Übersicht Statistik für Bioinformatiker. I) Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Überscht Statst für Boformater I Wahrschelchetsrechug I. Kombator I. Bedgte Wahrschelchete ud Uabhägget I.. Defto bedgte Wahrschelchet I.. Formel vo der totale Wahrschelchet I..3 Bayes sche Formel I..4 Uabhägget I.3 Zufallsvarable I.3. Vertelug vo Zufallsvarable I.3. Uabhägget vo Zufallsvarable I.3.3 Erwartugswert eer Zufallsvarable I.3.3 Varaz, Stadardabwechug ud Kovaraz I.4 dsrete Verteluge I.4. Hypergeometrsche Vertelug I.4. Bomalvertelug I.4.3 Posso-Vertelug I.5 absolut stetge Verteluge I.5. Defto I.5. Glechvertelug I.5. Normalvertelug I.5.3 Expoetalvertelug I.6 Grezwertsätze!"!#

2 II Statst II.a Schätzer II.a. Allgemees zu Schätzer II.a. Schätzer für de Erfolgswahrschelchet II.a. Schätzer für de Erwartugswert II.a.. Stchprobemttel (emprsches Mttel X II.a.. gestutztes Mttel II.a..3 Meda II.a.3 Schätzer für de Varaz II.a.3. emprsche Varaz S(x² II.b Kofdeztervalle II.b. Allgemees zu Kofdeztervalle II.b. Fall I: lee (9 II.b. Fall II: große II.c Tests II.c. Allgemees zu Tests II.c. Estchprobefall II.c.. Test auf de Erwartugswert ; ² beat II.c.. Test auf de Erwartugswert ; ² ubeat II.c..3 Test auf de Varaz ² II.c. Zwestchprobefall II.c.. Test zum Verglech zweer Erwartugswerte ud II.c.. Test zum Verglech zweer Varaze ² ud ² II.c.3 Wetere Tests II.c.3. Test auf ee bestmmte Wahrschelchet p II.c.3. Test auf de Häufgetwahrschelchete vo r verschedee Ausgäge II.c.3.3 Test auf de Uabhägget zweer Eregsse II.d Leare Regresso II.d. Allgemees zur Leare Regresso II.d. Bestmmug der Regressosgeoeffzete ˆ β ˆ + β "!#

3 I. Kombator Gesucht: Zahl der Möglchete für ee bestmmte Zehug oder Vertelug Wahrschelchet: # güstge Fälle IP #alle Fälle ( Uremodelle Modell: Zehe Kugel aus eer Ure, de uterschedbare Kugel ethält U: mt Zurüclege ud Beachtug der Rehefolge Möglchete be jeder Zehug wrd aus der gleche Mege gezoge Nachrchte der Läge über eem Alphabet mt Zeche Würfel mt Würfel ( 6 U: ohe Zurüclege, mt Beachtug der Rehefolge! ( ( + Möglchete (!. Zehug aus Kugel,. Zehug aus -, -te Zehug aus -+ Kugel Kugel werde aufgetelt gezogee ud - cht gezogee ur be de gezogee werde verschedee Rehefolge uterschede U3: ohe Zurüclege, ohe Beachtug der Rehefolge! Möglchete!! ( häufg: Kugel werde erst gezoge, da geordet, so daß de ursprüglche Rehefolge verlore geht Lotto ( 49, 6 alle -elemetge Telmege eer -elemetge Mege U4: mt Zurüclege, ohe Beachtug der Rehefolge + Möglchete jedesmal wrd aus der gleche Mege gezoge ommt am selteste vor Bsp.: Möglchete für cht uterschedbare Spatze, sch auf Telegraphedrähte zu vertele ( als Alloatosmodelle Modell: Vertele Murmel auf verschedee Schachtel (Schublade, bestmmte Schachtel blebe leer. U: mt Mehrfachbesetzug, Murmel sd uterschedbar pro Schachtel st mehr als ee Murmel erlaubt ma a etschede, welche Murmel welcher Schachtel st U: ohe Mehrfachbesetzug, Murmel sd uterschedbar pro Schachtel st max. ee Murmel erlaubt U3: ohe Mehrfachbesetzug, Murmel sd cht uterschedbar ma a ur etschede, wevele Murmel welcher Schachtel sd U4: mt Mehrfachbesetzug, Murmel sd cht uterschedbar $"!#

