(3) a x a x a x... a x b n n 1. (2) a x a x a x... a x b n n n n (m) a x a x a x...

Transkript

1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME () x x x... x b n n () x x x... x b n n () x x x... x b n n (m) x x x... x b m m m mn n m

2 Inhltsverzeichnis Kpitel Inhlt Seite Bestimmung von Funktionstermen Ds Additionsverfhren. Der Algorithmus. Lösung zu den Beispielen Mthemtische Begriffe us der lineren Algebr 4. Die Mtrix 4. Rng einer Mtrix 6. Die Determinnte 7 4 Ds Determinntenverfhren 8 4. Die Crmersche Regel 8 4. Lösung zu den Beispielen 0 5 Ds Verfhren nch Guß 5. Der Guß-Algorithmus 5. Lösung zu den Beispielen 6 Lösbrkeitskriterien 4 7 Lösbrkeit im IR 4 7. Genu eine Lösung 4 7. Keine Lösung 5 7. Unendlich viele Lösungen 5 8 Lösbrkeit im IR 6 8. Genu eine Lösung 6 8. Unendlich viele Lösungen 6 8. Keine Lösung 8 9 Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme 0 Grphiken erstellt mit Mthcd 5 Juli 0

3 Bestimmung von Funktionstermen Beim Aufstellen von Funktionstermen us gegebenen Punkten oder us Bedingungen kommen linere Gleichungssysteme vor. Gesucht ist der Funktionsterm einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes: n n f(x) n x n x... x x 0 n 0 Es gibt lso n+ Unbeknnte 0; ;,..., n; n ;n, d. h. es werden n+ Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten k benötigt. Durch Einsetzen der Bedingungen bekommt mn ein (n ) (n ) -Gleichungssystem, bestehend us n+ Gleichungen für n+ Unbeknnte k. Beispiel Berechnen Sie den Funktionsterm g der Gerden durch die Punkte P( /) und Q(4 / ). Anstz: g(x) x b Gleichung () : P g : b Gleichung () : Qg : 4 b ( ) GLS Beispiel Berechnen Sie den Funktionsterm p der Prbel durch die Punkte P( / ), Q( / 6) und R( / 0). Anstz: p(x) x bx c Gleichung () : P G : b c Gleichung () : QG : 9 b c 6 Gleichung () : R G : 9 b c 0 p p p ( ) GLS Beispiel Berechnen Sie den Funktionsterm f einer Polynomfunktion. Grdes durch die Punkte P(/ ), Q( / 0), R( / 0) und S( / 4). Anstz: f(x) x bx cx d Gleichung () : P G : b c d Gleichung () : QG : b c d 0 f f Gleichung () : R G : 8 4b c d 0 f Gleichung (4) : S G : 7 9b c d 4 f (4 4) GLS

4 Ds Additionsverfhren. Der Algorithmus Beim Additionsverfhren werden die Gleichungen des Gleichungssystems mit einer reellen Zhl so multipliziert, dss sich bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbeknnte ufhebt. Gegeben ist ein ( ) -Gleichungssystem (I) x x b (II) x x b () - () x - x = b - b ( - ) x = b - b x b - b = - () - () x - x = b - b Konkrete Lösung eines ( - ) x = b - b x b - b b - b = = - - ( ) -Gleichungssystem siehe.. Gegeben ist ein ( ) -Gleichungssystem (I) (II) x x x b x x x b (III) x x x b Die Bestimmung und Drstellung der llgemeinen Lösung dieses Gleichungssystems ist zu umfngreich und unübersichtlich, und wird deshlb nicht usgeführt. Konkrete Lösung eines ( ) -Gleichungssystem siehe..

5 . Lösung zu den Beispielen: Zu Beispiel () b () 4 b Additionsverfhren: () -() = = ; b = - 4 = - 4 =- ; Funktionsterm der Gerden: g(x) = x - Zu Beispiel () b c () 9 b c 6 () 9 b c 0 Additionsverfhren: ()-() = (4) 8 + 4b = 8 ()-() = (5) 8 - b = (4)-(5) = (6) 6b = 6 b = ; c b Funktionsterm der Prbel: p(x) = x + x - Zu Beispiel () b c d () b c d 0 () 8 4b c d 0 (4) 7 9b c d 4 Additionsverfhren: ()-() = (5) -- c =- ()-() = (6) 7+ b+ c=- (4)-() = (7) 6 + 8b + c = (7) - 8 (6) = (8) - c = (5) + c = (8) - c = (5) + (8) = = ; c = 0 ; In (6) b= ( --7- c) = ( -- 7) =- In () d b c 4 8= + b = (+ ) = 8 Funktionsterm der gnzrtionlen Funktion: f(x) = x - x + 4

