LINEARE ALGEBRA II (LEHRAMT GYMNASIUM) SOMMERSEMESTER 2017
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1 LINEARE ALGEBRA II (LEHRAMT GYMNASIUM) SOMMERSEMESTER 2017 CAROLINE LASSER Inhaltsverzeichnis 1. Euklidische Vektorräume Skalarprodukte und Normen (26.4.) Orthonormalisierung (3.5.) Lineare Abbildungen und Skalarprodukt (17.5.) 2 2. Determinanten Leibnizformel (24.5.) Satz von Laplace (31.5.) Parallelotope und Kreuzprodukt (7.6.) 3 3. Eigenwerte Diagonalisierung (14.6.) Trigonalisierung (21.6.) Spektralsatz und Singulärwertzerlegung (28.6.) Satz von Cayley Hamilton (5.7.) Minimalpolynom (12.7.) Hauptraumzerlegung (19.7.) Jordansche Normalform (26.7.) 5 Literatur 5 Date: 1. August
2 2 CAROLINE LASSER 1. Euklidische Vektorräume 1.1. Skalarprodukte und Normen (26.4.) (1) Standardskalarprodukt im R n (2) Euklidische Norm im R n (3) Cauchy-Schwarz-Ungleichung (mit Beweis) (4) Charakterisierung der Gleichheit (5) Winkel (6) Kosinussatz (mit Beweis) (7) Sakalarprodukt für komplexe Vektorräume (8) Antilinearität (9) Orthonormalbasen (10) Parseval-Gleichung Literatur. [DL, Kapitel 6.3 & 6.4 & 6.6] 1.2. Orthonormalisierung (3.5.) (1) Existenz von Orthonormalbasen (2) Gram Schmidt Orthonormalisierung (3) Beispiel im R 3 (4) Orthogonale Unterräume (5) Orthogonale Summe von Unterräumen (6) Orthogonale Summen sind direkt. (7) Orthogonales Komplement (8) Eigenschaften des orthogonalen Komplements (9) Orthogonale Projektion (10) Eigenschaften der orthogonalen Projektion Literatur. [DL, Kapitel 6.7 & 6.8] 1.3. Lineare Abbildungen und Skalarprodukt (17.5.) (1) Definition orthogonale Abbildung (2) Polarisierung (3) Winkel- gleich Längentreue (4) orthogonale (unitäre) Matrix (5) Charakterisierung orthogonaler Matrizen (6) Rieszscher Darstellungssatz (7) Definition adjungierte Abbildung (8) Kern und Bild der adjungierten Abbildung Literatur. [DL, Kapitel 6.9 & 6.10 & 6.11]
3 LINEARE ALGEBRA II (LEHRAMT GYMNASIUM) SOMMERSEMESTER Determinanten 2.1. Leibnizformel (24.5.) (1) Definition Determinante (2) Determinante diagonaler Matrizen (3) Spaltentausch (4) Definition Vorzeichen einer Permutation (5) Beispiel S 2 (6) Fehlstände einer Permutation (7) Leibniz-Formel (mit Beweis) (8) Leibniz-Formel für n = 2 (9) Determinanten und Invertierbarkeit Literatur. [DL, Kapitel 7.1 & 7.2 & 7.3 & 7.4] 2.2. Satz von Laplace (31.5.) (1) Multiplikationssatz (2) Transpositionssatz (3) Definition Streichmatrix (4) Laplacescher Entwicklungssatz (5) Definition komplementäre Matrix (6) Inverse und komplementäre Matrix (7) Cramersche Regel Literatur. [DL, Kapitel 7.5 & 7.6 & 7.7] 2.3. Parallelotope und Kreuzprodukt (7.6.) (1) Definition Parallelotop (2) Definition Parallelogrammfläche (3) Parallelogramme und Gramsche Determinanten (4) Definition Parallelotopvolumen (5) Parallelotope und Gramsche Determinanten (6) Definition Kreuzprodukt (7) Explizite Darstellung des Kreuzprodukts (8) Orthogonalität (9) Rechte-Hand-Regel (10) Transformationsformel Literatur. [DL, Kapitel 7.8 & 7.9 & 7.10]
4 4 CAROLINE LASSER 3.1. Diagonalisierung (14.6.) 3. Eigenwerte (1) Definition Eigenwert, Eigenvektor, Spektrum, Eigenraum (2) Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren (3) Direkte Summen von Eigenräumen (4) Definition diagonalisierbare Matrix (5) Charakterisierung der Diagonalisierbarkeit (6) Definition charakteristisches Polynom (7) Koeffizienten des charakteristischen Polynoms (8) Definition Spur (9) Nullstellen des charakteristischen Polynoms Literatur. [DL, Kapitel 8.1 & 8.2 & 8.3] 3.2. Trigonalisierung (21.6.) (1) Definition algebraische und geometrische Vielfachheit (2) geometrische algebraische Vielfachheit (3) Charakterisierung der Diagonalisierbarkeit über Vielfachheiten (4) Existenz einer Schur-Zerlegung Literatur. [DL, Kapitel 8.4 & 8.5] 3.3. Spektralsatz und Singulärwertzerlegung (28.6.) (1) Spektralsatz (2) Singulärwertzerlegung (3) Definition Singulärwerte (4) Ker(A) = Ker(A A) Literatur. [DL, Kapitel 8.6 & 8.8] 3.4. Satz von Cayley Hamilton (5.7.) (1) Diagonale Matrizen und ihr charakteristisches Polynom (2) Diagonalisierbare Matrizen und ihr charakteristisches Polynom (3) Definition Frobenius-Norm (4) Unitäre Invarianz der Frobenius-Norm (5) Dichtheit diagonalisierbarer Matrizen im C n n (6) Satz von Cayley Hamilton (7) Polynome, die in einer Matrix verschwinden (8) Definition Minimalpolynom Literatur. [DL, Kapitel 8.9 & 8.10] 3.5. Minimalpolynom (12.7.) (1) Schur-Zerlegung für komplexe Matrizen (2) Existenz und Eindeutigkeit des Minimalpolynoms (3) Nullstellen des Minimalpolynoms (4) Minimalpolynom und charakteristisches Polynom (5) Diagonalisierbarkeitskriterium Literatur. [DL, 8.10]
5 LINEARE ALGEBRA II (LEHRAMT GYMNASIUM) SOMMERSEMESTER Hauptraumzerlegung (19.7.) (1) Definition Index und Hauptraum (2) Fitting-Zerlegung (3) Dimension des Hauptraums (4) Index und Minimalpolynom Literatur. [DL, 8.11] 3.7. Jordansche Normalform (26.7.) (1) Beweis zu Index und Minimalpolynom (2) Beweis der Hauptraumzerlegung (3) Jordansche Normalform (4) Definition Jordan-Kette und Jordan-Block Literatur. [DL, 8.12] Literatur [DL] O. Deiser, C. Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra, Springer Verlag, 2015.
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