4 Überscht (blau: Uremodelle, gelb: Alloatosmodelle Zehe Kugel aus eer Ure mt Kugel mt Zurüclege ohe Zurüclege Rehefolge! (! Murmel uterschedbar (z.b. umerert ohe Rehefolge + Murmel cht uterschedbar mt Mehrfachbelegug ohe Mehrfachbelegug Vertele Murmel Schachtel I. Bedgte Wahrschelchete ud Uabhägget I.. Defto bedgte Wahrschelchet A B A B B (W-et, daß A etrtt, uter der Voraussetzug, daß B egetrete st I.. Formel vo der totale Wahrschelchet Se Ω B ee Zerlegug paarwese dsjute Eregsse. (Ersetze durch, falls ur edlch vele B zerlegt wrd. Da glt: IP ( A A B B. I..3 Bayes sche Formel Se Ω B zerlegt wrd. Da glt: ee Zerlegug paarwese dsjute Eregsse. (Ersetze durch, falls B A A B B A. ur edlch vele B I..4 Uabhägget Zwe Eregsse A ud B heße uabhägg A B A B. Eregsse A,, A heße uabhägg, we für jede Auswahl A, A,, A de Produtformel glt: IP A A A A. ud < < < ( ( %"!#

5 I.3 Zufallsvarable Ee Futo X : Ω IR heßt Zufallsvarable. Zufallsvarable brge charaterstsche Größe ees Zufallsexpermets zum Ausdruc (z.b. Gew/Verlust bem Glücsspel. wchtge ZV sd Idatorvarable: ω A I A ( ω ( A Ω ω A st e Eregs, I A st Beroullvertelt, d.h. I A p, I A -p, I A x für alle x {,} der Beroull-Vertelug I.3. Vertelug vo Zufallsvarable Vertelugsfuto: F X ( x X (, x] Egeschafte vo F: : F ( x [,] x X F X st mooto wachsed lm F ( x, lm F ( x x X x Vertelug der Summe zweer uabhägger ZV X, Y: X, Y dsret vertelt mt IP ( X x p ud Y y j q j X + Y p q X X, Y absolut stetg vertelt mt Dchte f, g X +Y hat de Dchte h ( t ( f g ( t f ( t u g( u du ( Faltug I.3. Uabhägget vo Zufallsvarable X,, X heße uabhägg, we für alle Itervalle I,, I glt: { X I},,{ X I } sd uabhägg. Be dsreter Vertelug geügt Betrachtug eputger Itervalle. I.3.3 Erwartugswert eer Zufallsvarable. IE(I A A (Erwartugswert X dsret vertelt, Werte x, x, ; W-ete p, p, (p X x : IE ( X X absolut stetg vertelt mt Dchte f: IE ( X t f ( t dt IE( cx c IE( X IE ( X + Y IE( X + IE( Y X, Y uabhägg IE( X Y IE( X IE( Y p x X dsret vertelt mt Werte x, x, IE ( h( X h( x X X absolut stetg vertelt mt Dchte f ( h( X IE h( t f ( t dt Pocaré sche Formel: A A A ( x + A A {,, } {,, } Bsp.: Brefe werde zufällg auf de dazugehörge Umschläge vertelt Wahrschelchet, daß md. e Bref m rchtge Umschlag ladet. #"!#

