Übungsblatt 10: Lineare Regression (Sitzung 11)

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1 1 Übungsblatt 10: Lineare Regression (Sitzung 11) Aufgabe 1 a) Nach welchem Kriterium wird die Regressionsgerade zur Vorhersage von Y-Werten festgelegt? b) Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen einer linearen Regression und Korrelation? c) Das 95%-Konfidenzintervall für ein Regressionsgewicht β umschließt den Bereich von - 0,030 bis +0,088. Welche Schlussfolgerung ziehen Sie hieraus für die Hypothese, dass β=0 ist? Aufgabe 2 a) Welche Größe bringt die Vorhersage- bzw. Erklärungskraft eines Regressionsmodells zum Ausdruck? b) Das Bestimmtheitsmaß R 2 in einem Regressionsmodell mit einer erklärenden Variable hat einen Wert von 0,064. Formulieren Sie mit Bezug auf die PRE-Logik eine Aussage, aus der die Bedeutung von R 2 = 0,064 für das Regressionsmodell hervorgeht. c) Wie ist ein Bestimmtheitsmaße R² = 0 zu interpretieren? Aufgabe 3 In einem bivariaten Regressionsmodell hat die unabhängige Variable zwei Ausprägungen, die mit den Werten 0 und 1 codiert sind. Wie werden in diesem Fall der Achsenabschnitts- und der Steigungskoeffizient interpretiert? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 4 Eine lineare bivariate Regression ergibt einen Achsenabschnittskoeffizienten von 8,6 und einen Steigungskoeffizienten von -0,6. a) Formulieren Sie die dazugehörige Regressionsgleichung und die dazugehörige Schätzfunktion für die abhängige Variable Y. b) Zeichnen Sie die dazugehörige Regressionsgerade in ein Koordinatensystem mit einer X- Achse im Wertebereich von 0 bis 9 und einer Y-Achse im Wertebereich von 0 bis 10.

2 2 Aufgabe 5 Geben Sie die Funktionen folgender sechs Regressionsgeraden an: 4 3 Y X Aufgabe 6 Sozialwissenschaftler interessieren sich für den Zusammenhang zwischen dem monatlichen Haushaltseinkommen in Euro und der Lebenszufriedenheit. Im ALLBUS 2010 wird die Lebenszufriedenheit mit einer 11-Punkt-Skala von 0 ganz unzufrieden bis 10 ganz zufrieden gemessen. Das monatliche Einkommen des Haushalts variiert im ALLBUS 2010 von 0 bis Euro. Mit dem Statistikprogramm STATA wird eine lineare bivariate Regression mit Lebenszufriedenheit als abhängiger Variable ( zufried ) und dem Haushaltseinkommen als unabhängiger Variable ( einkom ) berechnet. Im Folgenden ist der Output abgebildet. Zu sehen sind eine Tabelle zur Streuungszerlegung oben links, allgemeine Modellstatistiken oben rechts und eine Koeffiziententabelle unten.. regress zufried einkom Source SS df MS Number of obs = F( 1, 2353) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = zufried Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] einkom _cons

3 3 a) Auf wie vielen Untersuchungseinheiten (Fällen) basiert die Regression? b) Wie groß ist die Streuung der Y-Variable? c) Wie groß ist die Streuung, die durch die X-Variable gebunden wird? d) Wie groß ist der Anteil der durch X gebundenen Streuung an der Streuung der Y- Variable? e) Interpretieren Sie den Anteil aus Aufgabe d). Aufgabe 7 Beantworten Sie folgende Fragen in Bezug auf die Regressionskoeffizienten der Regressionsanalyse in Aufgabe 6, d.h. in Bezug auf den Effekt des Haushaltseinkommens auf die Lebenszufriedenheit. a) Geben Sie die Schätzgleichung der Regressionsanalyse an. b) Interpretieren Sie den Achsenabschnitts- und den Steigungskoeffizienten. c) Berechnen Sie die geschätzte Lebenszufriedenheit für Personen mit einem monatlichen Haushaltseinkommen von: 1) 1000 Euro 2) 2300 Euro 3) Euro d) Berechnen Sie das monatliche Haushaltseinkommen für eine geschätzte Lebenszufriedenheit von: 1) 5 Skalenpunkten 2) 7 Skalenpunkten 3) 9 Skalenpunkten e) Interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall des Steigungskoeffizienten. f) Zu welchem Ergebnis kommt der Signifikanztest der Nullhypothese, dass der Steigungskoeffizient β gleich null ist? g) Kann man ohne Einkommen glücklich sein? Prüfen Sie die Forschungshypothese, dass bei einem Einkommen von 0 Euro die Lebenszufriedenheit über dem Skalenmittelpunkt von 5 liegt, mit einem geeigneten Signifikanztest (5%-Signifikanzniveau) über den Achsenabschnittskoeffizienten α (Hinweis: Sie können dafür die Teststatistik für Regressionskoeffizienten allgemein verwenden; der Achsenabschnittskoeffizient wird häufig auch als β0 notiert, kann also ebenso behandelt werden wie allgemein die Regressionskoeffizienten βj).

