Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße 1

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1 aptel IV Streuung-, Schefe und Wölbungmaße B... Lagemaße von äufgketvertelungen geben allen weng Aukunft über ene äufgketvertelung. Se bechreben zwar en Zentrum deer Vertelung, geben aber kenen Anhaltpunkt dafür, we wet en konkreter Merkmalwert von enem olchen Zentrum abwechen kann. Maße, de de Abwechung von enem Zentrum ener äufgketvertelung bechreben, nennt man Streuungmaße oder Dperonmaße. D... (Spannwete) Al Spannwete (be enem nchtgrupperten Datenmateral) bezechnet man R : = ma mn B... Be enem grupperten Datenmateral t R G g p "En Mench, der von Stattk hört, denkt dabe nur an Mttelwert, Er glaubt ncht dran und t dagegen, en Bepel oll e glech belegen: En Jäger auf der Entenjagd hat enen erten Schu gewagt. Der Schu, zu hatg au dem Rohr, lag ene gute andbret vor. Der zwete Schu mt lautem rach lag ene gute andbret nach. Der Jäger prcht ganz unbechwert voll Glauben an den Mttelwert: Stattch t de Ente tot. Doch wär er klug und nähme Schrot - de e geagt hn zu bekehren - er würde ene Chancen mehren: Der Schu geht ab, de Ente türzt, wel Streuung hr da Leben kürzt." P.. Lt (Profeor für pharmazeutche Technologe Marburg)

2 BS... (Sehe BS...). Nchtgruppert R = =.0.. Gruppert R =.0. B... De Spannwete t geegnet, fall - man ch für den geamten Streuberech ntereert. - de beden Randwerte ene bedeutende Rolle pelen. De Spannwete t ncht geegnet - be großen Stchprobenumfängen. - bem Auftreten von Aureßern. - um de Streuung der Grundgeamthet zu chätzen. D... (Quartlabtand) Al Quartlabtand bezechnet man = QA: BS... (Fortetzung). Nchtgruppert. Gruppert QA = =.5. QA = =.85. D... (Mttlerer Quartlabtand) BS... (Fortetzung). Nchtgruppert Q : = Q = ( ) = 0.75.

3 . Gruppert X = ( ) = B... Im Verglech zur Spannwete haben der Quartlabtand und der mttlere Quartlabtand den Vortel, von den Etremwerten der Vertelung ncht beenflut zu werden. D... (Mttlere abolute Abwechungen). Al mttlere abolute (bzw. lneare) Abwechung vom Medan bezechnet man d. 0.5 n : = 0.5 n =. Al mttlere abolute (bzw. lneare) Abwechung vom arthmetchen Mttel bezechnet man n d : =. n = BS... (Fortetzung). 0 d = 6.0 = = 0. 0 d = 6.0 = = B.. 5. (Mnmalegenchaft de Medane) E glt: n n 0.5 Z, Z R : belebg = =. B.. 6. (Mttlere abolute Abwechungen be enem grupperten Datenmateral) E glt: d, 0.5 p : 0.5 n = p d :. n = Fall de laenmttel ncht vorhanden nd, werden e durch de laenmtten m eretzt. BS... (Fortetzung)

4 E t 0.5 = 6.9, = 6.0. [ 7.00, 8.0[ m m 6.9 m 6.0 =.00, = 5.00, = 6.00, = d , d D.. 5. (Mttlere quadratche Abwechungen). Al mttlere quadratche Abwechung vom Medan bezechnet man d. n : = ( 0.5) 0.5 n =. Al mttlere Abwechung vom arthmetchen Mttel (bzw. Varanz) bezechnet man a) be ener Grundgeamthet σ µ N : = ( ) N = b) be ener Stchprobe N µ N = =. n : = ( ) n = = n = n n n =.. Al Standardabwechung bezechnet man de potve Wurzel der Varanz. BS... (Fortetzung)

5 .. d 7.79 = ( 6.0) = = 7.9 = ( 6.0) = =.... B E glt: n ( Z ), Z R, belebg. = = n. Se (Mnmalegenchaft de arthmetchen Mttel) ( ) : ( ) d Z = + Z, Z R : belebg. erau folgt: d ( Z) (Verchebungatz) B.. 8. (Mttlere quadratche Abwechungen be enem grupperten Datenmateral) E glt: d, p : ( 0.5) n = p σ : ( µ ), (be ener Grundgeamthet) N =, (be ener Stchprobe) : p ( ) n = Fall de laenmttel ncht vorhanden nd, werden e durch de laenmtten m eretzt. BS... (Fortetzung) E t 0.5 = 6.9, =

