SYSTEMANALYSE 2 Kapitel 7: Zeitdiskrete Modelle
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- Florian Böhm
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1 Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur-und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter) SYSTEMANALYSE 2 Kapitel 7: Zeitdiskrete Modelle
2 1. Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen 1.1 Differenzengleichung und die numerische Lösung von Differentialgleichungen Iterative Gleichungen sind scheinbar leichter als Differentialgleichungen zu lösen, was in der Regel aber nicht zutrifft. Zum Beispiel beruht der primitivste Integrationsalgorithmus auf der Idee, den kontinuierlichen Gang der Zeit durch endliche Intervallsprüngen der Größe Δt zu approximieren, indem man definiert = + Und eine sogenannte Differenzengleichung einführt: =() () = () Aufgelöst nach () ergibt: () = 1+ (). () = 1+ () Wenn mehrmals vom Ausgangswert aus hintereinander ausgeführt. Im Grenzfall ist 0 und wir erhalten: = lim 1+ (). = (), weil lim 1+ =
3 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen 1.2 Lineare diskrete Modelle erster Ordnung Die inhomogene, lineare, zeitdiskrete Gleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form: () =+ Treten mehrere Terme auf, dann spricht von Gleichungen zweiter, dritter, usw. Ordnung. Wie sieht die lineare Differentialgleichung aus, die mit der zeitdiskreten linearen Differenzengleichung verwandt ist? Aus () =+ 1+ erhalten wir durch Division mit : () () =+ () =, = 1 Bekanntlich hat die Differentialgleichung den stationären Zustand = falls <0. Die Differenzengleichung hat den stationären Zustand = lim () = 1, 1< <1
4 Beweis: Wird die Gleichung () =+ mehrfach hintereinander mit () ausgeführt, () =+ () =+ () =+ + = 1+ + () =+ () = = erkennt man die allgemeine Regel: () = + Mit der Formel zur Berechnung geometrischer Summen, = folgt schließlich: () = = Falls <1, verschwindet der zweite Term für, d.h. = lim () = 1
5 1. Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen 1.2 Lineare, diskrete Modelle erster Ordnung: Mögliche Fälle Für kleine Werte oszilliert das System zwischen den Extremwerten hin und her.
6 1. Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen 1.3 Lineare diskrete Modelle höherer Ordnung Zeitdiskrete Modelle höherer Ordnung, z.b. q-terordnung, werden durch eine Iterationsgleichung beschrieben, in der q hintereinander liegende Parameterwerte (), (),, () zueinander in Beziehung gesetzt werden. Ist das System linear, kann man die Gleichung in folgende Form bringen: + () + () + + =0. Diese inhomogene Gleichung kann durch Wahl einer neuen Variablen: () = () +, =1,2, in eine homogene Gleichung umgewandelt werden. Falls 0ist und =, entsteht die obige Form bis auf den Term I, deren die Lösung die Angabe von q Anfangswerten voraussetzt. Für die Transformation () + () + + ( =0 ist die Funktion () =λ eine Lösung. Hier eingesetzt erhalten wir nämlich: λ + λ + + λ =0.
7 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen 1.3 Lineare diskrete Modelle höherer Ordnung(Fortsetzung) Durch Division mit λ n erhält man die vom Iterationsschritt unabhängige, so genannte charakteristische Gleichung: λ + λ + + =0, die im Allgemeinen q (reelle oder komplexe) Lösungen λ =1,, hat. Die allgemeine Lösung der transformierten Differenzengleichung ergibt sich somit als lineare Kombinationen aller λ j Potenzen: () = λ, wobei die A j aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für die Fälle, dass die Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell sind, unterscheidet man beispielsweise zwei Fälle: 1. Ist der Betrag aller λ j kleiner eins, dann konvergiert die transformierte Differenzengleichung gegen null für. 2. Ist eine Wurzel betragsmäßig größer 1, dann folgt () ±.
8 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen 1.4 Nichtlineare Modelle Ob ein lineares Differenzenmodell einem stationären Zustand zustrebt, ist nicht einfach zu beantworten. Dennoch gibt es einfache Rezepte, um das Langzeitverhalten zu analysieren. Komplexer wird die Sache für den Fall nichtlinearer Modelle., so schon bei den hier nur betrachteten Modellen erster Ordnung folgender Form, wobei die Funktion g beispielweise eine logistische Wachstumsfunktion sei : () = = () (),,>0 Die Nullstellen dieser Funktion g sind offensichtlich Fixpunkte des Modells, für die gilt: () =.