6 Mthemtische Begriffe us der lineren Algebr. Die Mtrix Um von der Bezeichnung der jeweiligen Vriblen unbhängig zu werden, wird folgende Drstellung festgelegt: Ds linere Gleichungssystem mit den Unbeknnten x,x,x,...,x n,xn ht die Form: () x x x... x b n n () x x x... x b n n () x x x... x b n n (m) x x x... x b m m m mn n m uch folgendermßen ge- Ds knn mithilfe einer Mtrix A und eines Spltenvektors x schrieben werden: A x b; Eine reelle (mn) -Mtrix A ist ein System von m n reellen Zhlen ik mit i {,,...m} und k {,,...n}, die in einem Schem us m Zeilen und n Splten folgendermßen ngeordnet sind: Bezeichnungen m n: qudrtische Mtrix n : reihige qudrtische Mtrix n : reihige qudrtische Mtrix A: k n k n i i ik in m m mk mn A A n 4: 4 reihige qudrtische Mtrix A

7 Zurück zum Gleichungssystem: Für die zeilenweise Drstellung wird eine (Sklr-) Multipliktion Zeile ml Splte durchgeführt.... k... n x b... k... n x b i i... ik. in xk bi x m m... mk. mn n b m Sklrmultipliktion: x x... k x k......n xn b usw. Die ik heißen Koeffizienten des Systems. Die Lösung ist ein n-tupel von Zhlen x (x /x /x /.../x n), sie knn uch ls Vektor x x drgestellt werden.... xn Bezeichnungen A x 0 heißt homogenes Gleichungssystem, A x b inhomogenes Gleichungssystem. Drstellung von Gleichungssystemen Z. B. ein ( ) -Gleichungssystem: x b x b Koeffizientenmtrix A Systemmtrix b A b Z. B. ein ( ) -Gleichungssystem: x b x b x b Koeffizientenmtrix A Systemmtrix b A Ab b b Ziel: Wnn ist ds (m n) -System überhupt lösbr? Wnn ht ds (m n) -System genu eine Lösung? Wie findet mn die Lösungen? Wie stellt mn die Lösungen übersichtlich dr. 5

8 . Rng einer Mtrix Die Mtrix wird mithilfe von Äquivlenzumformungen, z.b. Multipliktion einer Zeile mit einer Zhl (0) Ersetzen einer Zeile durch die Summe us ihr und dem Vielfchen einer nderen in Dreiecksform gebrcht. Dbei unterscheidet mn die obere Dreiecksmtrix A oder untere Dreiecksmtrix A : o u A o oder A u Sind die Einträge oberhlb und unterhlb der Huptdigonlen gleich Null, so spricht mn von einer Digonlmtrix: 0 0 Adig Beispiele zur Umformung in die (obere) Dreiecksform (III) (I) A 0 0 keine Nullzeile Nullzeile (III) (I) (III) (II) A (III) (I) A Nullzeile (III) (I) Nullzeile A, A und A besitzen zwr dsselbe Formt, bringen jedoch beim Umformen verschieden viele Nullzeilen hervor. Definition Unter dem Rng einer Mtrix (Rg M) versteht mn die Anzhl der von der Nullzeile verschiedenen Zeilen, die bei der Umformung uf Dreiecksform übrig bleiben. Die Zeilen oder Splten einer Mtrix heißen dnn liner unbhängig. Rg(A ) ; Rg(A ) ; Rg(A ) ; 6

9 . Determinnte.. Zweireihige Determinnten Gegeben ist die qudrtische Mtrix æ ö A = ç çè Dnn wird die Determinnte folgendermßen berechnet: æ ö ç D= det(a) = A = = - ç çè Merkregel: Huptdigonle minus Nebendigonle.. Dreireihige Determinnten Gegeben ist die qudrtische Mtrix æ ö = ç A ç çè Gesucht: det A A Berechnung der Determinnte nch der Regel von Srrus: Setuze die ersten beiden Splten neben die Mtrix, dnn Summe der Huptdigonlen minus Summe der Nebendigonlen det A A Die Regel von Srrus ist nur sinnvoll für zwei- und dreireihige Determinnten. Für n-reihige Determinnten ist die Entwicklung nch einer Zeile oder Splte möglich. Z. B. Entwicklung nch der ersten Splte A ( ) ( ) ( ) 7

