Determinanten - II. Falls n = 1, gibt es offenbar nur die identische Permutation, und für eine 1 1 Matrix A = (a) gilt det A = a.

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1 Determinanten - II. Berechnung von Determinanten Wir erinnern, dass für A M(n n; K) gilt : det A = σ S n signσ a σ() a 2σ(2)...a nσ(n). Falls n =, gibt es offenbar nur die identische Permutation, und für eine Matrix A = (a) gilt det A = a. Falls n = 2 [ (und ] damit [ S 2 = ] 2! = 2), gibt es nur die beiden 2 2 Permutationen und. 2 2 Damit ist det A = a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2. Falls n = 3, ist S 3 = 3! = 6 und a a 2 a 3 det A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = = a a 22 a 33 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3. Die Determinante einer 3 3 Matrix kann komfortabel mit der sog. Regel von Sarrus bestimmt werden. a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 Beispiel. Sei A = 2 3 2

2 Mit ist det A = ( ) = 3 Bemerkung. Für n N ist S n = n!, und damit tritt bei der Bestimmung von det A die sehr hohe Anzahl von n! Summanden auf. Schon aus diesem Grund ist es wünschenswert, weitere Möglichkeiten zur Berechnung von det A zur Verfügung zu haben. Bemerkung. (siehe vorher) Wird A M(n n; K) in eine Matrix B in Zeilenstufenform übergeführt, dann gilt det A = ( ) k b b 22...b nn (k... Anzahl der Zeilenvertauschungen) Satz. Für A M(n n; K) gilt det( t A) = det A. Damit gelten für die Determinante auch analoge Aussagen bzgl. elementarer Spaltenumformungen (etwa Vorzeichenwechsel bei der Vertauschung von zwei Spalten). Beweis. Sei σ S n und τ = σ. Ein Summand a σ() a 2σ(2)...a nσ(n) ist dann a σ() a 2σ(2)...a nσ(n) = a τ(σ())σ() a τ(σ(2))σ(2)...a τ(σ(n))σ(n) = a τ() a τ(2)2...a τ(n)n durch Umordnung der Faktoren. Durchläuft σ S n, dann ebenso τ = σ. Daraus folgt aber die Behauptung, weil det( t A) = signτ a τ() a τ(2)2...a τ(n)n. τ S n 2. Die komplementäre Matrix Sei A M(n n; K). Für festes i, j ersetze a ij durch und alle übrigen Elemente der i-ten Zeile und der j-ten Spalte durch. 2

3 Die entstehende Matrix werde mit A ij bezeichnet. Die Matrix A ij sei jene (n ) (n ) Matrix, welche aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Beispiel. Sei A = A 2 = A 2 = und A 32 = und A 32 =. Dann ist etwa , Betrachten wir nun A ij. Durch i Zeilenvertauschungen kann die i-te Zeile an die oberste Stelle gebracht werden. Durch j Spaltenvertauschungen kann die j-te Spalte ganz nach links gebracht werden... Dadurch kann A ij auf die Blockform.. A ij umgeformt werden. Mit einem früheren Ergebnis ist damit det A ij = ( ) (i )+(j ) det A ij = ( )i+j det A ij. Bemerkung. Seien a, a 2,..., a n die Spalten von A, und sei 3

4 e i =.... i te Stelle. Dann gilt det A ij = det(a,.., a j, e i, a j+,.., a n ). Beweis. Addition von Vielfachen der j-ten Spalte zu den anderen Spalten liefert A ij. Beispiel. A wie vorher (und i = 3, j = 2). Dann ist 3 4 (a, e 3, a 3, a 4 ) = Definition. Sei A M(n n; K) und setze c ij = det A ij für alle i, j n. Dann heißt à = t (c ij ) die zu A komplementäre Matrix. Satz. Für A M(n n; K) gilt à A = A à = (det A) E n. Beweis. Das Element in der i-ten Zeile und k-ten Spalte von à A ist a k ( ci c 2i ) a 2k.... c ni.... = n a jk det A ji = a nk = n a jk det ( a,.., a i, e j, a i+,.., a n) = = det ( a,.., a i, ) n a jk e j, a i+,.., a n = det ( a,.., a i, a k, a i+,.., a n) = 4

5 = δ ik det A. Somit ist à A = (det A) E n. Analog wird A à = (det A) E n gezeigt. Beispiel. Sei A = à = Dann ist t = = t = Man rechnet leicht nach, dass à A = 3 Also ist det A = Der Entwicklungssatz von Laplace Sei A M(n n; K) mit n 2. Dann gilt (Entwicklung nach der i-ten Zeile) det A = n ( ) i+j a ij det A ij für jedes i n 5

6 (Entwicklung nach der j-ten Spalte) det A = n ( ) i+j a ij det A ij i= für jedes j n Beweis. Wähle einen Zeilenindex i {, 2,..., n}. Dann ist det A A à =.. det A.. und à = t (c ij ) mit det A c ij = det A ij = ( ) i+j det A ij. det A ist also das Produkt der i-ten Zeile von A mit der i-ten Spalte von à (dies ist aber die i-te Zeile der Matrix (c ij ) ). Somit det A = n a ij c ij = n ( ) i+j a ij det A ij. Analog wird mittels à A = det A E n die Entwicklung nach der j-ten Spalte gezeigt. Bemerkung. Der Faktor ( ) i+j bewirkt einen Vorzeichenwechsel Bemerkung. Günstig ist die Entwicklung nach einer Zeile bzw. Spalte, die viele Nullen enthält. 2 Beispiel. Sei A = 3 2 Entwicklung nach der. Zeile ergibt 6

7 det A = = ( ) ( ) + 2 = Inverse Matrix und Determinanten Sei A M(n n; K invertierbar, i.e. det A. ( ) Wegen det A Ã A = E n gilt A = det A Ã. Speziell für n = 2 ergibt sich mit A = dass ( Ã = t d c b a ( d b A = ad bc c a ) ( ) d b = c a ) ( a b c d und somit ) und det A = ad bc, 5. Cramersche Regel Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit A M(n n; K). Ist A invertierbar (i.e. RgA = n), dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar und x = A b. Weil A = det A Ã, ist das ij-te Element von A gleich det A c ji c ji = det A ji = det(a,.., a i, e j, a i+,.., a n ). mit Damit ist die i-te Komponente von x = A b gleich x i = n ist b j det(a,..,a i,e j,a i+,..,a n ) det A x i = det(a,..,a i,b,a i+,..,a n ) det A. und wegen der Linearität in jeder Spalte 7

8 Diese Berechnungsmöglichkeit der (eindeutig bestimmten) Lösung x wird Cramersche Regel genannt. Beispiel. Gegeben sei Damit ist A = 3 2 x + x 2 = x 2 + x 3 = 3x + 2x 2 + x 3 = und b = det A = = 2, damit ist A invertierbar und die Cramersche Regel anwendbar. Somit 2 x = det A = 3 x 2 = det A = x 3 = det A = 8

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