Die dynamische Verfahren der Investitionsrechnung

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1 Die dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 1. Die Grundlagen (Buch S. 85) 2. Die Kapitalwertmethode (Buch S. 116) (Berechnung der Summe des Barwertes) Beispiel : In t 0 t 1 t 2 t 3 Investitionsobjekt I (Trekking-Rad) Investitionssumme Umsatzerlöse Laufende Ausgaben Summe Investitionsobjekt II (Rennrad) Investitionssumme Umsatzerlöse Laufende Ausgaben Summe Investitionsobjekt I (Mountain-Bike) Investitionssumme Umsatzerlöse Laufende Ausgaben Projekt I: Summe Zeitstrahl (erst am Ende der III Periode) (1 Jahr anlegen á 10 %)+ (1,10) (2 Jahre anlegen á 10 %) (1,10) = (Barwert-Summe) (1,10) 3 = ( ) = ( ) 1.331(Summe der Verbind) = ( Kapitalwert von 324 in t = 0) Gewinn = ,75131 = 324 (1,10) -3 oder 324 1,331 Kapitalwert = Summe aller Barwerte abgezinst auf Zeitpunkt 0 Seite 1 von 19

2 Gegenrechnung : Zeitstrahl ( 1,10) = ( 1,10) = ( 1,10) = oder 243 (1,10) 3 = 243 1,331 Abzinsung Ermittlung des Kapitalwertes mit zur Hilfenahme der Abzinsung Projekt I: Zeitstrahl , , , Summe des Barwertes Kredit Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 Projekt I Kapitalwert Co = , , ,75131 Co = Co = Seite 2 von 19

3 Projekt II (Ermittlung des Kapitalwertes mittels Abzinsung) Zeitstrahl , = Summe des Barwertes 500 0, , Kredit Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 Projekt II Kapitalwert Co = , , ,75131 Co = Co = Projekt III (Ermittlung des Kapitalwertes mittels Abzinsung) Zeitstrahl , = Summe des Barwertes 900 0, , Kredit Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 Projekt III Kapitalwert Co = , , ,75131 Co = Co = Seite 3 von 19

4 Entscheidung: Projekte III / II / I haben Gewinne erzielt Entscheidung positiv für alle 3 Projekte Aber: da Projekt III > als Projekt I und Projekt I > als Projekt II fällt die Entscheidung auf Projekt III (da lukrativer) Allgemeine Darstellung C o = Summe der Barwerte n C o = Σ Z t (1 + i ) -t t=0 oder: n Z t C o = Σ = t=0 (1 + i ) t n E t A t C o = Σ t=0 (1 + i ) t (1 + i ) t C o = Z 0 (1 + i ) 0 Zeit 0 + Z 1 (1 + i ) 1 Zeit 1 + Z 2 (1 + i ) 2 Zeit 2 + Z 3 (1 + i ) 3 Zeit 3 C o = Kapitalwert der Investitionen E t = Einzahlungen der Periode t A t = Auszahlungen der Periode t A 0 = Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0 Z t = Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Z t > 0 bzw. Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Z t < 0 Ln = Liquidationserlös, falls L n > 0 Ln = Liquidationsauszahlung, falls L n < 0 i = Kalkulationszinssatz n = Nutzungsdauer des Investitionsobjekts (Laufzeit) t = Periode (t=0, 1, 2,..., n) Zeitindex C o = (1 + 0,10) 0 Zeit 0 = (1 + 0,10) 1 Zeit 1 = (1 + 0,10 ) 2 Zeit 2 = (1 + 0,10 ) 3 Zeit 3 = C o = = Leicht variable Formeldarstellung n C o = A 0 + Σ Z t (1 + i ) -t t=1 Investitions- Summe Summe der abgezinsten Einzahlungsüberschüssen (= Cashflow) n Z t L t C o = A 0 + Σ + t=0 (1 + i ) t (1 + i ) t Formel mit Liquidationserlösen C o = C o = Seite 4 von 19