10 4 Determinntenverfhren 4. Die Crmersche Regel 4.. (x)-gleichungssystem Gegeben ist ds Gleichungssystem () x + x = b bzw. () x + x = b æ ö æ x ö æ b ö = ç è çèx è çb Es ht die Lösungen b - b x = - b - b und x = - Vendet mn die Schreibweise mit den Mtrizen für die Koeffizientenmtrix, dnn knn die Determinnte berechnet werden: æ ö Koeffizientenmtrix A = ç çè Koeffizientendeterminnte æ ö ç D = = - ç çè (vgl. die Nenner) Dieses Schem knn mit einer Veränderung uch uf die Zähler der Lösungen ngewendet werden: æb ö D = ç = b -b ç çèb (vgl. Zähler von x ) æ b ö D = ç = b - ç çè b b (vgl. Zähler von x ) Dmit können die Lösungen sehr elegnt berechnet werden: Mn ersetzt für den Zähler die erste oder zweite Splte durch den Vektor b und berechnet die Determinnte. Für den Nenner wird die Determinnte der Koeffizientenmtrix berechnet. x D æb ö ç çèb = = D æ ö ç çè und x D æ b ö ç çè b = = D æ ö ç çè Die Regel funktioniert uch für (x)- oder (4x4)-Gleichungssysteme usw. Es ist llerdings wegen der Berechnung der jeweiligen Determinnten nur für (x)-gleichungssysteme prktikbel. 8

11 4.. (x)-gleichungssystem Gegeben ist ds Gleichungssystem () x + x + x = b () x + x + x = b () x + x + x = b bzw. æ ö æ x ö æ b ö x b = ç x b è çè çè Koeffizientendeterminnte Determinnten für die Zähler æ ö = ç D ç çè (vgl. die Nenner) æb ö D= b ç çèb ; æ b ö D = b ç çè b ; æ b ö D = b ç çè b ; x D æb ö b ç çèb = = D æ ö ç çè ; x D æ b ö b ç ç çè b = = D æ ö ç çè ; x D æ b ö b ç ç çè b = = D æ ö ç çè 9

12 4. Lösung zu den Beispielen Zu Beispiel Systemmtrix: A 4 Determinnten: D 4 ; D ; D D Lösungen: ; D D D b ; Zu Beispiel Systemmtrix: æ - - ö A = 9 6 çè 9-0 Determinnten: æ ö - D= 9 çè9 - æ ö - - D = 6 çè 0 - ; æ ö - D = 9 6 ç çè9 0 ; æ ö - - D = 9 6 çè9-0 ; æ ö D ç + + è - (-) (-) (+ ) + (-) 6 ( - + ) = = = = ; D æ ö - (-) ( + ) + (-) 9 ( - + ) + (-) 9 ( --) 9 çè9 - æ ö ç D çè9 0 = = = D æ ö - 9 çè9 - b ; c æ ö D çè9-0 = = =- D æ ö - 9 çè9-0

13 5 Ds Verfhren nch Guß 5. Der Guß-Algorithmus Besonders schnell lssen sich linere Gleichungssysteme lösen, wenn sie in Dreiecksform (von Zeile zu Zeile eine Unbeknnte weniger) bzw. Stufenform (mindestens eine Unbeknnte weniger) vorliegen. Der bedeutendste deutsche Mthemtiker Crl Friedrich Guß ( ) ht ein Verfhren ngegeben, mit dem sich linere Gleichungssysteme uf Dreiecksform bringen und dnn bequem lösen lssen. () x + x + x x = b () x + x x = b () x x = b (m) x = b n n n n n n mn n m Ds Verfhren verllgemeinert ds beknnte Additionsverfhren. Der Guß-Algorithmus beruht uf zwei elementren Umformungen, die die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändern, den Äquivlenzumformungen: Multipliktion einer Gleichung mit einer Zhl ungleich Null Ersetzen einer Gleichung durch die Summe us ihr und dem Vielfchen einer nderen. Allgemeines (x)-gleichungssystem b (II) (I) b b 0 b b b b. Zeile: x b b. Zeile: x b b b Auflösen: x b x b b b b Huptnenner: b b Vereinfchen: x ; b b Kürzen: x