6 I.3.3 Varaz, Stadardabwechug ud Kovaraz Varaz: Var( X V ( X IE( X IE( X V ( X IE( X X IE( pratscher: ( Stadardabwechug (Streuug σ V (X X Egeschafte der Varaz: V ( ax + b a V ( X X,, X uabhägg V X + + X V ( X + + V ( X ( Kovaraz: Cov( X, Y IE( ( X IE( X ( Y IE( Y (X, Y ZV mt edlcher Varaz pratscher: Cov( X, Y IE( XY IE( X IE( Y Cov ( X, Y X, Y uorrelert Egeschafte der Kovaraz: Cov ( X, Y Cov( Y, X Cov a X + a X, Y a Cov( X, Y + a Cov( X, ( Y Cov( X, Y σ σ X Y Korrelatosoeffzet: Je äher X, Y ρ X, Y Cov( X, Y σ σ X Y ρ be ± legt, umso besser lege de Putepaare ( ( ω, Y ( ω I.4 dsrete Verteluge X auf eer Gerade. I.4. Hypergeometrsche Vertelug Ure mt N Kugel, davo R rote ud N-R schwarze zehe -mal ohe Zurüclege das Ergebs geau r rote ud -r schwarze Kugel gezoge hat de W-et R N R ( r r IP h r;, N, R N R ZV X h( ;, N, R-vertelt IE ( X N Bsp. Sat: N 3 Karte, davo z.b. R 4 Asse, Karte regt jeder we wahrschelch st es, daß ch geau r 3 Asse auf der Had habe? Bsp. Lotto: N 49 Kugel, davo sd R 6 vo mr getppt, 6 werde gezoge we wahrschelch st es, daß geau r 4 getppte gezoge werde? Bsp.3 capture-recapture-method: N Fsche m Tech (N ubeat, davo R marerte, werde gefage, daruter r marerte. Da glt: N R r. I.4. Bomalvertelug Expermet mt zwe möglche Ausgäge ( Erfolg, Mßerfolg, p W-et für Erfolg wrd -mal (voeader uabhägg acheader ausgeführt W-et für geau Erfolge ud - Mßerfolge: IP b( p p ( p ;, ZV X b( ;, p-vertelt IE( X p, V ( X p( p Gesamtexpermet läßt sch als Bärbaum der Höhe darstelle (z.b. gehe ach ls be Erfolg, ach rechts be Mßerfolg Bsp.: -malges Zehe mt Zurüclege aus eer Ure mt N Kugel, davo R rote R p mt N welcher W-et sd uter de gezogee Kugel geau rote? Bsp.: -malger Müzwurf (p,5 mt welcher W-et geau -mal Kopf? &"!#

7 I.4.3 Posso-Vertelug Approxmato für de Bomalvertelug für lees p ud großes (trtt be seltee Eregsse auf Bsp.: Rose pro Brötche; Drucfehler pro Sete; glechzetg geführte Telefoate erhalb eer Frma j λ λ, λ j! IE (X X j e IN ZV X Posso-vertelt λ I.5 absolut stetge Verteluge I.5. Defto Ee absolut stetge Wahrschelchetsvertelug auf IR st gegebe durch IP b ([ a, b] f ( x dx mt f ( x für alle x ud f ( x dx. a f Wahrschelchetsdchte x Vertelugsfuto F( x f ( t dt [ a, b] F( b F( a I.5. Glechvertelug z.b. auf eem Itervall [ a, b] IR jeder Put aus [ a,b] Ω wrd mt der gleche W-et getroffe W-et, eem Teltervall [ c, d] Ω zu lade: [ c, d] f ( x x [ a, b] sost d c b a wetere typsche s: gaz IR oder IR Fläche (Rechtece, Krese (z.b. Dart IR I.5. Normalvertelug trtt vor allem be Zufallsvarable auf, de vo vele verschedee Eflüsse geprägt sd Approxmato für de Bomalvertelug für große (ab ca. 3, p darf cht zu le se Stadardormalvertelug N(,: F( x Φ( x e dt π Normalvertelug N(, ZV X N(, ZV X N(, -vertelt -vertelt zu de Parameter ud : IE ( X µ, Var( X σ X µ X * σ F x st N(,-vertelt t x ( t µ σ ( x e σ π I.5.3 Expoetalvertelug trtt be Eregsse auf, de über ee bestmmte Zetraum stets de gleche Wahrschelchet, ezutrete, habe Vertelug der Wartezet auf das erste Etreffe vo Eregsse we Vulaausbrüche, Flugzeugabstürze, radoatver Zerfall, Polzeotrolle, gedächtslos, d.h. IP ( X > x + x X > x X > x λ t λe t f ( t t < dt '"!#