5 Kurze Definition des Kapitalwerts: C o = Vermögenszuwachs bei Durchführung des Investitionsvorhabens für den Investor über Tilgung und Verzinsung der Investitionssumme A o (= Anschaffungsauszahlung ) hinaus. (Buch Seite 117) Prämisse: Um zu gewährleisten, dass die Kapitalwertmethode zu einem Ergebnis führt, das der monetären Zielsetzung eines Investors entspricht, müssen folgende Prämissen erfüllt sein: 1. Zum Zeitpunkt der Entscheidung: Kenntnis über die Nutzungsdauer 2. in der Zukunft verursachten Ein- und Auszahlungen sind zu ermitteln und der Investition zuzurechnen 3. Alle Ein- und Auszahlungen fallen am Ende jeder einzelnen Periode an t1, t2,...tn die Anschaffungsauszahlung fällt am Ende der Periode tn an 4. Es ein vollkommener und für den Investor unbeschränkter Kapitalmarkt vor 5. Erwirtschaftete Einzahlungsüberschüsse können jederzeit zur Kredittilgung verwendet werden (Zinsersparnissen in Höhe des Kalkulationszinssatzes) Sie können aber auch zum gleichen Zinssatz (Bankguthaben) wieder angelegt werden (Wiederanlageprämisse) Rechentechnische Vereinfachung bei Renten, bei Konstanten EZÜ (= Einzahlungsüberschuss) Buch S. 119 Beispiel Projekt I: C o = , , ,75131 C o = (0, , ,75131) C o = ,4869 RBF = Rentenbarwertfaktor Formel des Rentenbarwertfaktors C o = A 0 + Z (1 + i) n 1 i (1 + i) n (1 +0,10) 3 1 C o = = , ,10 (1 + 0,10) 3 Kapitalwertformel kann vereinfacht dargestellt werden, wenn die Einzahlungsüberschüsse Z t für alle Perioden t = 1, 2,..., n gleich hoch sind. In dem Fall: Z t = Z Kapitalwert der unendlichen (ewigen) Rente Z C o = A 0 + i 500 C o = = ,10 Kritik: Gefahr des Vergleichs unvollständiger Alternativen. Problem der expliziten Berücksichtigung von Anschlussinvestitionen und Ergänzungsinvestitionen. Bewältigung durch Wiederanlageprämisse Seite 5 von 19

6 2. Die Annuitätenmethode Buch S. 120 G n = Annuität G n = Co KWF n i 0 bei Zinssatz = 10 % ) Zeitstrahl , , , Summe des Barwerts Abzinsung auf Zeitpunkt Kredit = Co Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 = Kapitalwertmethode ( Annuitätenmethode mit dem Kapitalwert KWF = Kapitalwiedergewinnungsfaktor ( 0,4021 ) Zeitstrahl 243 KWF oder 243 RBF (243 0,4021) = (243 0,4021) = 98 (243 0,4021) = 98 (243 2,4869) = (243 2,486921) = 98 (243 2,4869) = 98 Projekt III Berechnung nach Annuitätenmethode Annuitätenmethode mit dem Kapitalwert KWF = Kapitalwiedergewinnungsfaktor ( 0,4021 ) Zeitstrahl 313 KWF oder 313 RBF (313 0,4021) = (313 0,4021) = 126 (313 0,4021) = 126 (313 2,4869) = (313 2,486921) = 126 (313 2,4869) = 126 Projekt III > I Projekt I > als 0 Seite 6 von 19

7 Allgemeine Darstellung G n = Co KWF n i Variante der Co-Methode (Vorsicht beim Vergleich zweier Projekte mit unterschiedlichen Laufzeiten) Prämisse der Annuitätenmethode Ebenso wie bei der Kapitalwertmethode wird auch hinsichtlich der Annuitätenmethode ein vollkommener und für den Investor unbeschränkter Kapitalmarkt unterstellt. Des Weiteren gilt die Wiederanlageprämisse. Endliche Rente L n G n = Z A 0 (1 + i) n KWF kein Liquidationserlös G n = Z A 0 KWF Unendliche Rente G n = Z A 0 i Kritik: Die Annuitätenmethode stellt nur eine Modifikation der Kapitalwertmethode dar und ist auf den gleichen Prämissen basiert. Ergo: gleiche Kritikpunkte. Projekt I 0 bei Zinssatz = 25 % ) Zeitstrahl , , , , Summe des Barwerts Abzinsung auf Zeitpunkt Kredit 24 = Co Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 = Kapitalwertmethode ( Seite 7 von 19