14 5. Lösung zu den Beispielen Zu Beispiel æ ö æ (II) (I) ö - ç4 0 è çè - Auflösen von unten nch oben:. Zeile: - b = b =- ;. Zeile: + b= = ( - b) = ( + ) = Funktionsterm: g(x) x Rngbetrchtung: ææ ö ö ææ öö Rg(A) = Rg ; Rg(A ) Rg = = = ç ç 0 ç 0 èè - çèè - Zu Beispiel æ ö æ ö æ ö (II) 9 (I) (III)-9 (I) (III) -(II) ç è9-0 èç èç Zeile: 8c c ;. Zeile: b 8c 4 b 4 8 ;. Zeile: bc bc Funktionsterm: p(x) x 6 x 8 Rngbetrchtung: æ ö ææ öö æ - ö - - Rg(A) = Rg 0 8 ; Rg(A ) Rg = = - = èçèç - è ç èç0 0-8

15 Zu Beispiel (II) (I) 0 (III) 8 (I) 0 0 (III) (II) 0 0 (IV) 7 (I) (IV) 9 (II) (II) 0 0 (IV) (III) 0 0 (III) Zeile: d 4 d 4 : Zeile: c d 4 c 4d Zeile: b d b d 4. Zeile: bc d bc d ( ) 04 Funktionsterm: f(x) x x 4 Rngbetrchtung: ææ ö ö ææ öö Rg(A) = Rg 4; Rg(A ) Rg = = = èç èç - èç èç

16 6 Lösbrkeitskriterien Stz: Ein System mit n Gleichungen und n Unbeknnten ist genu dnn lösbr, flls RgA RgA Rg A Rg A n es ht genu eine Lösung es ht unendlich viele Lösungen mn : Whl von einem freien Prmeter mn : Whl von zwei freier Prmeter mn k: Whl von k freien Prmetern Rg A Rg A m m n Stz: Ein System mit n Gleichungen und n Unbeknnten ist genu dnn unlösbr, flls RgA RgA 7 Lösbrkeit im IR Die Anzhl der Lösungen eines lineren Gleichungssystems mit zwei Vriblen lässt sich uch geometrisch vernschulichen. Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerde im IR : 7. Genu eine Lösung 8 (II) (I) Grphische Vernschulichung:. Zeile: 5 5 y ;. Zeile: x 8 x ; Lösung: x ; y ; Rngbetrchtung: ææ ö ö Rg(A) = Rg çç çç = çç çè0-5 è ææ 8 ö ö Rg(A ) = Rg çç çç = çç çè è Rg(A) Rg(A ), gleich der Anzhl der Gleichungen, lso genu eine Lösung. Gerde g : xy 8 y x 4; Gerde g : x y 9 y x 9 ; Die Gerden schneiden sich. 4

17 5 gg : x4 x9 x 5 xs ; ys g () 4 Die Lösung ist der Schnittpunkt S( / ). 7. Keine Lösung 8 (II) (I) Grphische Vernschulichung: 0 4 lso keine Lösung Rngbetrchtung: ææ ö ö Rg(A) = Rg çç çç = çç çè0 0 è ææ 8ö ö Rg(A ) = Rg çç çç = çç çè0 0 4 è Rg(A) Rg(A ), lso keine Lösung. Gerde g : Gerde g : xy 8 y x 4; xy y x 6; Die Gerden sind prllel. 7. Unendlich viele Lösungen 8 (II) (I) Nullzeile Grphische Vernschulichung: Wähle: y x 8 x 8 Lösung: 8 x IR. Rngbetrchtung: ææ ö ö Rg(A) = Rg çç çç = çç çè0 0 è ææ 8ö ö Rg(A ) = Rg çç çç = çè çç è Rg(A) Rg(A ), kleiner ls Anzhl der Gleichungen, lso unendlich viele Lösungen. Gerde g : xy 8 y x 4; Gerde g : x4y 6 y x 4 ; Die Gerden sind identisch. 5

