Ich kenne die Begriffe Zuordnung und Funktion. Ich kann an Beispielen erklären, ob und warum eine Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.

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1 Mathematik 8a Vorbereitung zu Arbeit Nr. 4 - Lineare Funktionen am..07 Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne die Begriffe Zuordnung und Funktion. Ich kann an Beispielen erklären, ob und warum eine Zuordnung eine Funktion ist oder nicht. hier finde ich Information S. 80, ÜW a kann ich muss ich üben Ich kann am Graphen einer Zuordnung erkennen, ob eine Funktion vorliegt, und dies begründen. S.80, ÜW b Ich kann zu einer beliebigen Funktion, deren Funktionsterm gegeben ist (z. B. f() = ² 4 ), eine Wertetabelle aufstellen und damit einen Funktionsgraphen zeichnen. Regelheft, ÜW c Ich kann im Sachzusammenhang entscheiden, ob eine Zuordnung wachsend, fallend, proportional, antiproportional oder linear ist, und dies begründen. ( Jedesto -Sätze, dem Doppelten wird die Hälfte zugeordnet usw.) Regelheft. ÜW Ich kann an einer Wertetabelle erkennen, ob eine proportionale, antiproportionale oder eine lineare Funktion vorliegt. Dazu prüfe ich auf Quotientengleichheit, Produktgleichheit bzw. ob sich bei gleicher Änderung der. Größe auch die. Größe gleich ändert. S. 76 Regelheft Ich kann die Proportionalitätskonstante (bei proportionalen) bzw. die Gesamtgröße (bei antiproportionalen) Zuordnungen berechnen und damit eine Funktionsgleichung aufstellen. S 79 Ich kenne die Definition der linearen Funktionen, weiß, dass ihre Graphen Geraden sind und kann sie als parallel zur Ordinate verschobene Graphen proportionaler Funktionen beschreiben. Ich erkenne proportionale Funktionen als Spezialfall mit b = 0. S. 84 und S. 8 ÜW e) Ich kenne die Begriffe Steigung und Ordinatenachsenabschnitt und kann sie aus der Funktionsgleichung einer linearen Funktion ablesen. S. 84 ÜW d) Ich kann den Graphen einer linearen Funktion schnell zeichnen, indem ich den Ordinatenachsenschnittpunkt einzeichne und von ihm ausgehend ein geeignetes Steigungsdreiecke einzeichne (Punkte gut einzuzeichnen, groß genug, Steigung am besten als Bruch schreiben). Regelheft ÜW c) ÜW g) Ich kann aus einer in einem Koordinatensstem gegebenen Gerade Ordinatenachsenabschnitt und Steigung ablesen und damit die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu zeichne ich möglichst geeignete Steigungsdreiecke (Punkte gut einzuzeichnen, groß genug) ein. Regelheft ÜW f) Ich kann, wenn zwei Punkte oder Wertepaare gegeben sind (oder von einer Geraden abgelesen werden können), Steigung und Ordinatenachsenabschnitt berechnen. ULF B Ich kann zu linearen, proportionalen und antiproportionalen Funktionen eine Punktprobe ausführen bzw. prüfen, ob ein Wertepaar dazu gehört. ULF A S.87 Ich kann bei linearen, proportionalen und antiproportionalen Funktionen den zugeordneten Funktionswert ausrechnen bzw. die Ordinate bei gegebener Abszisse ausrechnen ( einsetzen ). ULF A Ich kann auch umgekehrt bei linearen, proportionalen und antiproportionalen Funktionen die Abszisse bei gegebener Ordinate ausrechnen ( einsetzen, Gleichung nach auflösen ). ULF A Ich kenne den Begriff der Nullstelle einer Funktion und kann Nullstellen linearer Funktionen berechnen. ULF A. S. 86