8 Projekt III 0 bei Zinssatz = 25 % ) Zeitstrahl , , , , Summe des Barwerts Abzinsung auf Zeitpunkt Kredit 192 = Co Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 = Kapitalwertmethode ( 3. Methode des internen Zinsfußes Buch S. 124 Eine einfache Annäherung Beispiel Projekt I: Je niedriger der Kredit-Zinssatz, desto höher die Rendite) Co (Kapitalwert ) C o 0 (500) bei Zinssatz = 0 % Lineare Interpolation zu Bestimmung des internen Zinsfußes bei 10 % C o 1 (243) 0,236 > 0,10 ist also positiv ( + ) C 1 o = C o C o erste Näherungslösung 243 ( 24) = 267 r^ Ca. 23,6 % interner Zinsfuß = Nullstelle bei 25 % C o 2 (- 24) 0 0,10 0,20 0,25 (Zinssatz) i i 2 i 1 ( 0,25 0,10) = 0,15 Seite 8 von 19

9 n C o = A 0 + Σ Z t (1 + i ) -t t=1 n C o = A 0 + Σ Z t (1 + r ) -t t=1 0 (nicht Co) = (1 + r ) -1 0 (nicht Co) = (1 + r ) -2 0 (nicht Co) = (1 + r ) -3 Wie hoch ist r? Formel nach r auflösen Näherungsverfahren (lineare Interpolation) Projekt I: (1) Co (bei 0,10 %) = (2) Co (bei 0,25 %) = 24 C o = Kapitalwert der Investitionen E t = Einzahlungen der Periode t A t = Auszahlungen der Periode t A 0 = Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0 Z t = Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Z t > 0 bzw. Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Z t < 0 Ln = Liquidationserlös, falls L n > 0 Ln = Liquidationsauszahlung, falls L n < 0 i = Kalkulationszinssatz n = Nutzungsdauer des Investitionsobjekts (Laufzeit) t = Periode (t=0, 1, 2,..., n) Zeitindex r = interner Zinsfuß / Rendite / Rentabilität (3) r = i 1 Co 1 r = 0, i 2 i 1 Co 2 Co 1 0,25 0, r = 0, , r = 0, ( 0, ) ( = +) r = 0,10 + 0, r = 0, ,64 % Seite 9 von 19

10 Projekt III: (1) Co (bei 0,10 %) = (2) Co (bei 0,25 %) = 192 (3) r = i 1 Co 1 r = 0, i 2 i 1 Co 2 Co 1 0,25 0, r = 0, , r = 0, ( 0, ) ( = +) r = 0,10 + 0, r = 0, ,30 % Projekt 1 mit 10 % (r = 23,64) ist besser als Projekt III mit 25 % (r = 19,30) Positive Entscheidung für das Projekt I (I > III) Zwar ist die Rendite beim Trecking Rad höher ( 23,64 > 19,30), der Gewinn ist allerdings beim Mountain Bike höher (313 > 243) Co (Kapitalwert ) C o 0 (933) bei Zinssatz = 0 % Lineare Interpolation zu Bestimmung des internen Zinsfußes bei 10 % C o 1 (313) 0,236 > 0,10 ist also positiv ( + ) C 1 o = C o C o erste Näherungslösung 313 ( 192) = 505 r^ Ca. 19,3 % interner Zinsfuß = Nullstelle 0 0,10 0,20 0,25 (Zinssatz) i bei 25 % C o 2 (- 192) i 2 i 1 ( 0,25 0,10) = 0,15 Seite 10 von 19

