Inhaltsverzeichnis. I Lineare Algebra. 1 Vektoren 1
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- Detlef Brinkerhoff
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1 IX I Lineare Algebra i 1 Vektoren 1 2 Reelle Matrizen Ein einführendes Beispiel Definition einer reellen Matrix Transponierte einer Matrix Spezielle quadratische Matrizen Diagonalmatrix Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Gleichheit von Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen 18 3 Determinanten Ein einführendes Beispiel Zweireihige Determinanten Definition einer zweireihigen Determinante Eigenschaften zweireihiger Determinanten Dreireihige Determinanten Definition einer dreireihigen Determinante Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach Unterdeterminanten (Laplacescher Entwicklungssatz) Determinanten höherer Ordnung Definition einer n-reihigen Determinante Laplacescher Entwicklungssatz Rechenregeln für n-reihige Determinanten Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante Ergänzungen Reguläre Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix 63 Bibliografische Informationen digitalisiert durch
2 X 5 Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Vorbetrachtungen Gaußscher Algorithmus Lösungsverhalten eines linearen (m, «)-Gleichungssystems Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems Inhomogenes lineares (n, «)-System Homogenes lineares (n, «)-System Cramersche Regel Berechnung einer inversen Matrix nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Ein einführendes Beispiel Linear unabhängige bzw. linear abhängige Vektoren Kriterien für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes Komplexe Matrizen Ein einführendes Beispiel Definition einer komplexen Matrix Rechenoperationen und Rechenregeln für komplexe Matrizen Konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix Spezielle komplexe Matrizen Hermitesche Matrix Schiefhermitesche Matrix Unitäre Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Ein einführendes Beispiel Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2-reihigen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix Ein Anwendungsbeispiel: Normalschwingungen gekoppelter mechanischer Systeme 144 Übungsaufgaben 146 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 7 160
3 XI II Fourier-Reihen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion Einleitung Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe Übergang von der komplexen zur reellen Darstellungsform Anwendungen Fourier-Zerlegung einer Schwingung (harmonische Analyse) Zusammenstellung wichtiger Fourier-Reihen (Tabelle) Ein Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung einer Kippspannung 187 Übungsaufgaben 190 Zu Abschnitt Zu Abschnitt III Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen Definition einer Funktion von mehreren Variablen Darstellungsformen einer Funktion Analytische Darstellung Darstellung durch eine Funktionstabelle (Funktionstafel) Graphische Darstellung Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum Schnittkurvendiagramme Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Partielle Differentiation Partielle Ableitungen 1. Ordnung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Differentiation nach einem Parameter (verallgemeinerte Kettenregel) Das totale oder vollständige Differential einer Funktion Geometrische Betrachtungen Definition des totalen oder vollständigen Differentials Anwendungen Implizite Differentiation Linearisierung einer Funktion Relative oder lokale Extremwerte Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Lineare Fehlerfortpflanzung 259
4 XII 3 Mehrfachintegrale Doppelintegrale Definition und geometrische Deutung eines Doppelintegrals Berechnung eines Doppelintegrals Doppelintegral in kartesischen Koordinaten Doppelintegral in Polarkoordinaten Anwendungen Flächeninhalt Schwerpunkt einer homogenen Fläche Flächenmomente (Flächenträgheitsmomente) Dreifachintegrale Definition eines Dreifachintegrals Berechnung eines Dreifachintegrals Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten Anwendungen Volumen und Masse eines Körpers Schwerpunkt eines homogenen Körpers Massenträgheitsmomente 326 Übungsaufgaben 332 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt IV Gewöhnliche Differentialgleichungen Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung Lösungen einer Differentialgleichung Modellmäßige Beschreibung naturwissenschaftlich-technischer Problemstellungen durch Differentialgleichungen Anfangswert- und Randwertprobleme Differentialgleichungen 1. Ordnung Geometrische Betrachtungen Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Integration einer Differentialgleichung durch Substitution Exakte Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Variation der Konstanten Aufsuchen einer partikulären Lösung 377