6 [ 7.00, 8.0[ m ( m 6.9) ( m 6.0) =.00, = 5.00, = 6.00, = d.,., B.. 7. (Sgma-Regeln) Im Intervall σ + σ legt tet de Mehrhet, alo mndeten 50 % aller Merkmalwerte Für den Fall, da de Merkmalwerte hnrechend genau normalvertelt nd, glt de Folgende Sgma-Regel. Im Intervall k σ, + k σ legen für k = rund 68%, für k = rund 95% und für k = rund 99% aller Merkmalwerte. D.. 6. (Varatonkoeffzent) Da Merkmal X möge nur potve Werte annehmen. Al Varatonkoeffzent bezechnet man σ v : =, µ > 0 (be ener Grundgeamthet), µ v : =, > 0 (be ener Stchprobe). B.. 8. Der Varatonkoeffzent t en relatve Streuungmaß, da kene Maßenhet betzt und n der Pra met n Prozent angegeben wrd. Er t vor allem n zweerle ncht von praktcher Bedeutung:. Der Varatonkoeffzent wrd al ene Maßzahl benutzt, um enchätzen zu können, we gut da arthmetche Mttel alle Enzelwerte repräentert. Dabe verwendet man de folgende Fautregel: En Varatonkoeffzent größer al 0.5 bzw. 50% t en Indz dafür, da der Durchchntt wegen ener zu großen Streuung ken geegneter tattcher Repräentant der Enzelwerte t.. Der Varatonkoeffzent t ene geegnete Maßzahl für den Streuungverglech von glech und/oder unterchedlch dmenonerten Merkmal. BS... (Fortetzung) 6

7 . Nchtgruppert. v = Gruppert.07 v = BS... En Fachgechäft für Schrauben wet an enem betmmten Wochentag folgende Verkaufzahlen n den Abtelungen A und A : Abtelung A Abtelung A Verkaufbetrag [ ] Anzahl der Verkäufe Verkaufbetrag [ ] Anzahl der Verkäufe.50, [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50, 5.50 [ [ 5.50, 6.50 [ [ 6.50, 7.50 [. Nennen und charaktereren Se da tattche Merkmal.. Berechnen Se für jede Abtelung den durchchnttlchen Verkaufbetrag.. Überprüfen Se de Rchtgket folgender Auage mthlfe der entprechenden Varatonkoeffzenten: De Verkaufbeträge n der Abtelung A treuen tärker al n der Abtelung A. 7

8 Löung:. Da Merkmal heßt: verkaufte Beträge. E handelt ch (praktch) um en dkrete Merkmal.. und. Abtelung A : Arbettabelle a ( a ) a ( a ) j j j j a j ( 6.80) ( a ) j = = 6.80, = = 9.0,., v 0... Abtelung A : Arbettabelle m m ( m.95) [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50,.50 [ [.50, 5.50 [ [ 5.50, 6.50 [ [ 6.50, 7.50 [ = =.95, = =.8,.8, v Wegen v = 0. > 0.0 = v A A t de Auage De Verkaufbeträge n der Abtelung A treuen tärker al n der Abtelung A wahr. 8

9 D.. 7. (k-te Zentralmoment) Da k te Zentralmoment von n kardnalkalerten Merkmalwerten t gegeben durch: n M : ( ) k = (für en nchtgrupperte Datenmateral) n = M m (für en grupperte Datenmateral) p : ( ) k = n = B.. 9. De Varanz t glech M. D.. 8. (Schefe) De Schefe der Vertelung ene kardnalkalerten Merkmal X e gegeben durch: M S : = B.. 0. De Schefe gbt an, ob de Werte der Vertelung vom Modu au lnk ( S > 0 ) oder recht ( S < 0 ) chneller abfallen; da lange Ende der Vertelung t jewel auf der anderen Sete. Im erten Falle t de Vertelung lnktel bzw. rechtchef; m zweten Falle rechttel bzw. lnkchef. BS... (Fortetzung). Nchtgruppert S = Gruppert m ( m 6.0) S =

10 B... (Wetere Schefemaße) E gbt wetere Schefemaße, u. a.. Da Schefemaß au den Quartlen: S : = ( S + ). α α Da Schefemaß nach Pearon: S P : M. Da Schefemaß nach Yule-Pearon: = S P ( + ). BS... (Fortetzung). Nchtgruppert: S Me Y P : = S P ( + ). S α = 0.7, S P = = 0.6,. SY P ( ) = Gruppert S α , S P ,.05 SY P ( )

11 D.. 8. (Eze, Wölbung, urto ) Der Eze der Vertelung ene kardnalkalerten Merkmal X e gegeben durch: M : = (für ene Stchprobe), n( n ) ( )( )( ) ( n ) ( )( ) + M : = n n n d n n (für ene Grundgeamthet). B... Der Eze t en Maß für de relatve Flachhet ener Vertelung (m Verglech zur Normalvertelung, de enen Eze von null aufwet.). En potver Eze zegt ene ptz zulaufende Vertelung (ene og. Leptokurtche Vertelung), wohngegen en negatver Eze ene flache Vertelung (platykurtche Vertelung) anzegt. er zwe Bepele von Vertelungen mt unterchedlchem Eze: BS... (Fortetzung). Nchtgruppert: 0.05 = Gruppert: m ( m 6.0) (Letzte Aktualerung: )