11 Allgemeine Darstellung Kritischer Zinssatz, bei dem der Kapitalwert gleich 0 wird (Co = 0) Effektivverzinsung (dynamisch berechnet) des jeweils gebundenen Kapitals (Dynamische) Gesamtkapitalrentabilität In jedem Fall Vergleich mit i ist notwendig (wenn r > als i dann: positive Entscheidung ) Projekt I: Ist r > i? 23,64 % > 10 % Die Investition ist lohnenswert. Projekt III: Ist r > i? 19,30 % > 10 % Die Investition ist ebenfalls lohnenswert. Endliche Rente: Berechnung ohne Liquidationserlös C 0 = A 0 + Z (1 + r) n 1 r (1 + r) n Da für den internen Zinssatz definitionsgemäß Co = 0 ist, gilt auch: A0 (1 + r) n 1 = Z r (1 + r) n unendliche Rente: C 0 = A 0 + Z r Auflösung nach r : r = Z A 0 Kritik: - Unlogisch erscheinende Struktur : widersprüchliche Wiederanlageprämisse - führ nicht immer zu einem eindeutigen Ergebnis (Zahlungsreihen mit mehr als einem internen Zinsfuß oder gar keinen internen Zinsfuß) Seite 11 von 19

12 Die dynamische Amortisationsrechnung Buch S. 132 Da die Berechnung der Amortisationsdauer unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins erfolgt, wird nach dem Zeitraum gesucht, in dem der Barwert der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungszahlung deckt. Für diesen mit der Periode w endenden Zeitraum gilt folgende Gleichung w A 0 = Σ Z t (1 + i) -t t=1 Projekt I: t Jahr ,909 = 455 Σ Ansatz nach zwei Jahren 1. Ansatz nach drei Jahr ,8264 = 413 Σ ,75131 = 376 Σ Amortisationsdauer von Projekt I: 3 Jahre nach 1. Ansatz 132 (2.Ansatz ) = 2 + = 2,35 Jahre nach dem 2. Ansatz 375 (132 2.Ansatz Ansatz) Projekt III: t Jahr ,909 = 818 Σ Ansatz nach zwei Jahren 1. Ansatz nach drei Jahr ,8264 = 744 Σ ,75131 = 751 Σ Amortisationsdauer von Projekt III: 3 Jahre nach 1. Ansatz 438 (2.Ansatz ) = 2 + = 2,58 Jahre nach dem (438 2.Ansatz Ansatz) Seite 12 von 19

13 Allgemeine Darstellung Auflösung des Kapitalwertes (der Co-Formel) nach Laufzeit, bei der die Investitionssumme ( - A0) durch abgezinste Einzahlungsüberschüsse ausgeglichen wird. Reines Risikokriterium ( Zusatzkriterium! ) Endliche Rente: Berechnung ohne Liquidationserlös Co = - Ao + Z (1 + i) n 1 i (1 + i) n Kritik: S. 135 Von ihrer Ausprägung her kann die dynamische Amortisationsrechnung als die finanzmathematische Variante der statischen, mehrperiodigen Kumulationsmethode interpretiert werden. Zusammenfassung und Einordnung der Methoden. S. 136 Investition Statisch Dynamisch (1) Kostenvergleichrechnung (1) Kapitalwertmethode (absoluter Wertzuwachs) (King-Methode) (2) Gewinnvergleichsrechnung (2) Annuitätenmethode (3) Rentabilitätsvergleichsrechnung (3) Interner Zinsfußmethode (4) Amortisationsvergleichsrechnung (4) Amortisationsrechnung Ersatzmethoden Kapitalwertrate (KWR) Projekte: Co 243 I KWR = = = 0,243 Ao Co 313 III KWR = = = 0,167 Ao Seite 13 von 19

14 Anwendung der Investitionsrechnung Erfolg Risiko Absolutverfahren Relativverfahren - Statisch + Dynamische Anwendungsdauer - Kostenvergleichs- - Rentabilitätsvergleichs- - Korrekturverfahren + Sensitivitätsanalyse rechnung rechnung (Methode) (bei der Berechnung nicht nur 500 sondern 100,200,300,400,600,700,800 berechnen) - Gewinnvergleichs- - Interner Zinsfußmethode rechnung - KWR (Kapitalwertrate) - Kapitalwertmethode - Annuitätsmethode III > I Keine Finanzrestriktionen gegeben dieses Verfahren wird gewählt wenn es den Unternehmen gut geht I > III Finanzrestriktionen gegeben dieses Verfahren wird gewählt wenn es den Unternehmen nicht so gut geht Hauptunterscheidungslinie Seite 14 von 19