2 Ich kann die Schnittpunkte des Graphen einer linearen Funktion mit den Koordinatenachsen berechnen und verstehe den Unterschied zu den Begriffen Nullstelle und Achsenabschnitt (Punkte haben Koordinaten, das andere sind Zahlen!) Ich kann in Sachzusammenhängen (insb. Strom-, Gas-, Handtarife, Taifahrten, Bewegungen) lineare Funktionsgleichungen aufstellen und erkenne die Bedeutung von Steigung ( Preis pro km, Geschwindigkeit ) und Ordinatenachsenabschnitt ( Festkosten, Startort ). Ich nutze die Verfahren zum Umgang mit linearen Funktionen, um in solchen Sachanwendungen Fragen zu beantworten und Probleme zu lösen. ÜW h) Regelheft ULF A S S Seitenangaben beziehen sich auf das Lehrbuch Delta 8. ULF meint das Informationsblatt Zum Umgang mit (linearen) Funktionen. ÜW bezieht sich auf das vierseitige Übungs- und Wiederholungsblatt, das hier (mit Antworten) dabei ist. Eine gute Übersicht zu dem Thema findest du Auf einen Blick auf der Seite 04. Schaue in dein Regelheft und nutze das Informationsblatt Zum Umgang mit (linearen) Funktionen! Ich empfehle die folgende Übungsmöglichkeiten: das mitgelieferte Wiederholungsprogramm und / oder den Abschnitt.0 Das kann ich Seiten 0-0 (Lösungen S. 0f.). Auch die Vermischten Aufgaben auf den Seiten lohnen sich. Zum Abschluss oder als Generalprobe den Vortest. Die Lösung des Wiederholungsprogramms, des Vortests und der Vermischten Aufgaben findest du wie gewohnt auf Und gerne darfst du mir auch per fragen stellen: vh.aesmtk@t-online.de Wichtige Information zur Verwendung des CAS-Rechners während der Klassenarbeit: Du darfst ihn während der ganzen Arbeit benutzen, wir stellen ihn aber in den abgesicherten Prüfungsmodus. Nur bei den Sachaufgaben, wenn es ausdrücklich dabei steht, darfst du den Rechner so viel einsetzen, wie du willst. Eine Beschreibung des Lösungsweges oder z.b. deines Vorgehens muss aber im Arbeitsheft stehen! Die anderen Aufgaben werden so gestellt, dass du die Berechnungen schneller im Kopf durchführen kannst als sie einzutippen. Da du bei allen Aufgaben den Lösungsweg mit angeben musst, solltest du SOLVE oder die Ablesefunktionen im Graphs hier nur zur Kontrolle benutzen. Viel Erfolg bei der Vorbereitung! A. von der Heden

3 Mathematik Kl. 8 Übungen und Wiederholung zu Linearen Funktionen..0 I. Fragen, Regeln Aufgabe : Nimm dein Lehrbuch, dein Schulheft und dein Regelheft zur Hilfe, um die folgenden Fragen zu beantworten: a) Was ist der Unterschied zwischen den Begriffen Zuordnung und Funktion? b) Wie kannst du am Graphen einer Zuordnung erkennen, ob es sich um eine Funktion handelt? (siehe Aufgabe ) c) Wie muss man vorgehen, um den Graphen einer nichtlinearen Funktion wie f() = zu zeichnen? Warum ist dieses (mühsame) Verfahren bei linearen Funktionen nicht nötig? d) Mit welchen Begriffen bezeichnet man die Zahlen m und b in der Funktionsvorschrift m + b einer linearen Funktion? Welche anschaulichen Bedeutungen haben diese Zahlen? Erläutere am Graphen der Funktion. e) Wie ist der -Achsenabschnitt einer (jeden) proportionalen Funktion? f) Wie kann man aus dem Graphen die Steigung ablesen? (Hier gibt es mehrere Möglichkeiten welche ist die genaueste, welche die einfachste?) (siehe Aufgabe 6)

4 p g) Wie kann man, wenn die Steigung als Bruch m = gegeben ist, (schnell) vom Schnittpunkt q mit der -Achse aus einen zweiten Punkt des Graphen finden? h) Was versteht man unter Nullstellen einer Funktion? Was ist er Unterschied zum Begriff Schnittpunkt mit der -Achse? II. Aufgaben zum Umgang mit Zuordnungen und Funktionen Aufgabe : Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Funktion, welche nicht? Begründe! f: einer rationalen Zahl wird ihr Berag zugeordnet g: einer reellen Zahl werden alle Zahlen zugeordnet, die den gleichen Betrag haben u: Volumen eines Quaders Länge der längsten Kante v: Volumen eines Würfels Kantenlänge h: Zahl die Hälfte des Kehrwertes der Zahl Aufgabe :

5 III. Graphen von Funktionen Aufgabe 4: Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen. Überlege dir vorher, welches Verfahren zum Zeichnen das einfachste ist. Überlege dir vor dem Zeichnen eine sinnvolle Einteilung der Achsen. a) f() = b) f ( ) = + c) f() =, 0, d) f() = e) f() = f) f() = 0, g) f() = 4 h) f() = 0,,8 Aufgabe : Welche der abgebildeten Graphen gehören zu linearen Funktionen? Gib (nur) für diese jeweils eine Funktionsvorschrift an! a) b) c) h) d) g) e) f)

