Das freie mathematische Pendel

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1 Das freie mathematische Pendel Wasilij Barsukow, Januar 0 Einleitung Das mathematische ist das einfachste Modell eines Pendels, bei dem man sich eine punktförmige Masse m an einem masselosen Faden aufgehängt denkt. Diese übliche Denkweise ist aber insofern verwirrend, als dass der Faden in den üblichen Darstellung eher durch einen masselosen unbiegsamen Stift zu ersetzen ist. Denn die Bahn des Massepunktes wird dort als Kreisbahn angenommen, selbst im höchsten Punkt bei einem Überschlag, wo es vorkommen kann, dass der Massepunkt herunterfallen würde, wenn er an einem Faden befestigt wird. In den üblichen Darstellungen wird er in solchen Fällen aber stets von dem erwähnten Stift gehalten. In dieser Darstellung wollen wir uns des ursprünglichen Problems annehmen, das heißt hier soll der Massepunkt tatsächlich an einem Faden befestigt sein und von seiner Bahn herunterfallen können. Wir diskutieren allerdings nicht die Bewegung eines solchen Pendels für alle Zeiten, sondern stellen uns vor, dass die Verbindung zum Zentrum der Bewegung in jenem Augenblick gekappt wird, in dem der Massenpunkt das erste Mal keinerlei Zug auf den verbindenden Faden auszuüben vermag. Anschließend bewegt er sich wie ein freier Körper im Gravitationsfeld, welches als homogen angenommen wird, das heißt auf einer Wurfparabel. Bis zum Zeitpunkt, wo der Massepunkt auf dieser Parabel einen Abtsand vom Zentrum erlangt, der größer ist, als die Länge des Fadens, entspricht seine Bewegung der physikalischen Realität, in der die Verbindung nicht gekappt ist, sondern für ebendiese nur keine Rolle spielt. Ab da entspricht die Lösung einer Wurfparabel nicht mehr den Beobachtungen. Hier müsste dann das recht plötzliche Wiedereinsetzen eines Zuges auf den Faden untersucht werden, ein Vorhaben, das nicht weiter verfolgt werden soll. Die Kreisbewegung Mit der Höhe verringert sich die Radialkomponente g r der Beschleunigung und kehrt sich schließlich um, so dass sie dann zum Zentrum weist. die Zentrifugalbeschleunigung verändert sich nur aufgrund der Änderung der Geschiwndigkeit mit der Höhe, kehrt sich aber nicht um. Mit ϕ 0 soll derjenige Winkel bezeichnet werden, unter dem ein Gleichgewicht der beiden vorliegt. Das ist der Ablösepunkt. Die Masse soll am untersten Punkt mit einer Geschwindigkeit v 0 starten. Dann gilt zunächst allge- Abbildung : Die Lage der Winkel.

2 mein: Energieerhaltung: mv 0 mv(ϕ + mg(r R cos ϕ v v 0 gr( cos ϕ Dabei ist g, R > 0. Bei ϕ ϕ 0 soll nun gelten: g r a z g cos ϕ 0 v(ϕ 0 Offenbar ist dieser Punkt nur für ϕ 0 > π R v 0 R g( cos ϕ 0 überhaupt zu erreichen, das heißt dort gilt: cos ϕ 0 cos ϕ 0 für π < ϕ 0 < π g cos ϕ 0 v 0 R g + g cos ϕ 0 3 v 0 3gR cos ϕ 0 Diese Formel bedarf noch einiger Diskussion. Offenbar müssen wir cos ϕ 0 0 fordern, letzteres, weil nur dort unsere Formel gilt. Daraus ergibt sich: 3 v 0 3gR v0 5gR Diese Geschindigkeit ist bekannt als diejenige, die nötig ist, damit die Kugel selbsstätig den Looping durchläuft. Das ist die physikalische Erklärung dafür, dass es oberhalb dieser Geschwindigkeit keinen Ablösepunkt gibt. 3 v 0 3gR 0 v0 gr Das ist gerade die Geschwindigkeit, die nötig ist, damit die Kugel gerade bis ϕ π kommt. Das ist gleichzeitig eine Art von Ablösepunkt. Wäre der Faden ein Stab, bräuchte man nur v 0 4gR, aber weil es eben ein Faden ist, braucht die Kugel eine Mindestgeschwindigkeit im obersten Punkt, die für eine Zentrifugalkraft sorgt, welche die Gewichtskraft aufwiegt.

3 3 Die Wurfparabel Wir benötigen die Koordinaten des Ablösepunktes sowie den Geschwindigkeitsvektor im Ablösepunkt. Dazu wählen wir uns noch einen Koordinatennullpunkt, der im Aufhängepunkt des Fadens liegen soll. Die y-achse soll senkrecht nach oben weisen. ( ( cos ϕ r(ϕ R v(ϕ R ϕ r(ϕ 0 : v(ϕ 0 : ( vx v y ( x0 y 0 cos ϕ ( 0 R cos ϕ 0 ( cos ϕ0 v(ϕ 0 v e v0 gr( 3 + v 0 ( cos ϕ0 ( cos ϕ0 gr Wir berechnen noch : sin ϕ v 0 3gR v e v v v 0 gr( cos ϕ 0 ( cos ϕ ( cos 3gR ϕ0 ( cos ϕ0 gr cos ϕ0 ( 3 v 0 5 3gR v 0 gr v4 0 9g R gr 3 + v 0 3 Eine Wurfparabel ergibt sich aus der Lösung der Newton schen Gleichung für das homogene Feld: ( ( x v x t + x 0 y gt + v y t + y 0 Durch Eliminieren von t erhält man die Bahnkurve y(x: t x x 0 y(x g ( x x0 + v y x x 0 + y 0 Wir berechnen die Lage des Scheitelpunkts: dy dx g x S x 0 + v y! 0 x S x 0 v y xxs g v x y S : y(x S g vy vxg + v y vxv y g + y 0 v y g + y 0 3

4 Jetzt setzen wir unseren Spiezialfall ein. Bahnkurve nach dem Ablösepunkt: y(x g (x R + (x R cos 0 R cos ϕ 0 ϕ 0 gr cos ϕ 0 cos ϕ 0 (x R + (x R cos 3 0 R cos ϕ 0 ϕ 0 R cos ϕ 0 (x R + R cos ϕ 0 (x R R cos 4 ϕ 0 (x xr + R sin ϕ 0 + xr cos ϕ 0 R sin ϕ 0 cos ϕ 0 R cos 4 ϕ 0 x xr + R sin ϕ 0 + xr ( sin ϕ 0 R ( cos ϕ 0 cos ϕ 0 R cos 4 ϕ 0 x + R sin ϕ 0 xr sin 3 ϕ 0 R cos ϕ 0 Scheitelpunkt: y S g gr cos ϕ 0 R cos ϕ 0 ( ( v0 9 gr v4 0 R 9g R 3 v 0 3gR ( ( v 0 8 gr v4 0 v g R gR 3 ( R 3 v 0 3gR R In dimesnionslosen Größen geschrieben: k : v 0 gr y S R 54 (3 + 4k k (k Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass im relevanten Bereich k 5 y S beginnend bei Null monoton auf R steigt. (Man überzeugt sich leicht von der exakten Lage des Maximums bei k 5. In Abbildung 3 ist eine Schar möglicher Kurven dargestellt. 4

5 Abbildung : y S /R in Abhängigkeit von k. Abbildung 3: Einige mögliche Bahnen. 5