9 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen 1.4 Nichtlineare Modelle Wir untersuchen wieder das Verhalten des Systems beim Fixpunkt, indem eine neue diskrete Variable eingeführt wird: () = () Mit ihr erhält die Differenzgleichung die Form: () = = + () Falls die Abweichung vom Fixpunkt ( () ) sehr klein ist, kann man g in eine Taylor-Reihe entwickeln und nach dem linearen Term abbrechen: + () = + () + Da ein Fixpunkt ist, ist definitionsgemäß =0. Wir erhalten eine lineare Differenzengleichung für () bzw. hierfür eine einfache Umformung: () =. = 1+ = ()
10 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen 1.4 Nichtlineare Modelle (Fortsetzung) Gleichung konvergiert gegen den Fixpunkt, wenn gilt: = 1+ <1.0> > 2 Der Fixpunkt ist jedoch instabil, wenn gilt: >1
11 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Beispiel zu 1.4: Diskretes logistisches Wachstum Die Modellfunktion = () (),,>0hat die Ableitung: = 2 + Für die beiden Fixpunkte ergibt sich: =+, =,,>0 Solange bk< 2 ist der zweite Fixpunkt stabil, während der erste Fixpunkt immer instabil ist. Zur Diskussion wird die neue Variable = eingeführt, womit sich die transformierte Gleichung ergibt: = 1, 1+ Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel x=1/2, welche die x-achse bei x=0 und x=1 schneidet.
12 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Beispiel zu 1.4: Diskretes logistisches Wachstum (Fortsetzung) Das Modell hat dann ein Gleichgewicht erreicht, wenn gilt: = = 1 Hieraus ergibt sich neben der trivialen Lösung =0 die Lösung: = 1 Grafisch erhält man die Lösung als Schnittpunkt der Parabel mit der Geraden y=x. Die folgende Abbildung suggeriert, dass sich das System notwendigerweise auf den Fixpunkt zubewegt. Das ist aber nicht der Fall. Für µ=3.2 endet das System oszillierend zwischen den zwei Werten. Wenn wir jedoch nur jeden zweiten Wert betrachten, erreichen diese Folgen wiederum einen Fixpunkt. In diesem Fall müssen wir aus der Iterationsgleichung eine neue Vorschrift konstruieren, welche uns von x (n) nach x (n+2) bringt und den Zwischenschritt x (n+1) überspringt.
13 1. Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Beispiel zu 1.4: Diskretes logistisches Wachstum (Fortsetzung) Diese Doppelsprungfunktion erhält man aus, indem man = 1 in die Funktion = 1 einsetzt: = Die stationären Lösungen dieses Polynom vierten Grades ergeben sich wieder aus der Gleichung = bzw. grafisch aus dem Schnittpunkt von = mit der Geraden y=x. Die Punkte, wo eine Verdopplung auftritt, nennt man Bifurkationspunkte. Um weitere Bifurkationspunkte zu erhalten, untersucht man Viersprungoder höhere Sprungfunktionen. Oberhalb =3,8284treten Situationen ohne periodische Lösungen auf, welche als deterministisches Chaos bezeichnet werden.
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18 2. Zeitdiskrete Modell mit mehreren Variablen 2.1 Lineare Modelle Ein q-dimensionales lineares Differenzenmodell hat die algebraische Form: () = + (), =1,,. Als Matrixform, wobei Peine (q, q) Matrix und (), () qdimensionale Vektoren sind: () =+ () Formell kann man die analoge Lösung erhalten aus: () = + Die Berechnung von Potenzen von Matrizen sind jedoch äußerst kompliziert. Nur wenn die Matrix P eine diagonale Form hat, zerfällt das ursprüngliche Gleichungssystem in q disjunkte Gleichungen, welche isoliert, d.h. unabhängig voneinander gelöst werden können. Systeme mit zwei Variable sind noch gut zu bearbeiten (siehe S.183ff).
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