6 Zur Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung: Formel: Sind zwei Punkte P( ) und Q( ) auf dem Graphen einer linearen Funktion = m + n (einer Geraden) gegeben, wobei nicht = sein darf, dann gilt für die Steigung: m = für den -Achsenabschnitt: b = m Aufgabe 6: Bestimme jeweils (wenn möglich!) die Funktionsgleichung: f) P( ) ; Q(4 7) IV. a) P( 4) ; Q( 6) g) P( ) ; Q( ) h) P(4 ) ; Q(,8) i) P(0 ) ; Q( ) j) P( 4) ; Q( ) IV. Gleichungen, Anwendung b) P( 4 7) ; Q( 7) c) P( ) ; Q( ) d) P( ) ; Q( ) e) P(, 0,4) ; Q(,,) Aufgabe 7: a) Bestimme rechnerisch die Nullstellen der Funktionen 4 f ( ) = g( ) = 6 h ( ) =,, 4 b) Bestimme jeweils die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen i) f ( ) = ( ) + 4 ii) Der Graph von g verläuft durch die Punkte P( ) und Q( ) Aufgabe 8: Die lineare Funktion f ist durch die Zuordnungsvorschrift f : gegeben. a) Wie ist der zugeordnete Funktionswert an der Stelle = 6 [ = ]? b) An welcher Stelle nimmt die Funktion den Funktionswert 8 [ 4 ;,] an? c) Ergänze die fehlende Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen liegen: A( ) ; B( 4) ; C(0 ) ; D( 6) Aufgabe 9: Ein Lkw fährt gleichförmig mit 80 km/h auf einem Highwa von New York nach Los Angeles. Um Mitternacht ist er noch 600 km von Los Angeles entfernt. a) Gib eine Funktionsgleichung der folgenden Zuordnung an und stelle sie in einem Diagramm dar: Entfernung bis Los Angeles (in km) Zeit (in h) Löse die beiden folgenden Aufgaben durch Ablesen aus den Diagramm und rechnerisch: b) Um welche Uhrzeit ist/war der Lkw 00 km [900 km ; 0 km] von Los Angeles entfernt? c) Wie weit ist/war er um 7 Uhr [:0 Uhr, :4 Uhr, 9 Uhr] von Los Angeles entfernt?

7 Mathematik Klasse 8 Übungen und Wiederholung zu Linearen Funktionen Ergebnisse I. Fragen, Regeln Aufgabe : Nimm dein Lehrbuch, dein altes Schulheft und dein Regelheft zur Hilfe, um die folgenden Fragen zu beantworten: i) Was ist der Unterschied zwischen den Begriffen Zuordnung und Funktion? Eine Zuordnung ist dann und nur dann eine Funktion, wenn jedem. Wert genau ein. Wert zugeordnet wird. j) Wie kannst du am Graphen einer Zuordnung erkennen, ob es sich um eine Funktion handelt? (siehe Aufgabe ) Auf jeder Parallelen zur -Achse darf sich höchstens ein Punkt des Graphen befinden. Dann (und nur dann) handelt es sich um einen Funktionsgraphen. k) Wie muss man vorgehen, um den Graphen einer nichtlinearen Funktion wie f() = zu zeichnen? Wertetabelle erstellen, Paare ( f()) als Punkte einzeln einzeichnen und verbinden. Warum ist dieses (mühsame) Verfahren bei linearen Funktionen nicht nötig? Graphen linearer Funktionen sind Geraden, es reichen also Punkte aus, um sie zu bestimmen. Zeichne einfach die Punkte (0 b) und ein Wertepaar, für den sich der Funktionswert leicht ausrechnen lässt (setze für ein Vielfaches des Nenners der Steigung ein!), l) Mit welchen Begriffen bezeichnet man die Zahlen m und n in der Funktionsvorschrift m + b einer linearen Funktion? Welche anschaulichen Bedeutungen haben diese Zahlen? Erläutere am Graphen der Funktion. m: Steigung ; für m > 0 steigende Funktion, m = 0 konstante Funktion, m < 0 fallende Funktion. Je größer m ist, desto steiler verläuft die Gerade. b: -Achsenabschnitt. Die Gerade verläuft durch (0 b) b Δ m) Wie ist der -Achsenabschnitt einer (jeden) proportionalen Funktion? b = 0, die Geraden verlaufen durch den Ursprung. Δ Δ m = Δ n) Wie kann man aus dem Graphen die Steigung ablesen? (Hier gibt es mehrere Möglichkeiten welche ist die genaueste, welche die einfachste?) (siehe Aufgabe 6) einfachste: eine Einheit parallel zur -Achse ( nach rechts ) gehen und ablesen, wie viel der Graph steigt bzw. fällt. genaueste: zwei Punkte, deren Koordinaten sich genau bestimmen lassen, ablesen und Steigung mit Hilfe der Formel ausrechnen (siehe Zwei-Punkte-Form ) Wie viel geht es zwischen zwei Punkten des Graphen nach oben? in den Zähler (oben) wie viel geht es nach rechts in den Nenner; Vorzeichen mit steigen / fallen

