und Grenzwert 6.3. Reihen 12. DGLs 117

8 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: 63 1 q 64 s n = a i = a 0 1 q = , i=0 Das bedeutet: 100 Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 6.1. Eigenschaften und Beispiele 6.2. Konvergenz und Grenzwert 6.3. Reihen 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 12. DGLs 117

9 Konvergenzkriterien für Reihen n Gegeben: a i Folge, s n = a i i=1 Divergenzkriterium Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: a i ist keine Nullfolge s n divergent Quotientenkriterium lim k lim k a k+1 a k a k+1 a k < 1 sn konvergent > 1 sn divergent 6.1. Eigenschaften und Beispiele 6.2. Konvergenz und Grenzwert 6.3. Reihen Bemerkung: Für lim a k+1 k a = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 = q lim a k k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 12. DGLs 118

10 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra 5 Lineare Programme 6 Folgen und Reihen 7 Finanzmathematik 7 Finanzmathematik Zinsen Renten Tilgung Kursrechnung 8 Reelle Funktionen 9 Differenzieren 1 10 Differenzieren 2 11 Integration

11 12. DGLs Zinsen Zinsen sind der Preis, den ein Schuldner für die befristete Überlassung von Kapital bezahlen muss. Der Betrag der Zinsen (Z) wird aus der Höhe des überlassenen Kapitals K und der Dauer der Überlassung berechnet. Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung K 0 Anfangskapital K n Endkapital n ganzzahlige Laufzeit f gebrochene Laufzeit x nicht ganzzahlige Laufzeit Z Zins p Prozentzinssatz i = p Zinssatz 100 q = 1 + i Aufzinsungsfaktor v = 1 Abzinsungsfaktor q 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

12

13 12. DGLs Sparzinsen können zinseszinslich angelegt werden Bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen ist das illegal (BGB, 248) Deswegen: Einfache (lineare) Verzinsung gemäß K n = K 0 + Z = K 0 + K 0 i n ( = K p n ) Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

14 Unterjährige einfache Verzinsung In Deutschland Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30 Tagen (360 Tage) Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich Laufzeit n N in Jahren wird dann zu Laufzeit f Q in Jahren mit f = t 2 t (t 1 entspricht Tag der Einzahlung, t 2 Tag der Auszahlung) Daraus ergibt sich K n = K 0 + K 0 i Stellung eines Tages im Jahr: ( ) t 360 = K t i 360 (Aktueller Monat 1) 30 + Tag im Monat 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung 12. DGLs

15 12. DGLs Barwert bei einfacher Verzinsung K 0 unbekannt: Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung Amtliche Diskontierung: K 0 = K n 1 + ni Kaufmännische Diskontierung (Nur erste Näherung): K 0 = K n (1 ni) 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

16 12. DGLs Die Zinseszinsformel Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und Verzinsung zum Zinssatz i Entwicklung des Kapitals: K 1 = K 0 + K 0 i = K 0 (1 + i) = K 0 q K 2 = K 1 (1 + i) = (K 0 q) q = K 0 q 2 K 3 = K 2 (1 + i) = ( K 0 q 2) q = K 0 q 3 Damit folgt die Zinseszinsformel, mit n (zunächst) ganzzahlig. q n heißt Aufzinsungfaktor K n = K 0 q n 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

17 12. DGLs Die Zinseszinsformel Auflösung der Zinseszinsformel nach K 0, q und n: K 0 = K n q n Abzinsungs- oder Diskontierungsformel 1 heißt Abzinsungsfaktor qn Kn Kn q = n bzw. i = n 1 K 0 K 0 n = ln K n ln K 0 ln q 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

18 12. DGLs Üblich: bei Restlaufzeiten kleiner einem ganzzahliges Vielfachen der Zinsperiode Genauer: Mit t 1 (Zinstage im ersten Jahr), n (die weiteren, ganzen Zinsperioden) und t 2 (Zinstage im letzten Jahr), gilt für das Endkapital K x : ( K x = K i t ) ( 1 (1 + i) n 1 + i t ) Gemischte Zinsrechnung (unter Verwendung der 30/360 Methode), auch Sparbuchmethode Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

19 12. DGLs : Beispiel Beispiel Am wurden zu 3,75 % angelegt. Wie hoch war der Endbetrag bei Kontoauflösung am (letzter Zinstag )? Lösung: (n = 6): K x = = , ˆ= (9 1) = 255 t 1 = 360 (255 1) = ˆ= (9 1) = 260 t 2 = 260 ( 1 + ) ( 0, , ) 0, Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

20 12. DGLs : Anmerkungen Würde man von t 0 ausgehend in ganze Jahre und einem Rest aufteilen, so ergäbe sich: ( K x = , , ) = , (7 Jahre von bis ; dazu 6 Tage) Würde man die Zinseszinsformel mit nicht-ganzzahligem Exponenten verwenden, so ergäbe sich Folgendes: K x = , = ,90 ist also (zumindest für Kapitalanleger) verbraucherfreundlich 7.1. Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung

21 12. DGLs : Anmerkungen Nachteil der gemischten Verzinsung Die gemischte Verzinsung ist inkonsistent und vom Zeitpunkt des Zinszuschlages (bzw. der Einzahlung) abhängig. Im Beispiel: Wäre der Zeitraum um einen Monat verschoben (vom bis zur Auflösung am ), so ergäbe sich... K x = = ,31 ( 1 + ) ( 0, , Die Widersprüche verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung zum konformen Zinssatz vorgenommen wird. ) 0, Zinsen Zinseszinsen Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 7.2. Renten 7.3. Tilgung 7.4. Kursrechnung