15 Aufgabe 20 Maschine A Maschine B Maschine C Anschaffungskosten ( ) Nutzungsdauer Maximale Kapazität (ME/Jahr) Sonstige fixe Kosten ( /Jahr) 2 % der AK 3 % der AK 1 % der AK Löhne und Lohnnebenkosten 2,60 1,90 1,50 ( /ME) Materialkosten ( /ME) 1,50 1,30 1,20 Variable 6 4,5 4 Energiekosten ( /ME) Kosten 1,00 0,80 0,80 Sonstige Kosten ( /ME) 0,90 0,50 0,50 Die Abschreibung erfolgt linear, die kalkulatorischen Zinsen betragen 10 %. f) Gehen Sie von den Daten der Teilaufgabe e) aus. Bestimmen Sie die Rentabilität unter der Voraussetzung, dass die Maschinen vollständig mit Eigenkapital finanziert werden. Wie verändert sich die Rentabilität, wenn nur Eigenkapital zur Verfügung stehen und die Restbeträge mit Fremdkapital finanziert werden, für das 8 % Zinsen zu zahlen sind? A B C Gewinn bei Stück Kalkulatorische Zinsen (Zinsen werden draufgerechnet weil 100 % EK) siehe Aufgabe a) 10% bei hälftiger Mittelbindung Korrigierter Gewinn Rentabilität 51 % 42,3 % 33 % (Gewinn hälftige Anschaffungskosten?) A B C Gewinn bei Stück Kalkulatorische Zinsen (Zinsen werden draufgerechnet weil 100 % EK) siehe Aufgabe a) 10% bei hälftiger Mittelbindung Korrigierter Gewinn Rentabilität 71 % 60,7 % 48 % (Gewinn hälftige Anschaffungskosten?) Seite 15 von 19

16 g) Bestimmen Sie die Amortisationsdauer der einzelnen Maschinen bei einem Absatz von ME/Jahr! Rückflüsse bei Stück A B C Gewinn bei Stück Kalkulatorische Zinsen (Zinsen werden draufgerechnet weil 100 % EK) siehe Aufgabe a) 10% bei hälftiger Mittelbindung + Abschreibungen (Anschaffungskosten Nutzungsdauer) Rückflüsse (Cashflow Amortisationszeit 2,63 Jahre 2,97 Jahre 3,45 Jahre (Anschaffungskosten Rückflüsse) Aufgabe 30 Ein Pächter muss jeweils am Jahresende Pacht zahlen. Was halten Sie von dem Vorschlag, statt dessen für die zehnjährige Pachtzeit heute schon zu zahlen, wenn sein Kalkulationszinsfuß bei 8 % und der des Verpächters a) bei 10 %; b) bei 6 % liegt? Berechnung des Barwerts mit Zuhilfenahme der Abzinsung Berechnung des Barwerts = RBF 8% (Kalkulationsfuß des Pächters) 10 Jahre Barwert = ,72 (0, , , , , , , , , ,46319) Für den Pächter ist es besser jetzt schon die zu entrichten weil < a) Berechnung des Barwerts = RBF 10% (Kalkulationsfuß des Verpächters) 10 Jahre 6,14 (0,909+0, , , , , , , , ,38554) Barwert = Für den Verpächter ist es besser jetzt schon die zu bekommen weil < Seite 16 von 19

17 b) Berechnung des Barwerts = RBF 6% (Kalkulationsfuß des Verpächters) 10 Jahre 7,36 = 0, ,8900+0, , , , , , ,0, ,55839 Barwert = Für den Verpächter ist es besser jetzt auf die zu verzichten, weil er nach 10 Jahren (abgezinst auf das Jahr 0) in Aussicht hat > Für den Verpächter lohnt das Geschäft mit der 10 % Verzinsung. Aus der Sicht des Verpächters Aufgabe a) t ca (1,1) 10 = ca oder 2, ca t (1,1) 10 = ca ,59 Seite 17 von 19