8 I.6 Grezwertsätze X,, X uabhägg mt derselbe Vertelug we X; S X + +X Schwaches Gesetz der große Zahl S Für jedes ε > glt: IP IE( X ε. Klartext: das arthm. Mttel der Versuche overgert gege de Erwartugswert S V ( X mt Tschebyschew geauer: IP IE( X ε ε Tschebyschew-Uglechug Y ε ε V ( Z ε Verso I: Y Zufallsvarable, ε > : Y ε IE( Verso II: Z Zufallsvarable, ε > : Z µ det dem Abschätze vo W-ete häufg utzlos, wel Abschätzug > Stares Gesetz der große Zahl S X ( IE( X ω fast scher de Mege der, wo das cht stmmt, hat W-et Satz vo de Movre-Laplace X Beroull-ZV (Idatorvarable mt Erfolgsw-et p, X,, X uabh. Wederholuge S X + + X bomalvertelt: Da st S ugefähr ormalvertelt mt µ p ud σ p( p * S p S st ugefähr N(,-vertelt, ud es glt: p( p a S * b Φ( a Φ( b a p * b p Achtug: { a S b} S p( p p( p bessere Approxmato durch ±½-Korretur: Verwede ( a,5 S b +,5 IP statt a S b. Zetraler Grezwertsatz De Normalvertelug approxmert cht ur de Bomalvertelug soder jede Vertelug uabhägger detsch vertelter X. ("!#

9 II Statst a Schätzer. Allgemees zu Schätzer E Schätzer für ee Parameter eer Vertelug st ee Abbldug T:, so dass für uabhägge detsch vertelte X,...,X der aus der Beobachtug (x,...x (X (w,...x (w berechete Wert T(x,...,x als geschätzter Wert für de Parameter gelte a. Er heßt erwartugstreu, we E (T(X,...X ( Worte etwa: we der Erwartugswert über alle uabhägge Werte mt dem wrlche (zu schätzede Parameter überestmmt. ( Er heßt osstet, we P ( T(X,...X > ( Worte etwa: we de der Betrag der Dfferez zwsche dem wrlche Parameter ud seem Schätzer für sehr große quas wrd. Schätzer für de Erfolgswahrschelchet Azahl der Erfolge Azahl der Versuche p^(erfolg Schätzer für de Erfolgswt. p^ st e maxmum-lelyhood- Schätzer erwartugstreu osstet. Schätzer für de Erwartugswert ( E X. Stchprobemttel (emprsches Mttel X X x + + x X erwartugstreu osstet. gestutztes Mttel (für ach Größe geordete Werte arthmetsches Mttel der Zahle bs auf de leeste ud de größte gestutztes Mttel x + + x X robuster als das Stchprobemttel, da evtl. besoders wet vom wrlche E-wert etferte Werte wegfalle 3. Meda (für ach Größe geordete Werte mttlere Zahl Meda X m+, we m+ (ugerade Azahl a Versuche ( X m + X m+, we m (gerade Azahl a Versuche "!#