5 XIH 2.6 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Anwendungsbeispiele Radioaktiver Zerfall Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes Wechselstromkreis Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Allgemeine Eigenschaften der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Anwendungen in der Schwingungslehre Mechanische Schwingungen Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik Freie ungedämpfte Schwingung Freie gedämpfte Schwingung Schwache Dämpfung (Schwingungsfall) Starke Dämpfung (aperiodisches Verhalten, Kriechfall) Aperiodischer Grenzfall Zusammenfassung Erzwungene Schwingung Elektrische Schwingungen Schwingungsgleichung eines elektrischen Reihenschwingkreises Freie elektrische Schwingung Erzwungene elektrische Schwingung Lineare Differentialgleichungen «-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Ein Eigenwertproblem: Bestimmung der Eulerschen Knicklast Numerische Integration einer Differentialgleichung Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung Streckenzugverfahren von Euler Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Systeme linearer Differentialgleichungen Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Ein einführendes Beispiel Grundbegriffe 488
6 XIV Integration des homogenen linearen Differentialgleichungssystems Integration des inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems Aufsuchen einer partikulären Lösung Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren Ein Anwendungsbeispiel: Kettenleiter Systeme linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 513 Übungsaufgaben 519 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt V Fourier-Transformationen Grundbegriffe Einleitung Definition der Fourier-Transformierten einer Funktion Inverse Fourier-Transformation Äquivalente Fourier-Darstellung in reeller Form Spezielle Fourier-Transformationen Fourier-Kosinus-Transformation Fourier-Sinus-Transformation Zusammenhang zwischen den Fourier-Transformationen F (a>), F c (co) und F s ((o) Wichtige Hilfsfunktionen" in den Anwendungen Sprungfunktionen Rechteckige Impulse Diracsche Deltafunktion (Impulsfunktion) Zusammenhang zwischen der Sprungfunktion und der Diracschen Deltafunktion Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssätze) Linearitätssatz (Satz über Linearkombinationen) Ähnlichkeitssatz Verschiebungssatz (Zeitverschiebungssatz) Dämpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz) 576
7 XV 4.5 Ableitungssätze (Differentiationssätze) Ableitungssatz für die Originalfunktion Ableitungssatz für die Bildfunktion Integrationssatz für die Originalfunktion Faltungssatz Vertauschungssatz Zusammenfassung der Rechenregeln (Transformationssätze) Fourier-Transformation periodischer Funktionen (Sinus, Kosinus) Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Allgemeine Hinweise zur Rücktransformation Tabellen spezieller Fourier-Transformationen 595 Tabelle 1 : Exponentielle Fourier-Transformationen 595 Tabelle 2: Fourier-Sinus-Transformationen 597 Tabelle 3: Fourier-Kosinus-Transformationen Anwendungen der Fourier-Transformation Integration einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik Fourier-Analyse einer gedämpften Schwingung Frequenzgang eines Übertragungssystems 603 Übungsaufgaben 607 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt VI Laplace-Transformationen Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion Inverse Laplace-Transformation Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssätze) Linearitätssatz (Satz über Linearkombinationen) Ähnlichkeitssatz Verschiebungssätze Erster Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) Zweiter Verschiebungssatz (Verschiebung nach links) Dämpfungssatz 634
8 XVI 2.5 Ableitungssätze (Differentiationssätze) Ableitungssatz für die Originalfunktion Ableitungssatz für die Bildfunktion Integrationssätze Integrationssatz für die Originalfunktion Integrationssatz für die Bildfunktion Faltungssatz Grenzwertsätze Zusammenfassung der Rechenregeln (Transformationssätze) Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Allgemeine Hinweise zur Rücktransformation Tabelle spezieller Laplace-Transformationen Anwendungen der Laplace-Transformation Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Allgemeines Lösungsverfahren mit Hilfe der Laplace-Transformation Integration einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Integration einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einfache Beispiele aus Physik und Technik Entladung eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Zeitverhalten eines PT\-Regelkreisgliedes Harmonische Schwingung einer Blattfeder in einem beschleunigten System Elektrischer Reihenschwingkreis Gekoppelte mechanische Schwingungen 674 Übungsaufgaben 676 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 5 682
9 XVII Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben 685 I Lineare Algebra 685 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Fourier-Reihen 706 Abschnitt Abschnitt III Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 709 Abschnitt Abschnitt Abschnitt rv Gewöhnliche Differentialgleichungen 725 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt V Fourier-Transformationen 752 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt VI Laplace-Transformationen 766 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise 781 Sachwortverzeichnis 782
Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen Kapitel XI: Gew ohnliche Differentialgleichungen 135
Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen 1 x1. Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen....... 1 1.1 Einführung und Beispiele.............................. 1 1.2
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