18 8 Lösbrkeit im IR 8. Genu eine Lösung Beispiel (I) x x 4 x (II) x x 4 x 7 (III) x x x (II) (I) (III) (II) (III) (I) Zeile: 9x 6 x 4;. Zeile: x 849 x ;. Zeile: x44 x ; Lösung: x 4 Rngbetrchtung: ææ -4öö ææ -4 - ö ö Rg(A) = Rg 0-8 = ; Rg(A ) = Rg = ç èç è ç èèç Rg(A) Rg(A ), gleich der Anzhl der Gleichungen, lso genu eine Lösung. 8. Unendlich viele Lösungen Beispiel (I) x x x (II) 9 x 0 x x 6 (III) 6 x 5 x x 9 (II) (I) (III) 7 (II) (III) (I) Zeile: x ;. Zeile: Wähle x ; x x 4 6

19 Unendlich viele Lösungen: 4 x Rngbetrchtung: ææ -öö ææ - öö Rg(A) = Rg 0 0 ; Rg(A ) Rg 0 0 = = = èçèç çè çè Rg(A) Rg(A ), kleiner der Anzhl der Gleichungen, lso unendlich viele Lösungen (mit einem freien Prmeter). Beispiel (I) x x x (II) 4x 6x x 4 (III) 8 x x 4 x 8 (II) (I) (III) 4 (I) Zeile: Wähle x ; x ; Einsetzen: x x ; Unendlich viele Lösungen: Rngbetrchtung: x æ ö ææ öö æ - ö - Rg(A) = Rg ; Rg(A ) Rg = = = èçèç çè èç Rg(A) Rg(A ), kleiner der Anzhl der Gleichungen, lso unendlich viele Lösungen (mit zwei freien Prmetern). 7

20 8. Keine Lösung Beispiel 4 (I) x x x (II) x x x (III) x x 4 x (II) (I) (III) (II) (III) (I) Zeile: 0, es gibt keine Lösung. Rngbetrchtung: æ ö ææ öö æ - ö - Rg(A) = Rg 0 0 ; Rg(A ) Rg = = - = ç èç è çèçè Rg(A) Rg(A ), ungleich der Anzhl der Gleichungen, lso keine Lösung. Beispiel 5 (I) x x x 4 (II) x x x 5 (III) x x x (II) (I) (III) (II) (III) (I) Zeile: 0, lso keine Lösung. Rngbetrchtung: ææ - -öö ææ - - 4ö ö Rg(A) = Rg = ; Rg(A ) = Rg = èçèç çè èç Rg(A) Rg(A ), lso keine Lösung. 8

21 Beispiel 6 (I) x x x 6 (II) 4 x x x (III) x x x 6 6 (II) (I) (III) (I) Zeile: 0 7, lso keine Lösung; Rngbetrchtung: ææ - -öö ææ ö ö Rg(A) = Rg = ; Rg(A ) = Rg = ç èç è ç èçè Rg(A) Rg(A ), lso keine Lösung. Beispiel 7 (I) x 8x 8x 4 (II) x x x 8 (III) x x x (II) (I) (III) (I) 9 (III) 7 (II) Zeile: 0 7, lso keine Lösung; Rngbetrchtung: ææ 8 8ö ö ææ 8 8 4ö ö Rg(A) = Rg 0 = ; Rg(A ) = Rg 0 4 = èçèç çè èç Rg(A) Rg(A ), lso keine Lösung. Bemerkung Die Beispiele bis 7 können uch ls Lge dreier Ebenen zueinnder im IR interpretiert werden. 9

22 9 Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme Definition Sind mehr linere Gleichungen ls Vrible gegeben, so heißt ds Gleichungssystem überbestimmt. Lösung. Beschränkung uf die Anzhl von Gleichungen, die der Anzhl der Vriblen entspricht.. Bestimmung der Lösbrkeit über den Rng und Bestimmung der Lösung.. Existiert eine Lösung, diese zur Probe in die restlichen Gleichungen einsetzen. Ds Gleichungssystem ht dnn entweder genu eine Lösung oder keine Lösung. 4. Existieren unendlich viele Lösungen, diese zur Probe in die restlichen Gleichungen einsetzen. Ds Gleichungssystem ht dnn entweder genu eine Lösung oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. 5. Existiert keine Lösung, so ht ds gesmte Gleichungssystem keine Lösung. Definition Sind weniger linere Gleichungen ls Vrible gegeben, so heißt ds Gleichungssystem unterbestimmt. Lösung. Bringe die eiterte Koeffizientenmtrix uf Stufenform (Guß-Algorithmus). Flls RgA RgA, ist ds Gleichungssystem lösbr.. Führe zur Berechnung der Lösung einen oder mehrere freie Prmeter ein. 0