10 3. Schätzer für de Varaz.emprsche Varaz S(x S(x² ( ( ( X X S x S x - wege der Erwartugstreue b Kofdeztervalle. Allgemees zu Kofdeztervalle Da user Schätzer pˆ sogut we e mt der wrlche Wt. p überestmme wrd, wolle wr leber ee Berech Bˆ bereche, dem ma p vermute darf. Solch ee Mege et ma Kofdeztervall ud wr wolle solche Itervalle [g ute (x, g obe (x] aus der Beobachtug bereche. Mt dem Nveau - [,] lege wr fest, mt welcher Wt. Der wahre Wert p m Itervall lege soll (für Nveau % K- Itervall [,]!. Typsche Wahle Aweduge sd.5 ud... Fall I: lee (9 bomal(b(,,p-vertelte ZV Vorgeheswese:. 5% oder %?. Stchprobegröße? 3. z Azahl der Erfolge? 4. Etrag der Tabelle (Tafel 8 & 8a suche g u pz ud g o pz. Fall II: große Approxmato durch N(,-vertelte ZV p u p o ( + ( + c Tests. Allgemees zu Tests Ma macht ee Test zur Überprüfug ees Parameters auf see Rchtget. Dazu stellt ma ee Hypothese H gege ee Alteratve H auf, de da ach dem Test etweder verworfe oder halt cht verworfe werde a (z.b. dass der Erwartugswert des Gewchts eer Kuh g st dese Hypothese wrd wohl e verworfe werde. Zu testede Parameter sd u.a. Erwartugswerte, Varaze, Wahrschelchete, etc. E Test besteht aus mehrere uabhägge Durchführuge ees Zufallsexpermets. Daach wrd ee Test- oder Prüfgröße T gebldet, de mt eem (zumest aus Tabelle abgelesee Wert verglche wrd. Führt!"!#

11 de Testgröße zu eem Wert, der zu extrem ud damt zu uwahrschelch st, verwrft ma de Hypothese. Was zu uwahrschelch heßt, muß atürlch vor der Durchführug feststehe. Gebräuchlche Werte für das Nveau des Tests sd u.a. 5% ud %. Bewese oder wederlegt st ach eem Test chts; selbst, we (fast alles gege de Hypothese sprcht, a se rchtg se! Ma a daher ach Abschluß des Tests Fehler mache: H st rchtg, wrd aber verworfe Fehler.Art (gravereder H st falsch, wrd aber bebehalte Fehler.Art (cht so gravered Es wrd zusätzlch esetge Tests (etweder e zu leer oder e zu großer Wert vo T führt zur Ablehug ud zwesetge Tests (zu lee ud zu große T führe zur Ablehug uterschede.. EINSTICHPROBENFALL (X ~N(,²-vertelt, Versuchsdurchläufe Test auf de Erwartugswert ; ² beat Gauß-Test Vorgeheswese:. Erreche vo X X µ. Erreche vo T σ 3. Ablese vo N oder vo N - oder vo N / ud N -/ Auswertug: H : falls T N - / oder T N / H ablehe, asoste bebehalte Ablehugs- bzw. Aahmeberech (zum Nveau 95% [ µ,96* σ ; µ +,96 * σ ] Legt user X außerhalb deses Berechs, wrd H abgeleht H : falls T N H ablehe, asoste bebehalte H : falls T N - H ablehe, asoste bebehalte Test auf de Erwartugswert ; ² ubeat t-test Vorgeheswese:. Erreche vo X. Erreche vo S(x X µ 3. Erreche vo T S( t-vertelug mt - Frehetsgrade 4. Ablese vo t -;- / oder vo t -; oder vo t -;-!!"!#

12 Auswertug: H : falls T t -;- / H ablehe, asoste bebehalte H : falls T t -; H ablehe, asoste bebehalte H : falls T t -;- H ablehe, asoste bebehalte 3 Test auf de Varaz ² ²-Test Vorgeheswese:. Erreche vo X. Erreche vo S(x² S( x 3. Erreche vo T ( σ ²-Vertelug mt - Frehetsgrade 4. Ablese vo ² -; / ud ² -; - / oder vo ² -; oder vo ² -; - Auswertug: H : ² ² falls T ² -; / oder T ² -; - / H ablehe, asoste bebehalte H : ² ² falls T ² -; H ablehe, asoste bebehalte H : ² ² falls T ² -; - H ablehe, asoste bebehalte. ZWEISTICHPROBENFALL (X ~N( x, x ²-vertelt, Versuchsdurchläufe ud Y ~ N( y, y ²-vertelt, m Versuchsdurchläufe Test zum Verglech zweer Erwartugswerte ud Vorgeheswese:. Erreche vo X ud Y. Erreche vo r + m - 3. Erreche vo m*( + m X Y T * + m ( * S( x + ( m * S( y t-vertelug mt r Frehetsgrade 4. Ablese vo t r;-/ oder vo t r;- oder vo t r;!"!#