4 4 Aufgabe 8 Im Folgenden ist das Streudiagramm mit Regressionsgerade aus Aufgabe 6 abgebildet. Lebenszufriedenheit (Skala von 1 bis 10) Haushaltseinkommen in Euro Quelle: ALLBUS 2010, n=2355 Betrachten Sie die Datenpunkte des oberen Einkommensbereichs ab ca Euro. Was stellen Sie im Vergleich zur Regressionsgerade fest? Was bedeutet das regressionstechnisch? Ist die einfache lineare Regression hier angemessen? (Vielleicht haben Sie auch schon eine Idee, wie dieses Problem gelöst werden könnte?) Aufgabe 9 Die Sozialwissenschaftler wollen eine alternative Erklärung testen, wonach die Lebenszufriedenheit größer ist, wenn man in den eigenen vier Wänden lebt. Entsprechend wird eine Dummy-Variable ( wohneigent ) mit der Ausprägung 1 für Wohneigentum (Eigentumswohnung, Eigenheim) und der Ausprägung 0 (für alle anderen Wohnformen) als unabhängige Variable in einer Regressionsanalyse der Lebenszufriedenheit ( zufried mit 0 ganz unzufrieden, 10 ganz zufrieden) eingesetzt. Im Folgenden ist der Output dieser Regressionsanalyse aufgeführt:. regress zufried wohneigent Source SS df MS Number of obs = F( 1, 2804) = Model Prob > F = Residual R-squared = X.XXXX Adj R-squared = X.XXXX Total XXXXX.XXXX Root MSE = zufried Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wohneigent X.XX X.XXX _cons

5 5 a) Wie verläuft die Regressionsgerade (Schnittpunkt, Steigung)? b) Berechnen Sie die Vorhersagewerte für die beiden Ausprägungen der erklärenden Variablen und interpretieren Sie diese. c) Ist der Zusammenhang auf dem 5% Niveau signifikant (testen Sie zweiseitig)? d) Interpretieren Sie das 95% Konfidenzintervall des Steigungskoeffizienten. e) Wie stark ist der Zusammenhang? Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß R². Aufgabe 10 Im ALLBUS 2010 findet sich die Frage: Meinen Sie, dass man heiraten sollte, wenn man mit einem Partner auf Dauer zusammenlebt? Zustimmung bzw. Ablehnung sind bei dieser Frage mit den Werten 1 bzw. 0 codiert. Es wird vermutet, dass es geschlechtsspezifische Unterschiede bei der Zustimmung zu dieser Frage gibt. Das Geschlecht ist so kodiert, dass Männer den Wert 0 und Frauen den Wert 1 haben. Zur Prüfung der Hypothese einer geschlechtsunabhängigen Zustimmung zu Heirat bei dauerndem Zusammenleben wird ein Regressionsmodell berechnet, bei dem die abhängige Variable die Zustimmung, die erklärende Variable das Geschlecht der Befragten ist. Der folgende Output enthält die Ergebnisse der OLS-Regressionsanalyse:. regress heirat mannfrau Source SS df MS Number of obs = F( 1, 2504) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = heirat Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] mannfrau _cons a) Geben Sie eine inhaltliche Interpretation der Regressionskoeffizienten. b) Ist der Zusammenhang auf dem 5% Niveau signifikant? c) Wie ist die Modellgüte? d) Eine Statistikerin wundert sich über die Vorgehensweise des Soziologen. Da nicht nur die erklärende, sondern auch die abhängige Variable dichotom ist, hält sie die Anwendung des linearen Regressionsmodells für unangemessen. Stattdessen schlägt sie vor, die Prozentsatzdifferenz der Befürwortung einer Heirat bei dauerndem Zusammenleben zwischen Männern und Frauen zu berechnen. Berechnen Sie anhand der unten wiedergegebenen Vierfeldertabelle diese Prozentsatzdifferenz.

6 6 RECODE of v9 (heirat bei RECODE of v298 dauerndem (geschlecht, zusammenle befragte<r>) ben) Mann Frau Total Ablehnung Zustimmung , Total 1,236 1,270 2,506 e) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es zwischen den Ergebnissen und damit gewonnenen Informationen des Soziologen und der Statistikerin (die Statistikerin kommt mit ihrem Signifikanztest zu dem Schluss, dass die Nullhypothese, dass die Prozentsatzdifferenz Null ist, zu einem 5% Niveau zurückgewiesen werden kann)? f) Welche Vorgehensweise erscheint Ihnen hier eher angemessen? Begründen Sie Ihre Antwort.