SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

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1 Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik einühren. Warum as Ganze??? Wir behaneln iese Themaik im Newsleer aus olgenem Grun: Nichlineare Berechnungen gehören mi ANSYS heuzuage as schon zur Sanar-Berechnungsaugabe. Die wenigsen Anwener wissen jeoch was in ANSYS oer Workbench überhaup hiner en Kulissen abläu. Der Anwener en as ineressier wir in ieser Reihe hinreichen inormier auch wenn ie Beiräge eher von heoreischer Naur erscheinen. Insoern hier ein Beispiel wie man en Deormaionsgraienen ganz leich berechnen kann. Wie bereis erwähn is ieser ie zenrale Größe in er Kinemaik um Deormaion zu beschreiben. Insoern ri er in abgewaneler orm immer wieer in en Algorihmen au gerae auch bei er Beschreibung von Maerialgesezen. Gesuch wir eine Größe Deormaionsgraien er einen Zusammenhang zwischen er ursprünglichen Lage un er engüligen Lage hersell. Sin ie eormiere Lage er Elemene un ie Ausgangslage bekann kann er Deormaionsgraien über ie Geschehensunkion besimm weren. Dami läß sich ann ie Deormaion beliebiger Linienvekoren Linien in er Srukur beschreiben. 7

2 Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 Zum Beispiel: Gegeben is ie olgene Deormaion. So ein Zusammenhang kann in er EM immer angegeben weren a ie verschobene Lage ja immer gerae aus er EM berechne wir. Die neue Koorinae is über urch eine unkion abhängig von en ursprünglichen Koorinaen un. Anschaulich sieh iese Deormaion ür ein Elemen so aus: E E - e - e i 8

3 Ausgabe: 9 / 4 SERVICE NEWSLETTER 9 Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Zunächs weren noch einmal ie Linienelemene un berache: Der Absan er unke un in er Ausgangs- un Momenankoniguraion sei ininiesimal klein. Dami gil zunächs: Der Orsvekor er Enlage wir nun urch eine Taylorreihenenwicklung am unk beschrieben Abbruch er Reihe nach em linearen Term: Dami ergib sich olgener Zusammenhang zwischen em Linienelemen in er Enlage un em Linienelemen in er Ursprungslage:

4 Ausgabe: 9 / 4 SERVICE NEWSLETTER Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Dami is er Deormaionsgraien geunen. Die Mari is unamenal in er Koninuumsmechanik un ien als Grunlage ür ie weiere Ableiung von Deormaionsgrößen wie z.b. Verzerrungen. Sell man sich ie rage welche Koniguraion ein eormieres Linienelemen er Momenankoniguraion in er uneormieren spannungsreien Ausgangskoniguraion eingenommen ha erhäl man as inverse roblem. Mi er bereis augesellen Umkehrunkion - läß sich ies berechnen: Bereis im lezen Arikel anen wir ie Darsellung er Geschehensunkion. Die Momenankoorinaen i sin unkionen er Ausgangskoorinaen i un er Zei : oer Des weieren sellen wir es ass ie unkion eineuig umkehrbar sein muss. oer ergib sich also urch parielle Ableiung er Geschehensunkion.

5 Ausgabe: 9 / 4 SERVICE NEWSLETTER Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Diese beien Beziehungen ür un - sollen nun au unser Zahlenbeispiel angewene weren. mi Es läss sich zeigen ass gil:

6 Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 Durch parielle Ableiung erhäl man: Jez a bekann is kann man auch sagen wie sich Linienvekoren ewa von er unverormen in ie verorme Lage ransormieren: Aus er Umkehrbarkei er Abbilung kann man sogar sagen wie ein eormiere Linienvekor in er Ausgangskoniguraion aussah. In iesem Beispiel wuren Einheisvekoren ransormier. Dies is eshalb möglich a es sich um eine homogene Deormaion hanel: Der Deormaionsgraien is unabhängig von Or un Zei. Un noch einmal er Hinweis woher man enn überhaup ie oben angegebenen unkionen ür un bekomm: Diese sin in jeem Ieraionsschri in er nichlinearen EM urch ANSYS bekann. Die akuelle Lage er Knoen wir über as Gleichgewich besimm. Kenn man en Or er Knoen kann über ie bekannen Verschiebungsansäze im Elemen er Deormaionsgraien berechne weren. Daraus ergeben sich ann zum Beispiel ie Dehnungen un Spannungen eben as was Sie sicher schon einmal mi LESOLEEL oer LESOLS in ANSYS sich angesehen haben.

7 Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 Dieses Zahlenbeispiel samm übrigens aus em Buch: Nonlinear coninuum mechanics or inie elemen analysis von Javier Bone un Richar D. Woo erschienen bei CAMRIDGE UNIVERSITY RESS Wen es ineressier kann hier sicher weierlesen wir weren uns in ieser Reihe auch aran orienieren. Nachem nun ie wichigse Größe in er Koninuumsmechanik abgeleie un in einem Beispiel angewene wure weren wir uns im nächsen Teil näher mi er Deormaion Längenänerung eines Linienelemenes beschäigen. Ebenso gil es ie rage zu klären wie sich lächen- un Volumeninhale änern. Dies wir späer bei er Deiniion von Spannungen un Maerialgesezen eine Rolle spielen.

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