13 Auswertug: H : falls T tr ;- / H ablehe, asoste bebehalte H : falls T < t r; H ablehe, asoste bebehalte H : falls T > t r;- H ablehe, asoste bebehalte Test zum Verglech zweer Varaze ² ud ² F-Test Vorgeheswese:. Erreche vo X ud Y. Erreche vo S(x² ud S(y² S( x 3. Erreche vo T, wo S(x² S(y² S( y F-Vertelug mt (-,m- Frehetsgrade 4. Ablese vo F -; m-; -/ Auswertug: H : ² ² falls T F -; m-; -/ H ablehe, asoste bebehalte 3. WEITERE TESTS Test auf ee bestmmte Wahrschelchet p Bomal-Test. Bedsetger Test Vorgeheswese: Bestmmug des maxmale u ud mmale o u : u p ( p α o : o + p ( p α Auswertug: H : p p falls x < u oder x > o H ablehe, asoste bebehalte. Esetger Test Vorgeheswese: Bestmmug des maxmale u ud mmale o u : u p p ( α bzw. o : o + p ( p α!$"!#

14 Auswertug: H : p p falls x < u H ablehe, asoste bebehalte H : p p falls x > o H ablehe, asoste bebehalte Test auf Häufgetwahrschelchete vo r verschedee Ausgäge ²-Häufgetstest Multomalvertelug [,r] möglcher Ausgag des Expermets (mt r verschedee Ausgäge h beobachtete Häufget des Ausgags p ( geschätzte Wahrschelchet für de Ausgag Vorgeheswese:. Werte H ud p ( otere. Erreche vo T r ( ( H p ( 3. Ablese vo ² r-; - ( Auswertug: H : p p (de geschätzte Ezelwt. stmme falls T ² r-; - H ablehe, asoste bebehalte 3 Test auf de Uabhägget zweer Eregsse A ud B ²-Uabhäggetstest a,b,c,d beobachtete Häufget der Ausgäge (AB,(A c B,(AB c ud (A c B c Vorgeheswese:. Verfeldertafel aufstelle ud ausfülle (ach folgedem Schema A A c B a b a+b B c c d c + d p a+c b+d a+b+c+d *( ad bc. Erreche vo T ( a + b*( c + d*( a + c*( b + d 3. Ablese vo ² ; - Auswertug: H : A ud B sd uabhägg falls T ² ; - H ablehe, asoste bebehalte!%"!#

15 d Leare Regresso. Allgemees zur Leare Regresso De (z.b. be eem Versuch erhobee Werte haftet mmer e Meßfehler zufällger Größe a. Daher wrd sch ee edeutge Gerade (her werde ur leare Bezehuge betrachtet ergebe, we ma de Pute m Graphe efach verbde würde. Um u de Gerade zu erhalte, de möglchst gut durch de erhaltee Putwole führt, bestmme wr de (emprsche Regressosgerade Y ˆ β ˆ + βx ud dazu de (emprsche Regressosgeoeffzete ˆ β ˆ + β.. Bestmmug der Regressosgeoeffzete ˆ β ˆ + β X ud Y sd zwe zueadergehörge, gemessee Werte (ud detfzere m Graphe zusamme ee Put P (X,X, P (X,Y, etc. Vorgeheswese:. Erreche vo X ud Y. Erreche vo XY X Y 3. Erreche vo XX X Auswertug: ˆ β ˆ β X Y β ˆ XY X * Y XX X * Y!#"!#

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