8 p o) Wie kann man, wenn die Steigung als Bruch m = gegeben ist, (schnell) vom Schnittpunkt q mit der -Achse aus einen zweiten Punkt des Graphen finden? q Einheiten nach rechts, p Einheiten nach oben (bzw. p nach unten wenn negative Steigung) p) Was versteht man unter Nullstellen einer Funktion? Was ist er Unterschied zum Begriff Schnittpunkt mit der -Achse ) Nullstellen sind die -Werte, denen der Funktionswert Null zugeordnet wird: f() = 0. Ist eine Nullstelle, dann ist ( 0) ein Schnittpunkt mit der -Achse. II. Zuordnungen, Funktionen Aufgabe : Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Funktion, welche nicht? Begründe! f: einer rationalen Zahl wird ihr Berag zugeordnet Funktion, denn jede rationale Zahl hat genau einen Betrag g: einer reellen Zahl werden alle Zahlen zugeordnet, die den gleichen Betrag haben keine Funktion, denn z.b. und u: Volumen eines Quaders Länge der längsten Kante keine Funktion, denn z.b. 6 = oder 6 = 6, also 6 und 6 6 v: Volumen eines Würfels Kantenlänge Funktion, denn zu jedem Volumen gehört (beim Würfel!) genau eine Kantenlänge h: Zahl die Hälfte des Kehrwertes der Zahl Funktion, da eindeutige Berechnungsvorschrift Aufgabe :

9 Aufgabe 4: a) b) c) e) f) g) h) d) achte auf sinnvolle Skalierung der Achsen! Aufgabe : a), d), f), g), i) und k) stellen Graphen linearer Funktionen dar. a) f ( ) = + b) keine Funktion ( =,) 8 c) nicht linear ( f ( ) = 0 6 ) d) f() = + 0 e) f ( ) = f) f() = g) f ( ) = 4, 4 h) f() =, 0

10 Aufgabe67: a) = b) = + c) =, 0 d) = e) = f) keine Funktion, = g) = 7 h) = + i) = j) =, Aufgabe 7: c) f() = 0 <==> = 4 ; g ( ) = 0 = 7 ; h() = 0 <==> = d) i) f ( ) = + 0; S ( 0); S (0 0) 8 7 ii) g ( ) = ; S ( 0); S (0 ) 8 Aufgabe 8: Die lineare Funktion f ist durch die Zuordnungsvorschrift f : gegeben. a) f(6) = 6 =. [ f( ) = ( ) =. ] b) f() = 8 = 8 = 0 =. [ f() = 4 = 4 = =, f() =, =, = 4, 8 ] c) Ergänze die fehlende Koordinate, so dass die Punkte auf dem Graphen liegen: A( 0 ) ; B( 4) ; C(0 ) ; D( 6) Aufgabe 9: a) : Entfernung von L.A. (in km) : Zeit in h (ab Mitternacht) Wertepaare (600 0) und z.b. ( ) führen mit -Punkte-Form auf = b) gegebene -Werte in diese Gleichung einsetzen: 00 km um Uhr, 0 km um 7:0 Uhr und 900 km um 0: Uhr am Vortag (4 ¾). c) gegebene -Werte einsetzen und nach auflösen: Um 7 Uhr 40 km, um :0 Uhr 400 km, um :4 Uhr 700 km ( = ¼!) und um 9 Uhr wären es 0 km, das ist aber nicht sinnvoll, da er dann sein Ziel schon längst erreicht hat.

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