18 Aufgabe 31 Wonach richtet sich die Höhe des Kalkulationszinsfußes? Geben Sie fünf verschiedene Beispiele zur Ermittlung dieses Prozentsatzes an! Alternativanlage FK Kosten Wiederanlage der Zinsen Messlatte Mischung EK/FK Satz Aufgabe 32 Berechnen Sie an folgenden Beispiel den kapitalwert einer Investition und erläutern Sie den Zusammenhang der einzelnen Bestandteile in allgemeiner Form (Formeln!) Anschaffungsauszahlung: Ao = Laufende Einzahlungen: E 1 = E 2 = E 3 = E 4 = Laufende Auszahlungen: E 1 = A 2 = 500 A 3 = 300 Liquidationsbruttoerlös im Zeitpunkt 4: E L4 = Auszahlungen auf den Liquidationserlös: A L4 = 500 Kalkulationszinsfuß: 6 % und 8 % a) Bei welchem Kalkulationszinsfuß wird der Investor das Investitionsobjekt mit einer Anschaffungsauszahlung von erwerben und wie groß ist in diesem Fall der Barwert seines Vorteils (Kapitalwert)? Berechnung mit 6 % Co = (E 1 - A 1 ) 1, (E 2 A 2 ) 1, (E 3 A 3 ) 1, (E 4 + E L4 A L4 ) 1,06-4 Co = ( ) 1, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 1,06-4 Co = , , , ,06-4 Co = , , , ,79209 Co = , , ,59 Co = ,74 Co = ,74 Berechnung mit 8 % Co = , , , ,08-4 Co = , , , ,73503 Co = , , , ,70 Co = ,08 Co = ,08 Der Investor entscheidet sich für die 6 % Zinsen, da sein Barwert in diesem Fall höher. Seite 18 von 19

19 b) Kommt eine Einigung über den Eigentumsübergang zustande, wenn der Verkäufer mit einem Kalkulationszinsfuß von 6 % und der Käufer mit einem Kalkulationszinsfuß von 8 % rechnet? Wie ist die Lage, wenn der Verkäufer mit einem Kalkulationszinsfuß von 8 % und der Käufer mit einem Kalkulationszinsfuß von 6 % rechnet? Verkäufer: Kalkulationszinsfuß = 6 % Co = ,2625 = Investor: Kalkulationszinsfuß = 8 % Co = , , , ,73503 Co = ,08 Verkäufer: Kalkulationszinsfuß = 8% Co = ,1,3605 = Investor: Kalkulationszinsfuß = 6 % Co = , , , ,79209 Co = ,74 Aufgabe 33 Der Verkaufsleiter einer AG schlägt die Einführung eines neuen Produktes vor. Marktforschungen haben ergeben, dass das Produkt 6 Jahre lang erfolgreich angeboten werden kann. Die Absatzmenge wird bei einem Preis von 7 /Stück auf Stück/Jahr geschätzt. Zur Herstellung des Produktes muss eine neue Maschine angeschafft werden. Ihre Anschaffungskosten betragen Die Kostenrechnung hat durch eine Vorkalkulation für das Produkt variable Stückkosten von 4 /Stück ermittelt. Die Gesellschaft beurteilt die Vorteilhaftigkeit von Investitionsobjekten mit Hilfe der Kapitalwertmethode. Sie rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von 10 %, da zu diesem Zinssatz Geld am Kapitalmarkt aufgenommen werden kann. a) Bestimmen Sie die durch die Investition verursachten Ein- und Auszahlungen! Deckungsbeitrag 4,355 6 Jahre Co = ( 7 4 ) RBF 10 % Co = ,3553 Co = Co = b) Wird der Verkaufsleiter seinen Vorschlag durchsetzen können? Der Verkaufsleiter wird seinen Vorschlag durchsetzen, da > als 0. Seite 19 von 19

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